5.4 数列的应用-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章数列。 5.4数列的应用 学习目标 1.正确理解分期付款的两种计算方式 2.能够利用等差（比）数列的知识解决 一些实际问题. 要点精析 川要点1等差、等比数列模型的应用 · 例1一航模小组进行飞机模型实验，飞 机模型在第一分钟的时间里上升了15m高度. (1)若通过动力控制系统，使得飞机模 型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它 前一分钟上升的高度少2m,达到最大高度 后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是 多少 (2)若通过动力控制系统，使得飞机模 型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一 分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型 反思感悟 上升的最大高度能超过75m吗？请说明 解决数列应用题的思路和方法： 理由 (1)认真审题、准确理解题意，明确 分析(1)飞机模型每一分钟上升的 问题是属于等差数列问题还是属于等比数 高度都比它前一分钟上升的高度少2， 列问题，要确定a与项数n的实际意义， 显然每分钟上升的高度成等差数列.(2)飞 同时要搞清是求an还是求Sn 机模型每一分钟上升的高度是它在前一分 (2)抓住题目中的主要数量关系，联 钟里上升高度的80%，显然每分钟上升的 想数学知识和方法，恰当引入参数变量， 高度成等比数列 将文字语言转化为数学语言，将数量关系 用数学式子表达出来 (3)将已知和所求联系起来，列出满 足题意的数学关系式 学(31 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练1 变式训练2 某公司生产一种产品，第一年投入资金 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专 1000万元，出售产品后收入40万元，预计 家预测这种车每年按10%的速度贬值 以后每年的投入资金是上一年的一半，出售 (1)用一个式子表示第n(neN)年这 产品所得收入比上一年多80万元.同时，当 辆车的价值 预计投入资金低于20万元时，就按20万元 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆 投入，且当年出售产品的收入与上一年 车，他大概能得到多少钱？（小数点后保留 相同. 三位有效数字) (1)设第n年的投入资金和收入金额分 别为an万元、bn万元，请求出{a},{b} 的通项公式 (2)预计从第几年起该公司开始并持续 盈利？请说明理由.（盈利是指总收入大于 总投入) (32)学 第五章数列。 川要点2分期还款与数列 1.等额本金还款法：即将本金平均分配 到每一期进行偿还，每期还款金额=贷款本金 还款期数 +(贷款本金-已还本金总额)×利率， 2.等额本息还款法：即将本金和利息平 均分配到每一期进行偿还，每期还款金额= A1+”,其中A。为贷款本金，T为银行 (1+r)m-1 贷款利率，m为还款总期数 例2某企业进行技术改造，有两种 变式训练3 方案 甲方案：一次性贷款10万元，第一年 王某2024年12月31日向银行贷款 便可获得利润1万元，以后每年比上年增加 100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷 30%的利润。 款分十年还清(2034年12月31日还清)， 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获 每年年底等额还款（每次还款金额相同）， 得利润1万元，以后每年比前一年多获利 设第n年末还款后此人在银行的欠款额为 5000元. an元. 两种方案的期限都是10年，到期一次 (1)设每年的还款额为m元，请用m 性归还本息.若银行贷款利息均以年息10% 表示出2. 计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更 (2)求每年的还款额.(1.0510≈1.629， 多.（计算精确到千元，参考数据：1.110≈ 精确到1元) 2.594,1.310≈13.796) 分析由题意，可知甲方案的增长利 润率是定值，银行利息成本基数为定值.乙 方案中增长利润是定值，银行利息成本基 数每年都在变化 学(33 高中数学选择性必修第三册人教B版 川要点3复杂的数列建模问题 B变式训练④ 例3已知某中学食堂每天供应3000 某企业2024年的纯利润为500万元，因 名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星 设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下 期一有A,B两种菜可供大家免费选择（每 降.若不能进行技术改造，预测从今年起每 人都会选而且只能选一种菜).调查资料表 年比上一年纯利润减少20万元，今年初该 明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一 企业一次性投入资金600万元进行技术改 会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下 造，预测在未扣除技术改造资金的情况下， 星期一会有40%改选A种菜.用a,bn分别 第n年（今年为第一年）的利润为5001+ 表示在第n个星期一选A的人数和选B的 人数，如果a=2000 万元(n为正整数)· (1)请用an,bn表示ant1与b+. (1)设从今年起的前n年，若该企业不 (2)证明：数列{a,-2000}是常数列. 进行技术改造的累计纯利润为A.万元，进 分析由题意，可知以选A种菜为例 行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须 包括两部分人，一类是上星期就选A的4 扣除技术改造资金)，求Am,Bn的表达式. (2)依上述预测，从今年起该企业至少 和上星期选B的2 经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润 超过不进行技术改造的累计纯利润？ 反思感悟 求解此类问题的关键是依据题设条件， 巧借a,及a1,即抓住数列前后两项（几 项)的数量关系，建立递推关系a,=pa-1+9, 在此基础上借助数列知识给予解答，常用 的方法便是待定系数法和构造等比数列法. (34)学 第五章数列。 墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天， 数学文化 大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇？” 例我国古代数学典籍《九章算术》第 这个问题体现了古代对数列问题的研究，现 七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题： 将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间 “今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺， 才能打穿（结果取整数）（) 小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问 A.12 B.11 何日相逢，各穿几何”其大意为：“有五 C.10 D.9 尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对打洞穿 学(35高中数学选择性必修第三册人教B版 /e)=-2002480x-40(e≥2)为增函数. 且f(3)=-2000× 21+240-40<0, f4)=-2000x2+320-40>0, 当2≤n≤3时，S<Sn1,当4≤n≤6时，S>S 5=-200x分+40-2000， s-200x2+40x36-200-528.75c0, 1≤n≤6时，S<0,即前6年未盈利. 当n≥7时，Sm=-528.75+(440-20)(n-6), 令S>0,解得n≥8，∴.该公司从第8年开始盈利. 变式训练2解：(1)从第一年起，每年车的价值（万 元)依次设为a,2,a,…,a由题意，得a=13.5, a=13.5×(1-10%),4=13.5(1-10%)2,….由等比数列定 义，知数列{a}是等比数列，首项a=13.5,公比q=1- 10%=0.9,.a,=a1g-=13.5×(0.9)-,第n年车的价值 为aw=13.5×(0.9)万元. (2)当他用满4年，车的价值为as=13.5×(0.9)5-≈ 8.857..用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元. 例2解：根据题意，甲方案获利为1+(1+30%)+(1+ 309%)4+1+309%91.301≈42.65（万元），而银行的 1.3-1 利息成本为10(1+0.1)0=25.94（万元），那么甲方案的纯 利润为42.65-25.94≈16.7（万元）. 乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利 1+(1+0.5)+(1+2x0.5)+…+(1+9x0.5)=10x2+4.5)=32.50 2 (万元)，贷款的本利和为1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)] =17.534(万元)， ∴.乙方案扣除本利后的净获利为32.50-17.534≈ 15.0(万元). 甲方案获利较多 变式训练3解：(1)a=100000×(1+5%)2-m(1+5%)- m=110250-2.05m. (2)ao=100000x(1.05)1°-m×(1.05)9-m×(1.05)8-- m=0,100000x1.05m_m1-1.05）=0, 1-1.05 解得m=100000x105x0.05≈12949（元）. 1.0510-1 32 N 例3（D解：由题意，知a=号a+号6，b=a+ (2)证明：a=号a+号6.且a+6,=300, 4 =号a+号300-a. 4 ,∴.a+1 a=号a+120. ar-200-号a-200) 又.a-2000=0, .数列{a,-2000}是常数列. 变式训练4解：(1)依题意，知A=(500-20)+(500- 40)+…+(500-20n)=490m-10m2: B=500[1+7)+1+2)++1+2月-60-50n- 500-100 (2)B.-A,=500n-500-100-(490n-10nr) n =10r+10n-590-10=10nn+1)-0-10] 2n 函数)=x(x+1)-50-10在(0，+0)上单调递增， 2 当1≤n≤3时，n(n+1)-50-10≤12-50-10<0： 2 8 当n≥4时，n(m+1)-50-10≥20-50-10>0. 2n 16 .当n≥4时，B>An 故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯 利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 数学文化 例B【解析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列 {a},{b},它们都是等比数列，a=b1=1,数列{a}的 公比为91=2，数列b}的公比为9=了，设需要n天能 打穿墙，则 41+a2+…+a)+(b1+b2++h1-1-2"1-2。 + 1-21-1 2 当m=10时.241-2-1025-号1025<120， 当m=1时，241-2-2049--2049120， 因此需要11天才能打穿. 故选B. >m5.5数学归纳法 要点精析 例1证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立. ②假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即1+3+…+ (2k-1)=k2 那么，当n=k+1时，1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]= k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2 这就是说，当n=k+1时等式成立. 根据①和②，可知等式对任意正整数n都成立 变式训练1C【解析】当n=k时，左边共有2k+1个连 续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1),.当n=k+1时， 左边共有2k+3个连续自然数相加，即1+2+3++(2k+ 1)+(2k+2)+(2k+3),.左边需增添的代数式是(2k+2)+ (2k+3).故选C. 例2证明：①当-2时，1+分-子2分号，不等式 成立 ②假设n=k(k≥2，keN)时不等式成立， 则当n=k+1时， ++++ 1 …+2(k+1)2 a-+4 2-*+而 1 2大动 2中不等式成立 由①②知原不等式在n∈N,n≥2时均成立. 变式训练2C【解折】当n时，不等式左边为中 参考答案。 2++京：当n+1时，不等式左边为23* 1 +1+1+1 2k26+1+2+2故选C 例3解：当n=2时 S2=u1+22+1,即3+2=8，解得a2=5: 当n=3时，S3=a+32+1,即3+5+a=15,解得a=7; 当n=4时，S4=a+42+1,即3+5+7+a4=24,解得a4=9,. 猜想a,=2n+1,下面用数学归纳法证明： 当n=1时，a=2×1+1=3,猜想成立； 假设当n=k(k∈N)时，猜想成立， 即a=2k+1,则S=k2+2k 当n=k+1时，Sk+=4+(k+1)2+1, :.S+a+=a+(k+1)P+1,∴a4+=a4+(k+1)2+l-S4, a4+=2k+1+(k+1)2+1-(K2+2k)=2(k+1)+1, 猜想成立 综上所述，对于任意neN,a,=2n+1均成立 变式训练3D【解析】a=1, 5=1+2ta=6-a4.a4=子 7 同理，可得心=5观察1，多，子，总， 81 猜想a-或a=2-故选D 例4解：当n=2时，f2)=1:当n=3时，f3)=3: 当n=4时，f(4)=6. 因此猜想fn)=n(-lD(m≥2，nN). 2 下面利用数学归纳法证明： ①当=2时，两条相交直线有一个交点， 又2)=3×2x(2-1)1. .n=2时，命题成立. ②假设当n=k(k≥2且k∈N)时命题成立，就是 该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)= -10 当n=k+1时，其中一条直线记为l,剩下的k条直 线记为1,2，…， 由归纳假设，知剩下的k条直线之间的交点个数为 33