6.1.3 基本初等函数的导数-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 6.1.3基本初等函数的导数 例1利用定义求下列函数的导数. 学习目标 (1)y=3.(2)y=x.(3)y=x2 L.能根据导数的定义求函数y=c,y=x, 2,=,,V的导数 2.能利用给出的基本初等函数的导数公 式和导数的四则运算法则，求简单函数的导 数；能求简单的复合函数[限于形如f(ax+b)] 的导数 3.会使用导数公式表. 要点精析 l要点1导函数的概念 一般地，如果函数yf(x)在其定义域内 每一个点x都可导，则称f(x)可导.此时， B变式训练① 对定义域内每一个值x,都对应一个确定的 利用定义求f(x)=x3的导数. 导数f'(x).于是，在f(x)的定义域内，f'(x) 是一个函数，这个函数通常称为y=f(x)的导 函数，记作f'(x)(或y,y),即 f'(x)=y'=y,=lim f(x+Ax)-f(x) 4x+0 △x 导函数通常也简称为导数 反思感悟 f'(x)是函数y=f(x)的导函数，是一个 函数；f'(xo)是f'(x)在x=x0处的导数值， 是一个实数，所以f'(xo)与'(x)不相同. (46)学 第六章导数及其应用。 川要点2导数公式表 变式训练2 函数 导数 判断正误： f(x)=C(C为常数) f'(x)=0 (1)函数在点(xo,f(xo)处的导数 f'(xo)为一个常数， () f(x)=x“(a∈Q) f'(x)=ax f(x)=d(a>0且a≠1) f'(x)=a'lna (2)若=V2,则y=号×2=1.() f(x)=e f'(x)=e* (3)若f'(x)=sinx, 则fx)=cosx.( f(x)=logx(a>0且a≠1) f'(x)=1 xlna ④)若，则f)是 ( f(x)=lnx f"(x)=1 川要点3求切线方程“过”与“在”的区别· f(x)=sinx f'(x)=cosx f(x)=cosx f(x)=-sinx 例3已知函数)=}之，则曲线= 思考证明(sinx)'=cosx. f(x)过点P(3,9)的切线方程为 例2利用公式求下列函数的导数 (1)fx)=x6.(2)y=6 分析利用导数求切线方程时，常规 操作为先判断点是否在曲线上，如果在曲 (3)y=log.(4)y=sin 3 线上，就利用导数求切线的斜率，进而运 (5)y=0sx+.(6)y=VF, 用直线方程的点斜式求切线方程；如果点 不在曲线上，则考虑先设出切点.“过一 分析注意y=d(a>0且a≠1)与y=x 点”中的“点”可以在曲线上，也可以不 (a∈Q)的导数的区别. 在曲线上 反思感悟 求切线方程的一般步骤： (1)寻找切点：判断点是否在曲线上， 如果此点在曲线上，则切点即为这个点； 如果此点不在曲线上，先设出切点坐标 (2)求导：由于切，点的导数值为切线 的斜率，因此利用求导解得切线斜率 (3)利用点斜式写出切线方程并进行 求解 思考请总结“过”某点切线与“在” 某点切线上的区别： 学 47 高中数学选择性必修第三册人教B版 B变式训练③ 数学文化 已知函数f(x)=x3+x-16. 例函数y=kx+b(k≠0)，其中k,b是 (1)直线1为曲线y=f(x)在点(2，-6) 常数，其图象是一条直线，称这个函数为线 处的切线，求直线L的方程 性函数，对于非线性可导函数f(x)在点xo附 (2)求过原点且与曲线y=f(x)相切的切 近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求 线方程及切点坐标. 其近似代替值：fx)≈f(xo)+f'(x0)(x-o).利 用这一方法，求得m=V3.998的近似代替 值() A.大于m B.小于m C.等于m D.与m的大小关系无法确定 分析由题意，可知m的近似代替值是 曲线y=f(x)在x=3.998附近的切线上3.998 对应的纵坐标，而实际值是曲线上3.998对 应的纵坐标，画出函数f(x)=Vx的图象 及相关切线（图略），结合图象可知近似代 替值与m之间的关系.或者研究函数的单 调性，再在3.998附近选择合理的值进行求 解近似代替值，利用函数的单调性进行比较 (48)学因此，x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).在 上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即物体的位移可以估计 为0.75m 变式训练3大于【解析】在[a,b]这段时间内，f(x) 图象割线斜率的绝对值比g(x)图象割线斜率的绝对值 大，.甲的心率变化大于乙的心率变化 数学文化 例解：从A处到B处高度的平均变化率为Ay=10-0 △x150-0 =5,从B处到C处高度的平均变化率为=50 4x270-50 子，由子>行，知山路从B处到C处比从A处到B处 陡峭.故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C 处会感觉比较吃力， 6.1.2导数及其几何意义 要点精析 例1D【解析】lim f(o+3m)-fxo) 20 =3lim f(xo+3m)-f(xo) 3m0 3m =3f'(xo) =9. 变式训练1(1)B【解析】△x=(xo+h)-(-h)=2h. m)-h)-m(th)f(xuh)) h 2h 选B. (2)解：△y=f(1+△x)-f(1)=3(1+△x)2-3=6△x+ 3(4x)只，y=6+3A, △x ÷f')-四=四(6+3ax)-6 例2B【解析】k=-lim+Ax）fo）=im(6xo+3Ax+ △x 6)=6x0+6,.6x+6=0,得x0=-1,yo=f(x0)=f(-1)=3× (-1)2+6×(-1)+1=-2,.点P的坐标为(-1，-2).故 选B 变式训练2A【解析】函数y=f(x)的图象在点P处的 切线方程是)=写46,5)-号，f(5)=分5) f'(5)=4.故选A. 参考答案。 变式训练3B【解析】f3)-f2)=3)2).由图，可 3-2 知f(3)<3)2)”(2),即f"(3)<3)f2)f"(2. 3-2 123 变式训练3答图 例3解：显然点P(1,2)在曲线上，根据导数的 几何意义，可知切线的斜率为k=imf1+△x)-f1)= △x0 △x 1im1+△x)241-(12+1)=im(Ae)+2△x=im(4x+2)=2. 40△x 4-0△x Ax-0 故切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 变式训练4解：(1)由题意，得直线过点(4,0)， 045.切线方程为)6a4.即)=名+号 2南0.年2=-号×24号-？/2=g, 2w2-g 数学文化 例ABD【解析】由fx)=x3-x+1,得f-1)>0,f(-2)<0, 即f(-1)(-2)<0,根据函数零点的存在性定理，可得 r∈(-2，-1)，故A正确；又由'(x)=3x2-1,设切点 P(x,x-x+1),则切线的斜率为k=f'(xn)=3x-1,.切 线方程为y-x+x+l=(3x-1)(x-xn),令y=0,可得xn= +,放D正确：当=时，可得 3x-1 =子，则小=名，2=空，山的方程为 +号-学+2引.即23-4+31=0，故B正确：由 子可得站得得此时 k-水k日，故C错误故选ABD 6.1.3基本初等函数的导数 要点精析 例1解：(1)根据定义，可知 35 高中数学选择性必修第三册人教B版 f(x)=lim )(=lim 3-3=lim 0-0. △r+0 △x 4-0△xd0 (2)根据定义，可知 f'(x)=lim f(x+Ax)-f(x) △￥0 Ax =lim(x+△x)-(x) 4x0 Ax =lim 1=1. △￥0 (3)根据定义，可知 f'(x)=lim f(+△x)-fx) △+0 △x =lim（x+△x)2-(x2) △x+0 △x =lim(2x+△x) A￥0 =2x. 变式训练1解：f(x)=mf+x-f △x =im34r+3Ar+A=im3x43x4r+4r2-32. △x 例2解：(1)f'(x)=(-6)x7 (2)y'=61n6. 3)产 (4)y'=0. (5)y=cos+受=-sim ∴y'=-C0sx. (6)y-VF=,y= 变式训练2(1)V(2)×(3)×(4)× 例39-4y+9=0或9x-y-18=0【解析】由fx)=号， 得了)=2设切点为Mo,专，则fo,则过 切点M的切线方程为)y一}=-w.:点P在切线上， 把P3,9)代人方程，得9-号=(3-，整理，得 2-9+27=0.即子r3)0,解得=子或3 当0时，切线方程为9%4y+9=0:当6=3时. 切线方程为9x-y-18=0.综上，过点P(3,9)的切线方 程为9x-4y+9=0或9x-y-18=0. 36 变式训练3解：(1)f(2)=2+2-16=-6, .点(2，-6)在曲线上。 f'(x)=3x2+1, .在点(2，-6)处的切线的斜率为 k=f'(2)=3×22+1=13, .直线1的方程为y=13(x-2)+(-6). 即y=13x-32. (2)设切点为(0，yo),则切线的斜率为 f'(x0)=3x+1, .切线方程为y=(3x+1)(x-xo)+x+x0-16. 又切线过点(0,0)， .0=(3x+1)(-x0)+x+xo16,整理，得8=-8， .∴x=-2,y=(-2)3+(-2)-16=-26, .k=3×(-2)2+1=13, .过原点且与曲线y=f(x)相切的切线方程为y=13x, 切点坐标为(-2，-26). 数学文化 例A【解析】由题意，可知fx)=Vx,f'(x)=1 2Vx >0,∴y=f(x)在(0，+∞)上单调递增.选择3.998附近 的点x=4>3.998,f(4)+f'(4)(3.998-4)=1.9995> m.故选A. 6.1.4求导法则及其应用 第1课时导数的四则运算法则 要点精析 例1解：f(x)=x3+3x-8,则∫'(x)=3x2+3,当x=2时， f'(2)=15. 变式训练1解：)九)子之 则f'(x)=x-1+1=x-2+1 x2- x2 (2).f(x)=e'+lnx+sinx,f'(x)=e++cosx. 例2解：f(x)=xsinx, f'(x)=(x)'sinx+x (sinx )'=3x2sinx+xcosx. 变式训练2解：(1)h'(x)=(xsinx)'=x'sinx+x(sinx)'= sinx+xcosx. (2)f'(x)=(x2e)'=(x2)'e+x2(e)'=2xe+x2e