5.2.2 等差数列的前n项和-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章数列。 5.2.2等差数列的前n项和 反思感悟 学习目标 等差数列中计算基本量的两个技巧： 1.熟练掌握等差数列的五个量a,d, (1)利用基本量求值.等差数列的通项 n,a,Sn的关系，能够由其中三个求另外 公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n, 两个 an和Sn,一般是利用公式列出基本量a1和 2.能用an与Sn的关系求an. d的方程组，解出a和d,便可解决问题. 3.理解好等差数列前n项和与二次函数 解题时注意整体代换的思想 的关系，会求等差数列前n项和的最值 (2)利用等差数列的性质解题.等差数 4.理解并能运用等差数列前n项和的 列的常用性质：若m+n=p+9（m,n,p, 性质 9∈N+),则an+a,=a,+a,常与求和公式Sn= 要点精析 n(a+a）结合使用 2 川要点1等差数列前n项和的计算 B变式训练① (1)等差数列{a}的前n项和为Sn, 用等差数列求和公式：①S,=n(a+a) 2 若a4=-8,S,=-9,则S18=() ②S=na+m,l)d解决相关问题。 A.-162 B.-1 2 C.3 D.-81 例1(1)已知等差数列{a}中，=2， (2)已知等差数列{a}满足a=1,an= a+as=6,求Sn 99,d=2,则其前m项和Sm等于 (2)已知a=号，d=分，S=-15,求m 要点2等差数列的前n项和S,与通项 和a2: an之间的关系 (3)已知a=1,an=-512,Sn=-1022, 例2若数列a,的前n项和为S= 32 求公差d. 3h, 则数列{a}的通项a,= 反思感悟 知“和”求“项”方法步骤：(1)由S 构造Sn-1;（2)利用a=Sn-Sn1（n≥2)； (3)验证n=1;(4)写通项公式a 学 13 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 川要点3等差数列前n项和的最值 变式训练2 基本方法主要体现在以下几个方面： (1)本例中若S=n2+2n+1,试求a (1)先求出前n项和公式，再利用二次 (2)若将本例中的条件改为“a=-1,am= 函数求最值的方法求解. S.S1”,试求an (2)利用通项公式，根据等差数列的单 调性求解。 例3记Sn为等差数列{a}的前n项 和，已知a=-17,从以下两个条件中任选其 中一个给出解答.①S=-45;②a2+s=-24 (1)求公差d. (2)求S,并求Sn的最小值. 分析(1)用基本量法.(2)利用二 次函数的最值来求数列的最值，但要注意 函数和数列的定义域不同. 反思感悟 (1)“和”变“项”.首先根据题目条 件，得到新式（与条件相邻），然后作差将 “和”转化为“项”之间的关系，最后求通 项公式 (2)“项”变“和”.首先将4n转化为 Sn-Sl,得到Sn与Sn1的关系式，然后求Sm (14)学 第五章数列。 反思感悟 等差数列前项和的最值有两种求解 变式训练4 方法：一种方法是类比二次函数求最值， 记数列{a}的前n项和为Sn,对任意 这里需要注意，数列问题是离散的，而二 n∈N,有Sm=n(an+n-1) 次函数是连续的，所以在解题过程中要关 (1)证明：{a}是等差数列. 注其不同之处.另一种方法是利用等差数列 (2)若当且仅当n=7时，Sn取得最大 的通项公式，根据数列中项的符号来求等 值，求a的取值范围. 差数列前n项和的最值.如果等差数列为增 数列，前几项和有最小值，如果等差数列 为减数列，前n项和有最大值 B变式训练3 已知等差数列{a}中，a=9,a4+a=0. (1)求数列{a,}的通项公式. (2)当n为何值时，数列{a}的前n 项和取得最大值？ 要点4等差数列前n项和的性质 1.等差数列的依次每k项之和S,S Sk,S4-Sk,…组成公差为k2d的等差数列. 2.(1)若等差数列的项数为2n(n∈ N),则S2=n(an+a+1)(an,an+1为中间两项) 且5aS=d,8-2公 (2)若项数为2n-1,则S2m-1=(2n-1)a a为间项）S-5.8。=分 学(15 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 例4(1)在等差数列{a}中，前n 数学区化 项和为S, 令分则袋() S& 例朱世杰是历史上最伟大的数学家之 A高 B. 一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数 c D青 五问”中有如下问题：“今有官司差夫一千 八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人， (2)已知等差数列{a},{b}的前n项 次日转多七人，每人日支米三升.”其大意 和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n, 为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤 都有会 则，+：、+ 坝，第一天派出64人，从第二天开始每天 2(b3+bg)b2+b0 派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每 ( 人每天分发大米3升.”在该问题中前7天 A3 B.17 37 共分发多少升大米？() c话 D. 20 A.1170 B.1440 41 C.1785 D.1772 B变式训练⑤ (1)等差数列{a}的前m项和为30， 前2m项和为100，求数列{a}的前3m项 的和Sn (2)已知等差数列{a}与{b}的前n项 和分别为1，与且，若合2)，求会 的值 (16)学解这个方程，得n=44,故-121是该等差数列的第 44项. (3)由(1)，知a=-3n+11, 解不等式-200≤-3n+11≤0，得】≤n≤211 3 因此，该数列位于区间「-200,0]内的项从第4项 起直至第70项，共有67项 例3(1)解：-1，a,b,c,7成等差数列，∴b是-1 与7的等差中项，=-1+7-3. 2 又a是-1与3的等差中项，=+3=l.又c是 2 3与7的等差中项，-5 .该数列为-1,1,3,5,7. (2）30【解析】+a4=2as,,∴.+2as+a4=4as=120, ∴.ag=30，∴.2g-a10=(ag+a1o）-a0=as=30. 变式训练3(1)BC【解析】：a,b,c成等差数列， .2b=a+c,.∵△=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0，.∴.二次函 数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2. (2)解：.·(a2+a5+s)-(a+a+）=3d,(a+6+g) (a2+ak5+as)=3d,∴.a+4+a,a+5+as,a+a6+a西成等差数 列，∴.a+a6+w=2(a+as+as)-(a1+a4+a)=2×33-39=27. 数学文化 例解：设10人得金按等级依次设为a4,,,…, a0,则1，，，…，a0成等差数列， a1+a2+a3=4, 且 【a+as+ag+a10=3, 设等差数列a4,,a,…,ao的公差为d, 3a+3d=4, 则 4a+30d=3, 解得d- 78 ..atas+ao=(ar+az+as)+9d=83 6 5.2.2等差数列的前n项和 要点精析 例1解：(1)设等差数列{a}的公差为d,:a=2, a+d=2, a1+a5=6,. 2a1+4d=6. 第得a=1,S=a+d4分n 2 参考答案。 2》15,整理，得 n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去)， a=+(12-1x3}-4 (3)由=naa=n1,512)=-1022,解得n=4. 2 2 又由a,=a+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得d=-171. 变式训练1(1)D(2)2500【解析】(1)设等差 am+13d=-8, 数列{a}的公差为d,a4=-8,Sg=-9, 9a+36d=-9, ,19 a+13d=-8, a9' 化简，得 .S18=18a+153d=-81. a+4d=-1,d=-日， 故选D. (2)由an=a+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m= 50,=50x1+50x49x2=2500. 2 例2号-1【解折】由8=号号4，当1时， s=号-1-。 当1时，号-号背，适合a含-1 4 a,=3n-l. 变式训练2解：(1)由S.=n2+2n+1=(n+1)2,当n>1 时，Sn-1=n2,∴a,=S。-Sn=(n+1)2-n2=2n+l.当n=1时，a= 4,n=1, 1+2+1=4,不适合a,=2n+1,故a,= 2n+1,n≥2 (2).a+=S,S1,a=S+-S,S+-S=S,S+, ,即及1又对日山发是 'S1a1 首项为-1、公差为-1的等卷数列，-1+(-1)-10 -n,S=-1 n 当n1时，及=a58-+ 25 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 -1,n=1, n(n-l)’a,-1 n(n-1),n≥2. 例3解：(1)选条件①：S=-45. 设a}的公差为d,可得S=3a+3x2d=-45,解得 2 a+d=-15 又由a=-17,可得d=2,故数列{a}的公差d=2. 选条件②：a2ts=-24. 设{a}的公差为d,可得+as=a+d+a+4d=-24,即 2a+5d=-24, 又由a=-17,可得d=2,故数列{a}的公差d=2. (2)方法一：由(1)，知首项a=-17,且公差d=2 可得S=na+n(m-1）d=nm2-18n=(n-9)2-81, 2 .当n=9时，Sn取得最小值，最小值为-81. 方法二：a,=-17+2(n-1)=2n-19, 解不等式组a≤0，即2-19≤0， a>0,l2n-17>0, 解得号n≤号 2 .当n≤9时，a<0: 当n>9时，a,>0, .当n=9时，Sn取得最小值，最小值为-81. 变式训练3解：(1)由a=9,a4+=0,得a+3d+a+ 6d=0,解得d=-2,∴.a,=a+(n-1)d=11-2n. (2)方法-：4=9，d=-2,S=9m+nm-1D.(-2)=-n2+ 2 10n=-(n-5)2+25,∴.当n=5时，Sn取得最大值. 方法二：由(1)，知a=9,d=-2<0,∴.{a}是递减 数列.令a,≥0，则11-2n≥0，解得n≤1.neN, 2 n≤5时，a>0,n≥6时，a,<0,∴当n=5时，Sn取得最 大值 变式训练4(1)证明：Sn=na+n(n-1),①则Sn-1= (n-1)a-1+(n-1)(n-2),② ①-②，可得a,=na,-(n-1)an-t2n-2台(1-n)a,=-(n- 1)an-+2(n-1)台→a,-a=-2,故{a}为等差数列. (2)解：若当且仅当n=7时，Sn取得最大值， S>S6, a>0, a-12>0, 则有 得 则 12<a1<14,故a S>S,a<0,a-14<0, 26 的取值范围为(12,14) 例4（DA（2)A【解析】1)受分，故s S2=2S2 S2,S4-S2,S6-S4,Sg-S6为等差数列，故四项可分 别写成S,2S2,3S2,4S,故S8=10S2,S4=3S2,故S4= 高故选A (2)等差数列中，若m+n=p+q,则an+a,=0,+a, 又：等差数列的前n项和为S,=n(a+a a3十15 26,+bg2(6+bg)b+b’ 26+66。.+0.6品。+6 43 =sta=+aL==2X1-3=9,故选A b+bnb1+b1T14×11-341 变式训练5解：(1)在等差数列中，Sm,Sm-Sm, Sn-Sm成等差数列，∴30,70，Sm-100成等差数列， ∴.2×70=30+(Snm-100),.Sn=210. 9(a+） (2）4=9a=9(a+a) 2 =A=9+33 b59b,9(b+bg)9(6+b2B,2(9+1)5 2 数学文化 例C【解析】由题意，每天分发的大米升数构成等差 数列{a},设公差为d,则d=7x3=21,记第一天共分发 大米为a1=64x3=192(升)，则前7天共分发大米7a+ 7x(7-1)xd=7a+21d=7×192+21x21=1785(升).故 2 选C m5.3等比数列 5.3.1等比数列 要点精析 例1CD【解析】当乘以的常数为0时，所得到的数列 不是等比数列，故A错误；b=0时不是等比数列，故B 错误；由等比数列的定义，若g=1,则a=1,即a= l a,故C正确；由等比数列的定义可得各项与公比均不 能为0，若有一项为0，则比值没有意义，故D正确.故 选CD.