6.1.3 基本初等函数的导数(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，从导数定义求导的复杂性切入，先构建导函数概念，再推导常数函数与幂函数的导数，进而总结完整的导数公式表，形成从具体函数到一般公式的学习支架，为导数应用奠定基础。 该资料以问题驱动引导学生用数学的眼光发现公式价值，通过“想一想”“题型训练”等环节培养数学运算与逻辑推理能力，如例2结合导数几何意义求解切线方程。课中辅助教师分层教学，课后跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

6.1.3　基本初等函数的导数 课标要求 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数（数学运算）. 2.会使用导数公式表（数学运算）. 　　求f（t） 的导数，根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数. 【问题】　（1）是否有更简便的求导数的方法呢？ （2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　常数函数与幂函数的导数 1.导函数的概念 （1）定义：如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值　　　　，都对应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函数，也简称为导数； （2）记法：函数y＝f（x）的导函数记作f'（x）（或y'，y'x），即f'（x）＝y'＝y'x＝　　　　　　　　. 2.常数函数与幂函数的导数 函数 导数 文字叙述 f（x）＝C （C为常数） f'（x）＝C'＝0 函数f（x）＝C的导数为f'（x）＝0 f（x）＝x f'（x）＝x'＝1 函数f（x）＝x的导数为f'（x）＝1 f（x）＝x3 f'（x）＝（x3）'＝3x2 函数f（x）＝x3的导数为f'（x）＝3x2 f（x）＝ f'（x）＝'＝－ 函数f（x）＝的导数为f'（x）＝－ f（x）＝ （x＞0） f'（x）＝（）'＝ 函数f（x）＝（x＞0）的导数为f'（x）＝ f（x）＝xα f'（x）＝αxα－1 函数f（x）＝xα的导数为f'（x）＝αxα－1 【想一想】 1.常数函数的导数为0说明了什么？ 2.奇（偶）函数的导函数有什么规律？ 1.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.若y＝0，则y'＝0 B.若y＝5x，则y'＝5 C.若y＝x－1，则y'＝－x－2 D.若y＝，则y'＝ 2.若f（x）＝x3，f'（x0）＝3，则x0的值是（　　） A.1 B.－1 C.±1 D.3 3.曲线y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝　　　　. 知识点二　导数公式表 原函数 导函数 f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝　　　 f（x）＝xα f'（x）＝　　　 f（x）＝sin x f'（x）＝　　　 f（x）＝cos x f'（x）＝　　　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　　 f（x）＝ex f'（x）＝　　　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　 【想一想】 　对于公式“若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1”，α＝0时，公式是否仍然成立？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若y＝，则y'＝×2＝1.（　　） （2）若f'（x）＝sin x，则f（x）＝cos x.（　　） （3）f（x）＝，则f'（x）＝－.（　　） 2.〔多选〕下列运算错误的是（　　） A.（2x）'＝2xlog2e B.（）'＝ C.（sin 1）'＝cos 1 D.（log3x）'＝ 3.若f（x）＝ex，则f'（0）等于（　　） A.e B.1 C.－1 D.－e 4.已知f（x）＝x2，g（x）＝ln x，且f'（x）＜g'（x），则（　　） A.x＜ B.x＞ C.0＜x＜ D.x＜ 题型一｜利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x12；（2）y＝；（3）y＝； （4）y＝3x；（5）y＝log5x. 尝试解答 通性通法 求简单函数导函数的两种基本方法 （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂； （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝；（2）y＝x；（3）y＝lox. 题型二｜利用导数公式求切线方程 【例2】　已知函数f（x）＝，而l是曲线y＝f（x）的切线，且l经过点Q（1，0）. （1）判断点Q是否在曲线y＝f（x）上； （2）求l的方程. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，求函数f（x）＝在点P（1，1）处的切线方程. 2.（变条件，变设问）本例中的条件“f（x）＝”若换为“f（x）＝sin x”，试求f（x）在点P（π，sin π）处的切线方程. 通性通法 求切线方程的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 【跟踪训练】 1.曲线f（x）＝2x在点（0，1）处的切线方程为　　　　. 2.已知函数f（x）＝x3，过点P（，0）作曲线y＝f（x）的切线，则其切线方程为　　　　. 题型三｜导数的简单应用 【例3】　（1）函数y＝ln x图象上的点到直线y＝x距离的最小值为（　　） A. B.1 C. D.2 （2）已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 尝试解答 通性通法 　　导数应用的解题技巧 （1）导数的几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这往往是解决问题的关键所在； （2）导数作为重要的数学工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析. 【跟踪训练】 　已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 1.〔多选〕下列函数求导运算正确的有（　　） A.（3x）'＝3xlog3e B.（log2x）'＝ C.＝x D.若f（x）＝，则f'（3）＝－ 2.曲线y＝f（x）＝在点（，2）处的切线方程是（　　） A.y＝4x B.y＝－4x＋4 C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4 3.已知函数f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），则f2 025＝（　　） A.－　　 B.－　　 C.　　 D. 4.设函数f（x）＝logax，f'（1）＝－1，则a＝　　　　. 5.求与曲线y＝f（x）＝在点P（8，4）处的切线垂直，且过点（4，8）的直线方程. 提示：完成课后作业　第六章　6.1　6.1.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.3　基本初等函数的导数 【基础落实】 知识点一 1.（1）x　（2） 想一想 1.提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴. 2.提示：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数. 自我诊断 1.ABC　由导数定义及常数函数与幂函数的导数公式可知，A、B、C三项正确. 2.C　∵f'（x）＝3x2，∴f'（x0）＝3＝3，∴x0＝±1，故选C. 3.3　解析：因为y'＝αxα－1，所以α·2α－1＝12，解得α＝3. 知识点二 0　αxα－1　cos x　－sin x　axln a　ex　　 想一想 提示：公式对任意不为0的实数α都成立. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.AC　对于A，（2x）'＝2xln 2，A错误；对于B，（）'＝（）'＝＝，B正确；对于C，（sin 1）'＝0，C错误；对于D，（log3x）'＝，D正确.故选A、C. 3.B　因为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝e0＝1. 4.C　由题意可知x＞0，因为f'（x）＝2x，g'（x）＝，所以f'（x）＜g'（x），即2x＜，解得0＜x＜. 【典例研析】 【例1】　解：（1）y'＝（x12）'＝12x11. （2）y'＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－. （3）y'＝（）'＝（）'＝. （4）y'＝（3x）'＝3xln 3. （5）y'＝（log5x）'＝. 跟踪训练 解：（1）y'＝'＝ln ＝－ln 2. （2）y'＝（x）'＝（）'＝＝. （3）y'＝'＝＝－. 【例2】　解：（1）因为f（1）＝＝1≠0，所以点Q（1，0）不是曲线y＝f（x）上的点. （2）设过点Q（1，0）的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f'（a）＝－. 则切线方程为y－＝－（x－a）. ① 将Q（1，0）代入方程0－＝－（1－a）， 得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 母题探究 1.解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝－. 显然P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数f（x）＝在点P（1，1）处的导数，即k＝f'（1）＝－1. 所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y－1＝－（x－1），即为x＋y－2＝0. 2.解：因为f'（x）＝（sin x）'＝cos x， 所以所求切线的斜率k＝cos π＝－1. 又因为sin π＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－π），即x＋y－π＝0. 跟踪训练 1.y＝xln 2＋1　解析：∵f（x）＝2x，∴f'（x）＝2xln 2，∴f'（0）＝ln 2.故所求切线方程为y－1＝（x－0）ln 2，即y＝xln 2＋1. 2.y＝0或3x－y－2＝0　解析：设切点为（x0，），因为f（x）＝x3，f'（x）＝3x2，所以切线的斜率为3，切线方程为y－＝3（x－x0）.因为切线过点P（，0），所以－＝3（－x0），解得x0＝0或x0＝1，所以切线方程为y＝0或3x－y－2＝0. 【例3】　（1）A　解析：设与直线y＝x平行且与函数y＝f（x）＝ln x图象相切的直线方程为y＝x＋m，设切点为P（x0，y0），又因为f'（x）＝，所以f'（x0）＝＝1，解得x0＝1，所以切点P（1，0）.又因为点P（1，0）到直线y＝x的距离为，所以函数y＝ln x图象上的点到直线y＝x的距离的最小值是.故选A. （2）解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）.∴两条曲线在P（x0，y0）处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·（－sin x0）＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直. 跟踪训练 解：如图，由题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点.设P（x0，y0）， ∵y'＝（ex）'＝ex，∴＝1，∴x0＝0，代入y＝ex得y0＝1，∴P（0，1）. 由点到直线的距离公式得，点P到直线y＝x的距离为. 随堂检测 1.BCD　在A中（3x）'＝3xln 3，错误；由运算法则可知B、C、D均正确. 2.B　f'（x）＝（）'＝－x－2，则切线的斜率k＝f'（）＝－（）－2＝－4，故切线方程为y－2＝－4（x－），即y＝－4x＋4.故选B. 3.C　f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），故f2（x）＝cos x，f3（x）＝－sin x，f4（x）＝－cos x，f5（x）＝sin x，周期为4，故f2 025（x）＝f1（x）＝sin x，f2 025＝sin ＝. 4.　解析：∵f'（x）＝，∴f'（1）＝＝－1.∴ln a＝－1，即a＝. 5.解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝（）'＝（）'＝，所以f'（8）＝×＝，即曲线在点P（8，4）处的切线的斜率为，所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3（x－4），即3x＋y－20＝0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $