6.1.1 函数的平均变化率-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 第六章 导数及其应用 6.1导数 6.1.1函数的平均变化率 例1已知函数f(x)=3x2+5. 学习目标 (1)求f(x)从0.1到0.2的平均变化率. 1.理解函数平均变化率的概念。 (2)求fx)在区间[xo,x+△x]上的平均 2.会求函数的平均变化率. 变化率 3.会利用平均变化率解决或说明生活中 的一些实际问题， 要点精析 川要点1函数的平均变化率 一般地，若函数y=f(x)的定义域为D, 且x1,2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2), 则： (1)自变量的改变量： △x=X2-X1 (2)因变量的改变量： △y=y2-y1(或△ff(x2)-f(x1)). (3)平均变化率： △y=y2Y或Af=fx)-fx= △xx2-X1 △x X2-X1 变式训练① fx+△x)-f(x) △x 函数y=2x2,则自变量从2变到2+△x 思考函数的平均变化率随着区间不 时函数值的增量△y为（) 同是否变化？ A.8 B.8+2△x C.2(△x)2+8△x D.4△x+2(△x)2 40)学 N 第六章导数及其应用。 川要点2函数平均变化率的几何意义 川要点3平均变化率与实际问题 如图所示，函数f(x)在区间[x1,2] 从物理学中我们知道，平均速度可以描 上的平均变化率，就 述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体 B 是直线AB的斜率，f(x,) =f(x) 运动的位移xm与时间ts的关系为x= 其中A(x1,f(x)), f(x h(t),则物体在[ti,t2](t<t2时)这段时间 B(x2,f(x2))·事实 内的平均速度为h)h()(ms).这就是 t2-t1 上，kB=f-f)-△y x2-X1△x 图6-1-1 说，物体在某段时间内的平均速度等于x= 思考函数的平均变化率的几何意义 h(t)在该段时间内的平均变化率. 体现了什么数学思想？ 思考一次函数y=kx+b(k≠0)在区 例2已知函数f(x)=ln(x+1),则f(1), 间[m,n]上的平均变化率有什么特点？ f2),f3)的大小关系为() 例3已知某物体运动的位移xm是时 2 3 间ts的函数，而且t=0.1时，x=0.25;t=0.5 A.f1)<2)f3) 时，x=2.25. 2 3 (1)求这个物体在时间段[0.1,0.5] B9102 内的平均速度 c.f3)<2)s1) (2)估计出t=02时物体的位移. 3 分析平均速度即为函数的平均变化 D.22) 率，利用定义即可求解.求出位移与时间的 函数关系，代入t可计算位移. 变式训练② 甲、乙两厂污水的排放量W与时间无 的关系如图所示，则治污效果较好的是 () W↑ W (1) W(0） 1。-△t 图6-1-2 A.甲厂 B.乙厂 C.两厂一样 D.不确定 学(41 高中数学选择性必修第三册人教B版 反思感悟 数学文化 函数平均变化率的几何意义和物理 意义： 例巍巍泰山为我国的五岳之首，有 (1)几何意义：平均变化率表示函 “天下第一山”之美誉.在当地有用“紧十 数y=f(x)图象上割线PP的斜率，若P(x1, 八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形 fx),B(,f),则=f)fx) 容爬十八盘的感受.如图是一段登山路线图 X2-1 同样是登山，但是从A处到B处会感觉比 fx+△x)-fx） 较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力 △x 试用数学语言给出解释， (2)物理意义：把位移；看成时间的 函数，平均变化率表示s=s(t)在时间段 3 ↑/m [1,]上的平均速度，即=s山)=s() 15 t2-t1 10 5070 100x/m 变式训练3 图6-1-4 人的心率会因运动而变化，已知运动员 甲(y=f(x)、乙(y=g(x)在某次运动前 后，心率随时间的变化情况如图所示（α， b,c为定义域的四等分点)，并且用 Ay的 大小评价心率变化的快慢 车y/次 152 130 8 =8(x） iy=f(x) 0 x/min 图6-1-3 在[a,b]这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化.（填“大于”“小 于”或“等于”) (42)学高中数学选择性必修第三册人教B版 fk)=k(k-1) 变式训练5B【解析】5+1-2+1=5.5-2.2=5(5-2)+5× 2 2-2x2=5(5-2)+3x2.故选B. 由于1与这条直线均相交且任意三条不过同一点， 数学文化 .直线1与l,2,,…,的交点共有k个， 例解：(1)由题意，得a=l,a=3,a=7,a4=15. f(k+1)=f(k)+k=k-+k=2+k=k+1 2 2 2 (2)猜想：a,=2-1,neN.证明如下： (k+1)[(k+1)-1] ①当n=1时，a=1成立. 2 ②假设当n=k(k≥1，k∈N)时猜想成立，即a= 当n=k+1时，命题成立. 2-1, 由①②可知，命题对一切n∈N且n≥2时成立 即将k个直径不同的盘子从A杆移动到C杆最少 变式训练4A【解析】三棱柱有0个对角面，四棱柱 需要2-1次 有2个对角面：0+2=0+(3-1)；五棱柱有5个对角面： 则当n=k+1时，分三步进行： 2+3=2+(4-1):六棱柱有9个对角面：5+4=5+(5-1)；… 第一步，将上面k个盘子从A杆移动到B杆： 猜想：若k棱柱有fk)个对角面，则(k+1)棱柱有fk) 第二步，将第(k+1)个盘子从A杆移动到C杆： +k-1个对角面.故选A. 第三步，将上面k个盘子从B杆移动到C杆 例5(k3+5k)+3k(k+1)+6【解析】(k+1)3+5(k+1)=k3+ 则最少需要(2a4+1)次，即a+=2a+1=2(2-1)+1= 1+3k2+3k+5k+5=(k+5)+32+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6. 21-1, 由于假设k+5k能被6整除，而k(k+1)为偶数 即n=k+1时，猜想也成立. 能被2整除，3(k+1)能被6整除，故(k+1)+5(k+1) 综上，a,=2-1. 应变形为(k3+5k)+3k(k+1)+6. 第六章 导数及其应用 2(△x)2+8△x.故选C. >"6.1导数 例2C【解析】作出函数f(x)= 4) 6.11函数的平均变化率 ln(x+l)的图象，如图所示 要点精析 由图可知曲线上各点与坐 例1解：(1)f(x)=3x2+5, 标原点的连线的斜率随着x的 .从0.1到0.2的平均变化率为3x0.22+5-3x0.12-5 增大而减小。 例2答图 0.2-0.1 由1<2<3，得f)-0f2)0,f3)-0 1-0 2-01 3-0 0.9 (2)fx+△x)-fxo) 即>f22>3).故选c 1 2 3 =3(x0+△x)2+5-(3x6+5) 变式训练2B【解析】在o处，虽然有W甲(o)=Wz(o), =3x6+6xo△x+3(△x)2+5-3x6-5 但W甲(o-△)<Wz(o-△)，∴.在相同时间△内，甲厂比 =6xAx+3(△x)2, 乙厂的平均治污率小，.乙厂治污效果较好.故选B. ∴.函数f(x)在区间[xo,xo+△x]上的平均变化率为 6xAr+3(Ax)=6v+3Ax. 例3解：①所求平均滤度为2瓷品5m △x (2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线，则由 变式训练1C【解析】y=2x2,.△y=2×(2+△x)2-2×22= (1),可知直线的斜率为5，且直线通过点(0.1,0.25)， 34 参考答案。 因此，x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).在 变式训练3B【解析】3)-f2)=3)2).由图，可 3-2 上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即物体的位移可以估计 为0.75m 知f"(3)<3）2)'(2,即f'3)3)-f2)'(2). 3-2 变式训练3大于【解析】在[a,b]这段时间内，f(x) 图象割线斜率的绝对值比g(x)图象割线斜率的绝对值 大，.甲的心率变化大于乙的心率变化 数学文化 例解：从A处到B处高度的平均变化率为A上=10-0 23 4x150-0 =5,从B处到C处高度的平均变化率为=8 变式训练3答图 △x270-50 子，由子>行，知山路从B处到C处比从A处到B处 例3解：显然点P(1,2)在曲线上，根据导数的 陡峭.故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C 几何意义，可知切线的斜率为k=1imf1+△x)-f1)三 △x0 △x 处会感觉比较吃力 1im1+Ax)t1-(12+=1im(Ax）+2Ax=lim(Ax+2)=2. △→0 4r-0△x A+0 6.1.2导数及其几何意义 故切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 要点精析 变式训练4解：(1)由题意，得直线过点(4,0)， 例1D【解析】lim fxo3m)-fxo) m0 m 0,45),切线方程为)40a4即=号+号 0-4 =3lim f(xo+3m)-f(xo) 3m0 3m 2)商.每21=-号x2+号-号/2-g =3f'(xo) 2f2-g =9. 数学文化 变式训练1(1)B【解析】△x=(xo+h)-(0-h)=2h. 例ABD【解析】由fx)=x3-x+1,得f(-1)>0,f-2)<0, .imth)-f-h=-2 lim,-)-2'（ol.故 h 2h 即f(-1)(-2)<0,根据函数零点的存在性定理，可得 选B. r∈(-2，-1)，故A正确：又由f'(x)=3x2-1,设切点 (2)解：△y=f(1+△x)-f(1)=3(1+△x)2-3=6△x+ P(x,x-x+1),则切线的斜率为k=∫(x)=3x名-1，.切 3(4x只，Ay=6+3A, 线方程为y-x+x+l=(3x-1)(x-x),令y=0,可得xn+= △x f=四=(6+34x)-6 +=,敌D正确：当6=1时，可得 3x-1 例2B【解析】：k=-lim）-f）=lim(6o+3Ax+ =子，则小=名，2=空，出的方程为 4g0 Ax △x0 6)=6x0+6,.6x0+6=0,得x0=-1,y0=f(x0)=f(-1)=3× +骨学+号引.即234+31=0，故B正确：由 (-1)2+6×(-1)+1=-2,.点P的坐标为(-1，-2).故 多，可得号站得此时 选B 变式训练2A【解析】：函数y=fx)的图象在点P处的 k-水k日，故C错误，故选ABD 切线方程是)=写+6.∴5)=号f5)归号f5)+ 6.1.3基本初等函数的导数 f'(5)=4.故选A. 要点精析 例1解：(1)根据定义，可知 35