期末复习：导数的计算、导数的几何意义 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦导数计算与几何意义，通过多样化题型构建从概念到应用的逻辑链条，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数的计算|10题（5例+5变式）|选择/多选/填空/解答，覆盖公式应用、法则判断、直接求导|从基本求导公式到四则运算法则，形成“公式记忆-法则应用-综合计算”的递进逻辑| |导数的几何意义|12题（6例+6变式）|切线方程、斜率、截距、公切线，涉及最值与参数求解|以导数几何意义为核心，构建“斜率计算-切线方程-多曲线公切线”的应用拓展链条|

期末复习：导数的计算、导数的几何意义专项训练 期末复习：导数的计算、导数的几何意义专项训练 考点目录 导数的计算 导数的几何意义 考点一 导数的计算 例1．（25-26高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·江苏·期中·多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二下·广东江门·期中）若函数，则________ 例5．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 变式1．（25-26高二下·河北承德·期中）设函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则______． 变式5．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）分别求下列函数的导数： (1) (2) 考点二 导数的几何意义 例1．（25-26高二下·河北承德·期中）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 例2．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·河南·阶段检测）函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 例4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 例5．（25-26高二下·上海·期中）函数在点处的切线的斜率为________． 例6．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 变式1．（25-26高二下·重庆·期中）过点作函数图象的切线，则切线方程是（   ） A． B． C．或 D． 变式2．（25-26高二下·天津南开·期中）已知函数，，若存在直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 变式4．（2026·湖南长沙·三模）函数在处的切线方程为_________. 变式5．（25-26高二下·江苏·期中）已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 变式6．（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：导数的计算、导数的几何意义专项训练 期末复习：导数的计算、导数的几何意义专项训练 考点目录 导数的计算 导数的几何意义 考点一 导数的计算 例1．（25-26高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，得， 则. 例2．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误． 例3．（25-26高二下·江苏·期中·多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D正确. 例4．（25-26高二下·广东江门·期中）若函数，则________ 【答案】2 【详解】由可得， 故. 例5．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数求导公式与复合函数链式求导法则计算即可； （2）先用对数求导法求得幂指函数的导数，再结合复合函数求导法则计算即可； （3）利用乘积求导法则，结合对数函数的复合求导法则计算. 【详解】（1）由于，所以，定义域为. （2）由于，所以，定义域为. （3）由于，所有，定义域为. 变式1．（25-26高二下·河北承德·期中）设函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用导数在处的定义，与导函数在处导数值相等即可求解. 【详解】==， 而，所以，. 变式2．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ， ，解得． 变式3．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D正确. 变式4．（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则______． 【答案】0 【分析】借助导数运算法则计算即可得解. 【详解】，则，故. 变式5．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）分别求下列函数的导数： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，分别对两个函数求导即可 【详解】（1） ， ， 因此. （2） . 考点二 导数的几何意义 例1．（25-26高二下·河北承德·期中）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值. 【详解】设切点坐标为 ， 因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为： 令，代入切线方程可得纵截距： ， 设函数 ，则， 令，由于恒成立，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此为的最大值点， 最大值为 ，即的最大值为. 例2．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，， 所以，，， 曲线在点处的切线方程为： ，，化简得，. 例3．（25-26高二下·河南·阶段检测）函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，令可得轴上的截距. 【详解】，，又， 所以处的切线为， 令，可得， 故函数的图象在处的切线在轴上的截距为. 例4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】 【分析】先求出函数的导数，再根据导数的几何意义以及切点同时在函数和切线上这两个条件，列出关于的方程，进而求解的值，最后计算. 【详解】根据题意，，则， 又函数在处的切线方程为， 所以切线斜率为，即，解得， 又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为， 又切点在函数上，所以，解得， 所以. 例5．（25-26高二下·上海·期中）函数在点处的切线的斜率为________． 【答案】 【详解】由，得， 则，即函数在点处的切线的斜率为. 例6．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 变式1．（25-26高二下·重庆·期中）过点作函数图象的切线，则切线方程是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】设切点为， 由得，则当时， 则切线方程为，即， 将点代入得，得或， 则切线方程为或 变式2．（25-26高二下·天津南开·期中）已知函数，，若存在直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分别设切点建立切线方程，联立得到参数关系后分类讨论，利用构造函数法，结合导数分析单调性确定参数范围. 【详解】设直线与切于点， 则切线斜率，切线方程为 设直线与切于点，， 则切线斜率，切线方程为， 两切线为同一直线，故， 因为，所以， 若，由得， 此时，与矛盾，所以， 由两式相除得，即. 由两边取对数得， 即， 设，则， 即方程有解， 构造函数， 则， ①若，则， 令，得， 故在单调递增，在单调递减， 最大值为， 当即时，有解； 当，即时，无解. ②若，，则， 令，得， 故在单调递减，在单调递增， 最小值为，有解. 综上，的取值范围是. 变式3．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 变式4．（2026·湖南长沙·三模）函数在处的切线方程为_________. 【答案】 【详解】函数，则， ，则， 所以切线方程为，即. 变式5．（25-26高二下·江苏·期中）已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 【答案】或 【分析】分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义得到切线斜率，结合同一条切线的斜率、截距对应相等列方程，联立求解即可得到切线方程. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率为. ∵ 函数在切点处的导数值等于切线的斜率，，， ∴ ①. 由点斜式得直线过切点的方程为，整理得. 直线过切点的方程为，整理得. 即 ②. 由①得，且， 代入②得， 即，整理得， 解得或. 当时，，直线的方程为，即. 当时，，直线的方程为，即. 经检验，两条直线均与两条曲线相切，均符合要求. 变式6．（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 【答案】 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，根据公切线的概念，表示出切线斜率，再构造函数，求函数的最大值即可. 【详解】设公切线与的切点为，与的切点为. 因为，. 所以公切线方程为， 也可以写成. 由， 所以（）. 设，， 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即公切线的斜率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $