6.1.3 基本初等函数的导数(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.3　基本初等函数的导数 1.已知f（x）＝，则f'（16）＝（　　） A.－ B. C.－4 D.4 2.已知函数f（x）＝t2，g（x）＝cos x，则（　　） A.f'（x）＝0，g'（x）＝－sin x B.f'（x）＝2t，g'（x）＝－sin x C.f'（x）＝0，g'（x）＝sin x D.f'（x）＝2t，g'（x）＝sin x 3.曲线y＝f（x）＝sin x在点A（π，f（π））处的切线斜率等于（　　） A.－1 B.0 C. D.1 4.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的瞬时速度为（　　） A. B. C. D. 5.函数y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（　　） A.e2 B.2e2 C.e2 D. 6.〔多选〕设b为实数，则直线y＝2x＋b能作为下列函数图象的切线的有（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝x4 C.f（x）＝ex D.f（x）＝sin x 7.若曲线y＝sin x在x＝0处的切线与ax－y＝0平行，则a的值为　　　　. 8.曲线y＝f（x）＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率是　　　　，切线方程为　　　　　.9.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　　　　. 10.过点P（－1，0）作直线l与曲线C1：y＝和曲线C2：y＝x2＋x＋c都相切，求c的值. 11.〔多选〕已知函数f（x）的导数为f'（x），若存在x0，使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”.下列函数中有“巧值点”的是（　　） A.f（x）＝x2 B.f（x）＝ C.f（x）＝ln x D.f（x）＝（）x 12.已知函数f（x）＝过原点O（0，0）作曲线y＝f（x）的切线，其切线方程为　　　　. 13.已知曲线方程为y＝f（x）＝x2，求过点B（3，5）且与曲线相切的直线方程. 14.〔多选〕若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率为（　　） A.0 B.2 C. D. 15.求证：曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.3　基本初等函数的导数 1.B　∵f'（x）＝，∴f'（16）＝＝. 2.A　由题意，f'（x）＝0，g'（x）＝－sin x，故选A. 3.A　f'（x）＝cos x，f'（π）＝－1，根据导数的几何意义可知，曲线在点A处的切线斜率等于－1.故选A. 4.B　∵s'＝，∴当t＝4时，s'＝×＝ . 5.D　因为当x＝2时，y'＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2（x－2）.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为×｜－e2｜×1＝. 6.BC　对于A，f'（x）＝－＜0，故无论x取何值，f'（x）不可能等于2，故A错误；对于B，f'（x）＝4x3，令f'（x）＝4x3＝2，解得x＝，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于C，f'（x）＝ex，令ex＝2，解得x＝ln 2，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于D，f'（x）＝cos x∈[－1，1]，故无论x取何值，f'（x）不可能等于2，故D错误.故选B、C. 7.1　解析：由y＝sin x得y'＝cos x，则k＝cos 0＝1，又ax－y＝0，即y＝ax与曲线y＝sin x在x＝0处的切线平行，则a＝1. 8.　x－ey＝0　解析：∵f'（x）＝（ln x）'＝，∴f'（e）＝.∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. 9.（e，1）　解析：因为y＝ln x，所以y'＝（x＞0），设A（x0，ln x0），则在点A处的切线方程为y－ln x0＝（x－x0），化简为y＝x＋ln x0－1，因为切线过点（－e，－1），所以－1＝（－e）＋ln x0－1，所以ln x0－＝0，所以x0＝e时方程成立，又因为y＝ln x－（x＞0）递增，所以方程有唯一解x0＝e，A（e，1）. 10.解：设直线l与曲线C1：y＝相切于点M（x0，y0），则＝，又y0＝，解得x0＝1，y0＝1，所以切点为（1，1），切线l的方程为y＝（x＋1），因为直线l与曲线C2：y＝x2＋x＋c相切，所以由方程组消元整理得x2＋x＋c－＝0，所以判别式Δ＝－4＝0，所以c＝. 11.ABC　对于A，f'（x）＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f'（x）＝－，令＝－，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f'（x）＝，令ln x＝，作出y＝ln x与y＝的图象，如图，结合y＝ln x，y＝的图象知方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f'（x）＝－e－x，令（）x＝e－x＝－e－x，无解，无“巧值点”.故选A、B、C. 12.x－ey＝0　解析：当x≤0时，函数f（x）＝ex，可得f'（x）＝ex，设切点为P（x0，y0），则f'（x0）＝，所以切线方程为y－＝（x－x0）.因为切线过原点O（0，0），可得－＝－x0，解得x0＝1，不符合题意，舍去；当x＞0时，函数f（x）＝ln x，可得f'（x）＝，设切点为Q（x1，y1），则f'（x1）＝，所以切线方程为y－ln x1＝（x－x1）.因为切点过原点O（0，0），可得ln x1＝1，解得x1＝e，此时切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.综上，切线方程为x－ey＝0. 13.解：设切点P的坐标为（x0，）. ∵y＝x2，∴y'＝2x， ∴k＝2x0， ∴切线方程为y－＝2x0（x－x0）. 将点B（3，5）代入上式，得5－＝2x0（3－x0）， 即－6x0＋5＝0， ∴（x0－1）（x0－5）＝0， ∴x0＝1或x0＝5， ∴切点坐标为（1，1）或（5，25）， 故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5）， 即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 14.AD　曲线C1：y＝x2，则y'＝2x，曲线C2：y＝x3，则y'＝3x2，设直线l与曲线C1的切点坐标为（a，a2），则切线方程为y＝2ax－a2，设直线l与曲线C2的切点坐标为（m，m3），则切线方程为y＝3m2x－2m3，∴2a＝3m2，a2＝2m3，∴m＝0或m＝，∴直线l的斜率为0或.故选A、D. 15.证明：由xy＝1，得y＝，所以y'＝－. 在曲线xy＝1上任取一点P， 则过点P的切线的斜率k＝－， 切线方程为y－＝－（x－x0）， 即y＝－x＋. 设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则A（2x0，0），B. 故S△OAB＝｜OA｜·｜OB｜＝·｜2x0｜·＝2. 所以曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $