5.4 数列的应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“数列的应用”核心知识点，系统梳理分期还款、“乘数”效应、林木保有量等实际问题中数列的应用，通过“实例解析—通性通法总结—跟踪训练巩固”的学习支架，衔接等差、等比数列及递推公式知识，构建从数学模型到实际应用的完整脉络。 资料以生活实例为载体，如买房贷款、垃圾处理等，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过递推公式推导等培养数学思维。课中例题解析与通性通法助力教师高效授课，课后跟踪训练与练习题帮助学生巩固建模能力，提升用数学语言表达实际问题的应用意识。

5.4　数列的应用 课标要求 掌握数列在实际生活中的应用（数学建模）. 题型一｜分期还款在数列中的应用 【例1】　随着经济的发展，我国的房价持续上涨，分期付款成了当今大学生毕业买房的首选方式.大学生李华准备贷款500 000元买一套100平方米的房子.采用“等额本金还款法”分20年进行还款，贷款的年利率为5%.设第n年李华的还款金额为an元.求an的表达式，并说明数列{an}的特征. 尝试解答 通性通法 　　“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.因此：每期还款金额＝＋（贷款本金－已还本金总额）×利率. 【跟踪训练】 小李在某年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（当年12月1日最后一次还款），月利率为r.按复利计算，则小李每个月应还（　　） A.元 B.元 C.元 D.元 题型二｜“乘数”效应与数列 【例2】　去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 尝试解答 通性通法 　　在解决与“乘数”效应有关的实际问题时，要注意数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份，同时要注意正确区分是求第n项，还是求前n项的和. 【跟踪训练】 　某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（lg 2≈0.301 0）（　　） A.5　　　　　　　　 B.10 C.14 D.15 题型三｜数列在实际生活中的应用 【例3】　某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2024年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率为20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2025年开始，第n年年底的速生林木保有量为an万立方米. （1）求a1，并写出一个递推公式表示an＋1与an之间的关系； （2）是否存在实数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？如果存在，求出实数λ，如果不存在，请说明理由； （3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2024年年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：1.28≈4.3，1.29≈5.2，1.210≈6.2，1.211≈7.4） 尝试解答 通性通法 　　解决数列应用题需注意的三点 （1）分清该数列是等差数列还是等比数列； （2）首项是多少、公差（公比）是多少、项数是多少、是求an还是Sn； （3）如果数列给出的是递推公式，如何由递推公式求出通项公式. 【跟踪训练】 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； （2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 1.张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.则另外一个缺货尺寸是（　　） A.28码 B.29.5码 C.32.5码 D.34码 2.某林场现在的森林木材存量是1 800万立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米，为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标，则x的值是（　　） A.40 B.45 C.50 D.55 3.某市2012年为解决低收入家庭的住房问题，决定新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.计划在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米. （1）到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2012年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ （2）到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 提示：完成课后作业　第五章　5.4 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4　数列的应用 【典例研析】 【例1】　解：因为每期所还本金为＝25 000（元）， 因此第n年以前已还本金总额为25 000（n－1）元. 从而有an＝25 000＋[500 000－25 000·（n－1）]×5%＝－1 250n＋51 250. 可以看出{an}是一个递减的等差数列. 跟踪训练 A　设每月还x元，按复利计算， 则有x[1＋（1＋r）＋（1＋r）2＋…＋（1＋r）10]＝a（1＋r）11， 即x＝a（1＋r）11， 解得x＝，故选A. 【例2】　解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则an＝20（1＋5%）n，bn＝6＋1.5n， Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn） ＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn） ＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋1.5n）＝－（7.5＋6＋1.5n） ＝420×1.05n－n2－n－420. 当n＝5时，S5≈63.5. 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 跟踪训练 C　设原杂质数为1，由题意，得各次过滤杂质数成等比数列，且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝（1－20%）n.由题意可知（1－20%）n＜5%，即0.8n＜0.05.两边取对数，得nlg 0.8＜lg 0.05，因为lg 0.8＜0，所以n＞，即n＞＝＝≈≈13.41，故取n＝14. 【例3】　解：（1）a1＝200（1＋20%）－17＝223（万立方米）. 又an＋1＝（1＋20%）an－17＝an－17，即an＋1＝an－17. （2）若存在实数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列， 则存在非零常数q，使得an＋1＋λ＝q（an＋λ），整理得到an＋1＝qan－λ＋qλ， 而an＋1＝an－17，故q＝，qλ－λ＝－17，即λ＝－85. 当λ＝－85时，an＋1－85＝an－102＝（ an－85）， 而a1－85＝223－85＝138≠0，故an－85≠0，即＝， 故{an－85}为等比数列，故存在常数λ＝－85，使得{an＋λ}为等比数列. （3）由（2）可得{an－85}是首项为138，公比为的等比数列， 故an－85＝138×（ ）n－1，即an＝85＋138×（ ）n－1，此时{an}为递增数列. 令an≥4×200，则85＋138×（ ）n－1≥800. 当n＝9时，85＋138×（ ）n－1＝85＋138×（ ）8≈85＋138×4.3＝678.4＜800， 当n＝10时，85＋138×（ ）n－1＝85＋138×（ ）9≈85＋138×5.2＝802.6＞800， 故至少到2034年年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 跟踪训练 解：（1）由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2＝a1（1＋50%）－d＝a1－d＝4 500－d， an＋1＝an（1＋50%）－d＝an－d. （2）由（1）得an＝an－1－d＝－d＝·an－2－d－d＝…＝a1－d［1＋＋＋…＋］， 整理得an＝（3 000－d）－2d＝·（3 000－3d）＋2d. 由题意知am＝4 000，所以·（3 000－3d）＋2d＝4 000， 解得d＝＝. 故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元. 随堂检测 1.C　设第一个尺码为a1，公差为d，则a1＝25，d＝0.5，则an＝25＋（n－1）×0.5＝0.5n＋24.5，当an＝0.5n＋24.5＝36.5时，n＝24，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24＝＝738码，所有缺货尺寸的和为738－677＝61码，又因为缺货的一个尺寸为28.5码，则另外一个缺货尺寸为61－28.5＝32.5码，故选C. 2.C　经过一次砍伐后，木材存量为1 800×（1＋25%）－x＝2 250－x；经过两次砍伐后，木材存量为（2 250－x）×（1＋25%）－x＝2 812.5－2.25x.由题意应有2 812.5－2.25x＝1 800×（1＋50%），解得x＝50. 3.解：（1）设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，所以n≥10. 故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. （2）设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1， 由题意可知an＞0.85bn，即250＋（n－1）×50＞400×1.08n－1×0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n＝6. 故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $