5.4 数列的应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.4　数列的应用 1.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a10＝（　　） A.10 B.55 C.89 D.99 2.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（　　） A.55 B.220 C.285 D.385 3.一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是（　　） A.Sn＜500 B.Sn≤500 C.Sn的最小值为100 D.Sn的最大值为400 4.“勾股树”是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形.图2是第1代“勾股树”，图3为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与所有正方形面积的和分别为（　　） A.2n－1，n B.2n－1，n＋1 C.2n－1－1，n D.2n＋1－1，n＋1 5.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其大意为：“有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺.”那么答案是（　　） A.30尺 B.90尺 C.150尺 D.180尺 6.〔多选〕如图，正方形ABCD的边长为2，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形的 IJKL，依此方法一直继续下去. 设第k个正方形的面积为ak，则下列结论正确的是（　　） A.a3＝1 B.a2＝16a6 C.前6个正方形面积和为 D.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近8 7.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后　　　分钟，该病毒占据内存64 MB（1 MB＝210 KB）. 8.某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写　　　个大字. 9.有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，则收割完毕需要24小时.现在这些收割机每隔相同的时间依次投入工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要　　　小时. 10.在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表. 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 b1＝a c1＝b1＋（a－b1） 第二次 b2＝c1－（c1－b1） c2＝b2＋（c1－b2） 第三次 b3＝c2－（c2－b2） c3＝b3＋（c2－b3） … … … 第n次 bn＝cn－1－（cn－1－bn－1） cn＝bn＋（cn－1－bn） 消费者每次的还价bn（n∈N＋）组成一个数列{bn}. （1）写出此数列的前三项，并猜测通项bn的表达式； （2）若实际价值b与所标价格a之比为b∶a＝0.618∶1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润？ 11.〔多选〕我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是Pn＝P0·（1＋k）n（k＞－1），其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（　　） A.若在某一时期内－1＜k＜0，则这期间人口数呈下降趋势 B.若在某一时期内k＞0，则这期间人口数呈上升趋势 C.若在某一时期内0＜k＜1，则这期间人口数摆动变化 D.若在某一时期内k＝0，则这期间人口数不变 12.甲、乙两企业，2018年的销售量均为p（2018年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为（n2－n＋2），乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多. （1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； （2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由. 13.市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例会升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2021年7月8日贷款到账，则2021年8月8日首次还款）.已知该笔贷款年限为25年，月利率为0.4%. （1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5 500元，最后一个还款月应还2 510元，试计算该笔贷款的总利息； （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）.参考数据：1.004300≈3.31； （3）对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由. 14.位于广东佛山高明区的皂幕山有“佛山第一峰”之盛誉.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6 666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则（参考数据：0.94≈0.66，0.95≈0.59，0.96≈0.53，0.97≈0.48）（　　） A.小明到达最高峰的时间比小吉早，且超过30分钟 B.小吉到达最高峰的时间比小明早，且超过30分钟 C.小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟 D.小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟 15.如图，将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，求Sn. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4　数列的应用 1.C　依题意，an＝an－1＋an－2（n∈N＋，n≥3），a1＝1，a2＝2，所以a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55，a10＝89.故选C. 2.B　“三角形数”的通项公式an＝，前n项和公式为Sn＝1＋3＋6＋…＋＝＋＝＋，当n＝10时，S10＝＋＝220.故选B. 3.A　由题意可知，弹性小球每次着地后又跳回原来高度的再落下，其每次触地至下一次触地前所经过的路程可看成等比数列，公比q＝，首项为，所以该数列前n项和为·，所以总路程Sn＝100＋·，n≥2，化简可得Sn＝500－400×，因为400＞0，所以Sn＜500. 4.D　第1代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＝3，面积和为2，第2代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＝7，面积和为3，第3代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋22＋23＝15，面积和为4，…，第n代“勾股树”中正方形的个数为1＋2＋…＋2n＝2n＋1－1，面积和为n＋1，故选D. 5.B　由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90尺. 6.ABD　设第k个正方形的边长为ck，则第k个正方形的对角线为ck，则第k＋1个正方形的边长为ck，所以＝，故{ck}是首项为2，公比为的等比数列，所以ck＝2×（ ）k－1＝，所以第k个正方形的面积为ak＝＝23－k，所以a3＝20＝1，故A正确；a2＝2，a6＝2－3＝，所以a2＝16a6，故B正确；a1＋a2＋…＋a5＋a6＝22＋21＋20＋2－1＋2－2＋2－3＝，故C错误；a1＋a2＋…＋an＝22＋21＋…＋23－n＝＝8（ 1－），如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近8，故D正确.故选A、B、D. 7.45　解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45（分钟）. 8.4　解析：由题意知，此人每天写的字数构成等差数列{an}，其中a1＝4，a3＝12，设公差为d，则d＝＝4. 9.40　解析：设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1，a2，…，an，依题意，{an}是一个等差数列，且 由②得＝24n，所以a1＋an＝48. ③ 将①③联立，解得a1＝40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40小时. 10.解：（1）b1＝a，b2＝c1－（ c1－b1）＝a＋a－a＝－a＋（ －）2a＋（ －）3a＋a， b3＝c2－（ c2－b2）＝－a＋（ －）2a＋…＋（ －）5a＋a， 观察可得， bn＝cn－1－（ cn－1－bn－1）＝－a＋a＋…＋（ －）2n－1a＋a＝－a＋a. （2）因为b∶a＝0.618∶1，所以a＝，故a＝≈1.08b，故商家将有约8%的利润. 11.ABD　对于A，由Pn＝P0（1＋k）n（k＞－1），得当－1＜k＜0时，0＜1＋k＜1，因为P0＞0，所以对任意的n∈N＋，Pn＞0，所以＝＝1＋k＜1，则Pn＋1＜Pn，故在某一时期内－1＜k＜0，则这期间人口数呈下降趋势，A对；对于B，当k＞0时，1＋k＞1，因为P0＞0，所以对任意的n∈N＋，Pn＞0，所以＝＝1＋k＞1，则Pn＋1＞Pn，故在某一时期内k＞0，则这期间人口数呈上升趋势，B对；对于C，由B选项可知，在某一时期内0＜k＜1，则这期间人口数呈上升趋势，C错；对于D，当k＝0时，Pn＝P0，故在某一时期内k＝0，则这期间人口数不变，D对.故选A、B、D. 12.解：（1）设甲企业前n年的总销售量为Sn，第n年的销售量为an，乙企业第n年的销售量为bn，根据题意， 得Sn＝（n2－n＋2），bn－bn－1＝（n≥2）. ∴a1＝S1＝p. 当n≥2时，∵an＝Sn－Sn－1＝p（n－1）， ∴an＝ ∵bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1）， ∴bn＝p＋＋…＋＝p. （2）∵an≥p，bn≥p，∴an＞bn＞bn， 故甲企业不可能被乙企业收购， 当n＝1时，a1＝b1＝p，乙企业不可能被甲企业收购， 当n≥2时，∵an＞bn⇔p（n－1）＞p， ∴n＞11－， 则当n＝2，3时，经验证，n＜11－， 当4≤n≤10且n∈N＋时，有11－＞10， ∴n＜11－， 当n≥11且n∈N＋时，11－＜11， ∴必有n≥11，则n＞11－， 故当n＝11时，即2028年乙企业将被甲企业收购. 13.解：（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为{an}，用Sn表示数列{an}的前n项和，则a1＝5 500，a300＝2 510， 则S300＝＝1 201 500， 故小张的该笔贷款的总利息为1 201 500－750 000＝451 500（元）. （2）设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式， 则x＋x（1＋0.004）＋x（1＋0.004）2＋…＋x（1＋0.004）299＝750 000×（1＋0.004）300， 所以x·＝750 000×1.004300， 即x＝ ≈≈4 299. 因为4 299＜10 000×＝5 000， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息约为4 299×300－750 000＝539 700（元）， 因为539 700＞451 500， 所以从节省利息的角度来考虑，建议小张选择等额本金的还款方式. 也可以回答： 因为以等额本息方案，每月还款只需要还约4 299元， 而以等额本金方案在前面的10年内还款金额都比这个金额高， 可能会给小张造成还款压力， 因此从前几年还款压力大小的角度来考虑，建议小张选择等额本息的还款方式. 14.D　记第n个30分钟小明和小吉走的阶梯数分别为an，bn，则由题意可知a1＝1 500，b1＝1 500，且an－an－1＝－150，bn＝0.9bn－1，故数列{an}是以1 500为首项，－150为公差的等差数列，且{bn}是以1 500为首项，0.9为公比的等比数列，所以an＝1 500＋（n－1）×（－150）＝－150n＋1 650，且bn＝1 500×0.9n－1，所以数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn＝＝＝－75n2＋1 575n， Tn＝＝15 000（1－0.9n）. S5＝－75×52＋1 575×5＝6 000＜6 666，S6＝－75×62＋1 575×6＝6 750＞6 666， 而a6＝－150×6＋1 650＝750，故第6个30分钟小明每分钟走的级数为＝25， 所以小明登上最高峰所需时间为5×30＋＝176.64≈176.6分. 因为T5＝15 000×（1－0.95）≈15 000×（1－0.59）＝6 150＜6 666， T6＝15 000×（1－0.96）≈15 000×（1－0.53）＝7 050＞6 666， 而b6＝1 500×0.95≈885，故第6个30分钟小吉每分钟走的级数为＝29.5， 所以小吉登上最高峰所需时间为5×30＋≈167.5分，167.5＜176.6且176.6－167.5＝9.1分，所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟.故选D. 15.解：最底层正方体的棱长为1， 则该正方体除底面外的表面积为5×12＝5； 倒数第2个正方体的棱长为1×＝， 它的侧面积为4×＝4×， 倒数第3个正方体的棱长为×＝. 它的侧面积为4×＝4×； 倒数第n个小正方体的棱长为， 它的侧面积为4×＝4×， 则Sn＝5＋4×［＋＋＋…＋］＝5＋4×＝9－＝9－. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $