5.3.2 等比数列的前n项和-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.3.2等比数列的前n项和 学习目标 变式训练1 1.探究解题方法，能够正确推导出等比 0)已知a=4,9=号，求8 数列的前n项和公式， (2)已知a=1,a=243,g=3,求Sk. 2.能够依据等比数列的前n项和公式， 求解一些简单的等比数列的前n项和. 3.能够通过等比数列的前n项和公式， 逆向求解出等比数列的基本量 要点精析 要点1求解一些简单的等比数列的前n? 项和 若等比数列{a}的首项为a,公比为 q,则等比数列{a的前n项和公式为 na1,q=1, S=am(1-q）=a-a,9,q≠1. I川要点2逆向求解出等比数列的基本量！ 1-q1-q 例1依据下列各题中的条件，求相应 例2在等比数列中： 的前n项和 (1)已知a=2,S3=26,求q和2， (1)a=2,q=2,求S6 (2)已知a=-,4=6,求前4项 2)已知g=3,s,求a和a心 和S4. (20)学 第五章数列。 为0，则S,S4-S,S-S4成等比数列，且 B变式训练2 公比为g (1)等比数列{a}中，公比q=-2,S= 例4在等比数列{a}中，已知Sn=48, 44,则a2=() S2=60,求Sn A.-8 B.-4 C.2 D.-2 (2)设正项等比数列{a}的前n项和 为Sm,若S2=3,4=15,则公比g=() A.2 B.3 C.4 D.5 川要点3等比数列奇偶和的性质及应用· 1若a}共有2ne项，则 2.若{a}共有(2n+1)(n∈N)项，则 S奇-4=4q S偶 例3若等比数列{a}的公比为2，且 a1++…+=20,则{a}的前100项和为 分析 本题考查等比数列任意两项的 关系 B变式训练③ 一个项数为偶数的等比数列{a},全部 各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积 为64，则数列的通项公式为 B变式训练④ 川要点4等比数列前n项和的性质 (1)已知等比数列{a}的前n项和为Sn, S,=1,S10=3,则a1+a2ta3+a4+as等于(） 已知等比数列{a}的公比为g,前n项 A.4 B.6 和为Sn,则： C.8 D.2 (1）Sn+=Sn+q"Smr (2)记Sn为等比数列{a}的前n项和， (2)若Sk,S-Sk,S-Sx(k∈N)均不 S12=12,S18=7S6,求S24的值为 学(21 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 若32S,=63am,则n=（） 数学文化 A.5 B.6 例数学家也有许多美丽的错误，如法 C.7 D.8 国数学家费马于1640年提出了F,=22+1(n= 分析以数学文化为背景的等比数列 0,1,2,…)是质数的猜想，直到1732年 模型题的求解关键：一是会脱去数学文化 才被善于计算的大数学家欧拉算出F,=641× 的背景，读懂题意；二是构建模型，即由 6700417不是质数.现设a=l1og4(Fn-1)(n= 题意构建等比数列的模型；三是解模，即 1,2,…),Sn表示数列{a}的前n项和. 把文字语言转化为求等比数列的相关问题. (22)学变式训练1D【解析】由等比数列的定义，可判断D 正确. 例2±2V2【解析】设两个数的等比中项是x,则x2= 2×4,∴.x=±2V2, 变式训练24【解析】由题意，可知(a+2)2=2(a+ a-2),.=4或a=-2(舍)，综上有=4. 例3解：由题数，有a5x2,则之之，小 {a}是等比数列，且g=2.当n=1时，a=5x2=10. 变式训练3解：（①)设公比为，则二9”8 as ag =4,则产3或3,0=a5或-5。 (2)由通项公式，有a×号”=片号户 8号，-13，即n4 例4解：()在等比数列a中，aa=2, .1 d=nas=a子，adia=子 (2)化简条件，得(a6)2+2a+(as)2=49, 即(a6+a)2=49, .a>0,∴.a6+g=7 变式训练4(1)B(2)6【解析】(1)在等比数列 (a}中，aa+2a6+asa=12,则ai+2a6+a6=(a+a6)2=12, 则a+a6=±2V3.故选B. (2){a}是等比数列，.a4a,=d,aas=a,a=a6, ∴.aiaai6=(a）(as)(a5)=(aa)(aas）=4×9=36.an> 0，∴.a4as6=6. 例5解：(1)q>1,a>0或0<q<1,a<0 (2)q>1,a<0或0<q<1,a>0 (3)q=1 (4)9<0 变式训练5(1)AC(2)A【解析】(1)当a> 0,0<g<1时，从第2项起，数列的每一项都小于前一 项，.数列{a}递减，故A正确； 当a>0,q<0时，{a}为摆动数列，故B错误； 当a<0,q>1时，数列{a}为递减数列，故C正确； a1-a,=a9(g-1)<0,当a>0时，q<1,此时a>1, 当am<0时，q>1,a<l,故D错误.故选AC 参考答案。 (2)当公比q<0且a<0时，a=a9>0,a=a92<0, 此时a<,a>a,{a}不递增，充分性不成立. 当等比数列{a}为递增数列时，a<2,显然必要性 成立.综上所述，“a<a2”是“{a}为递增数列”的必要 而不充分条件.故选A 数学文化 例B【解析】由题意，可知所记录的数相当于五进制 数，.该渔民捕鱼2×52+2×5+4=64（条）.故选B. 5.3.2等比数列的前n项和 要点精析 例1解：(1)由题意，可知 541-92=2x(1,22=126. 1-9 1-2 (2)设公比为g,由a=子，a=9%, 得04三-64，.0=-4.S21-（-4门153 a 1-(-4) 2 变式训练1解：05.-号】5出 1-g 64 (2)5=1=a4=1-243x3=364 1-91-3 例2解：(1)S=m+a+a,.26=2(1+g+g2),解得9=3 或q=-4 当q=3时，=6；当q=-4时，a2=-8. (2)sS=a+++n+as=a（1+y++g+y)=g,解得 42,440产} 变式训练2(1)A(2)A【解析】(1)由S= a41-(-21=44,得a=4,a=a1q=-8.故选A 1-(-2) a(1-g2)=3,① 1-9 (2)S=3,S4=15,q≠1，由 a(1-9）=15,② 1-9 号得-4又9>0,9=2故选A 例360【解析】令X=a1+a+…+a9=20,Y=2+a4 +…+am,则Sw=X+Y. 由等比数列的n项和性质，知=2，了=40， .S1=X+Y=60. 27 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练3a=4(兮”【解析】设数列a)的首项为 、公比为q,所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇， S.由题意，可知S奇+S=4S偶，即S奇=3S倘..数列{a}的 项数为偶数.9=爱号又0g0w-64. 64,即a=12,故所求通项公式为a=12(兮)4（兮月 例4解：方法一：Sn≠2Sn,q≠1， 4(1-9）=48,① 1-9 由已知，得 4(1-g）=60,② 1-9 ②0，得1+w至，即产 4，③ ③f代入①.得64,5=2-641-63. 19 1-g 方法二：：{a}为等比数列，显然公比不等于1， Sn,S-Sn,Sn-Sn也成等比数列， ..(Sz-S.)2=S.(Sw-Sz), S=(S8+S,=60-482+60=63. 48 变式训练4(1)A(2)60【解析】(1)S,So-S, S1s-So成等比数列，即1,2，a1+a2+a3+a4+as成等比数 列，∴.a+a2+3+a4+as=4.故选A. (2)设等比数列{a}的公比为q, S18=7S6,.q≠1，S12=S6+9S6=S6(1+g)=12,.S6≠0， 故S6,S2-S6,Ss-S2成等比数列，且公比为g, .S18=S6+(S2-S6)+(S18-S2)=S6+9S6+q2S。=7S6, 整理，得S6(g2+g-6)=0. S6≠0，故g2+q-6=0,解得g=2, .S24=S12+(S24-S12)=S12+g12S12=S12(1+gl2)=5S12=60. 数学文化 例B【解析】F=22+1(n=0,1,2,…),∴a= 1og4(F.-1)=log4(2”+1-1)=log2=2m-1,.{a}是等比数 列，首项为1、公比为2，S=122）=2-1.32(2-1) 1-2 =63×2-1,解得n=6.故选B. :专题课1数列的通项公式 要点精析 例1解：(1)观察数列中的数，可以看到0=1-1,3= (28 4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,.它的一个通项 公式是a=n2-1. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是 连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负， .它的一个通项公式为a=(-1)*(2n-1). (3)5=22+1,10=32+1,17=42+1,.数列的一个通 项公式为a,=n n2+1 (④)原数列的各项可变为)×9，号×9，号×99， 号x999,,易知数列9,99,9,999…的 个通项公式为10-1，.原数列的一个通项公式为，= g10-). 变式训练1D【解析】当n=1时，21=1≠0，故A项 n 结误：当=2时，2以子分改B项错误：当= n 1时，n+2≠0，故C项错误：因数列0，多，号 n 华“，可以写成1片2分3分4一，故 其通项公式可以写成a,=n-上，故D项正确.故选D. n ar+atas=7, 例22【解析】由 得a2=2, 6a2=a++7, :ata=5,即9+=5，解得9=2或g=2 9 {a}单调递增，.q=2,.a,=2 变式训练2V2n+2【解析】a,=V2+a-,∴.ad=2+G, .a-a=2,{a}是以4为首项、公差为2的等差数 列，∴.ad=4+(n-1)x2,∴a,=V2n+2. 例3解：当n=1时，a=3; 当n≥2时，a,=S-Sn-=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1. 经检验，=3符合上式，∴a,=2n+1. 变式训练3解：(1)当n=1时，a=1; 当2时，a=8-8g号号 2 整理，得子一，即之分 a是以首项为1、公比为-号的等比数列，