5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和的性质及应用，通过类比等差数列性质导入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于系统梳理性质（如S_{n+m}=S_n+q^n S_m等），结合存钱买车、小球落地等实例培养数学眼光与模型意识，通过递推关系判断等比数列发展逻辑推理能力。学生能提升解题与应用能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 1 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧． 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　等比数列前n 项和的性质 [知识梳理] 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋_______(n，m∈N＋). 2．若数列{an}是公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，__________仍构成等比数列． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： qnSm S3n－S2n 返回导航 返回导航 [例1] (1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则S12＝(　　) A．27 B．39 C．81 D．120 【解析】　由题知，S3＝3，S6－S3＝9， 因为数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，所以S9－S6＝27，S12－S9＝81，所以S12＝S9＋81＝S6＋27＋81＝S3＋9＋27＋81＝120.故选D. √ 返回导航 (2)已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 【解析】　设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶， 则S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝qS奇，由S2n＝3S奇，得(1＋q)S奇＝3S奇，因为an>0，所以S奇>0，所以1＋q＝3，解得q＝2. 2 返回导航 利用等比数列前n项和的性质解题的注意点 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体代换思想是解题的关键． 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是(　　) A．28 B．48 C．36 D．52 解析：设等比数列{an}的前n项和为Sn， 则依题意有Sm＝4，S2m＝12，则Sm≠0，且S2m－Sm≠0， 根据等比数列前n项和的性质有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列， 所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)，即(12－4)2＝4(S3m－12)，解得S3m＝28.故选A. √ 返回导航 (2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝________． 3 返回导航 【解】　由题意可得，a2＝2S1＋1＝3，a3＝2S2＋1＝2×(1＋3)＋1＝9. 返回导航 返回导航 给出等比数列前n 项和Sn与第n项an之间的递推关系式，判断an是否为等比数列的常见做法是：用n－1代换n，得到另一个等式，然后两式作差，利用Sn－Sn－1＝an，可以得到一个关于项之间的递推关系，根据递推关系就可以判断该数列是否为等比数列． 返回导航 [跟踪训练2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，n∈N＋. (1)证明：{an}为等比数列，并写出它的通项公式； 返回导航 (2)若正整数m满足不等式Sm≤500，求m的最大值． 解：由(1)可知Sn＝2n＋1－2，因为Sm≤500，所以2m＋1－2≤500，即2m＋1≤502＜512＝29，解得m＋1<9，所以m<8，因为m∈N＋，所以m的最大值为7. 返回导航 三　等比数列前n项和的实际应用 [例3] (对接教材例5)小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存1万元，以后每个月在前一个月的基础上增加20%.记小华第一个月(今年4月)存入的金额为a1万元，小华第n个月当月存入的金额为an万元． (1)求小华前3个月的总存款金额； 【解】　依题意，a1＝1万元，a2＝a1(1＋20%)＝1.2a1万元，a3＝1.2a2万元， 则an＋1＝1.2an，即数列{an}是首项为1，公比为1.2的等比数列，所以an＝1.2n－1，所以小华前3个月的总存款金额为a1＋1.2a1＋1.22a1＝3.64a1＝3.64(万元). 返回导航 (2)若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月的钱才能全款购买这辆汽车．(参考数据：1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30) 返回导航 求解等比数列前n项和的实际应用题的基本步骤 (1)认真审题，建立等比数列的数学模型，将实际问题转化为等比数列的前n项和的问题； (2)利用等比数列的前n项和公式求出数学问题的解； (3)将求得的数学问题的解转化为实际问题． 返回导航 (1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 24 √ 返回导航 √ 2．在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20＝(　　) A．10 B．18 C．36 D．40 解析：易知S10＝10，S30＝130，因为S10，S20－S10，S30－S20为等比数列，所以(S20－S10)2＝S10×(S30－S20)，代入数据可得(S20－10)2＝10×(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍)，所以S20＝40.故选D. 返回导航 120 返回导航 4．(2025·葫芦岛月考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为________． 6 返回导航 1．已学习：等比数列前n项和公式的性质、等比数列前n项和公式的应用． 2．须贯通：灵活利用等比数列的项的性质以及前n项和的性质解题，可以提升解题速度和准确度． 3．应注意：应用公式和性质时易忽略其成立的条件． 返回导航 $