5.3.1 等比数列-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章数列。 5.3等比数列 5.3.1等比数列 学习目标 B变式训练① 1.能叙述等比数列和等比中项的定义， 下列各组数能构成等比数列的是() 能应用定义判断一个数列是否为等比数列， A写石8 2.探索并记忆等比数列的通项公式，能 应用它解决等比数列的问题， B.1g3,1g6,1g27 3.能在具体问题情境中发现等比数列的 C.2,0,0 关系，并能用有关知识解决相应的问题. D.3,-3V3,9 要点精析 川要点2等比中项的定义 1.等比中项的定义：如果x,G,y是等 要点1应用定义判断一个数列是否为等？ 比数列 比数列，那么称G为x与y的等比中项 2.两个正数（或两个负数）的等比中项 主要体现在以下几个方面： 有两个，它们互为相反数.一个正数和一个 (1)在等比数列中，从第二项起后一项 负数没有等比中项 与前一项的比值为定值 例2两个数2,4的等比中项是 (2)等比数列的项不为零， 例1下面四个选项中，正确的有 ( ) 变式训练2 A.由第1项起乘相同常数得后一项， 若2，a+2,a2+a-2成等比数列，则a= 这样所得到的数列一定为等比数列 B.常数列b,b,…,b一定为等比数列 要点3能够应用等比数列通项公式解决· C.等比数列{a}中，若公比g=1,则 相关的问题 此数列各项相等 D.等比数列中，各项与公比都不能为零 主要体现在以下几个方面： 分析利用等比数列的定义 (1)给出通项公式会判断该数列为等比 数列 (2)能根据等比数列通项公式a,=aq- 高中数学选择性必修第三册人教B版 求出首项和公比， 例3若数列{a,}的通项公式为a,=5× 川要点4等比数列的性质 2”,这个数列是等比数列吗？如果是，求出 设数列{a}为等比数列，则： 首项a和公比g (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N),则 aja-anar (2)若m,p,n成等差数列，则an, a,an成等比数列. 例4已知{a}为等比数列. 1）若aa,求auia (2）若a,>0,a+2a6g+a6a12=49,求a6+ag B变式训练3 (1)已知等比数列{a}中，s=40,as= 10,求ao (2)若等比数列的首项为，末项为 行，公比为子，求这个数列的项数。 (18)学 第五章数列。 变式训练 B变式训练④ (1)(多选题)关于递减等比数列{a,}, (1)在等比数列{a}中，aa+2aa6+as,= 下列说法正确的有() 12，,则a2+a6=（) A.当a>0时，0<g<1 A.2V3 B.±2V3 B.当a>0时，q<0 C.-2V3 D.-12 C.当a<0时，q>1 (2)已知在各项均为正数的等比数列{a} D.dn-<1 中，a1a20=4,aasw-9,则a4asa6= an+l (2)已知{a}(n∈N)为等比数列，则 川要点5等比数列的单调性 “a<”是“{a}为递增数列”的() 例5等比数列{a}的首项为a,公比 A.必要而不充分条件 为q B.充分而不必要条件 (1)当 时， C.既不充分也不必要条件 数列为递增数列. D.充要条件 (2)当 时， 数学文化 数列为递减数列： (3)当 时， 例我国古代《周髀 数列为常数列 算经》中记载，古人通过 (4)当 时， 在绳子上打结来记录数量， 数列为摆动数列。 即“结绳计数”.如图， 一位渔民在从右到左依次 图5-3 排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼的 条数.由图可知，这位渔民共捕鱼（) A.39条 B.64条 C.11条 D.224条 学(19N 高中数学选择性必修第三册人教B版 -1,n=1, n(n-l)’a,-1 n(n-1),n≥2. 例3解：(1)选条件①：S=-45. 设a}的公差为d,可得S=3a+3x2d=-45,解得 2 a+d=-15 又由a=-17,可得d=2,故数列{a}的公差d=2. 选条件②：a2ts=-24. 设{a}的公差为d,可得+as=a+d+a+4d=-24,即 2a+5d=-24, 又由a=-17,可得d=2,故数列{a}的公差d=2. (2)方法一：由(1)，知首项a=-17,且公差d=2 可得S=na+n(m-1）d=nm2-18n=(n-9)2-81, 2 .当n=9时，Sn取得最小值，最小值为-81. 方法二：a,=-17+2(n-1)=2n-19, 解不等式组a≤0，即2-19≤0， a>0,l2n-17>0, 解得号n≤号 2 .当n≤9时，a<0: 当n>9时，a,>0, .当n=9时，Sn取得最小值，最小值为-81. 变式训练3解：(1)由a=9,a4+=0,得a+3d+a+ 6d=0,解得d=-2,∴.a,=a+(n-1)d=11-2n. (2)方法-：4=9，d=-2,S=9m+nm-1D.(-2)=-n2+ 2 10n=-(n-5)2+25,∴.当n=5时，Sn取得最大值. 方法二：由(1)，知a=9,d=-2<0,∴.{a}是递减 数列.令a,≥0，则11-2n≥0，解得n≤1.neN, 2 n≤5时，a>0,n≥6时，a,<0,∴当n=5时，Sn取得最 大值 变式训练4(1)证明：Sn=na+n(n-1),①则Sn-1= (n-1)a-1+(n-1)(n-2),② ①-②，可得a,=na,-(n-1)an-t2n-2台(1-n)a,=-(n- 1)an-+2(n-1)台→a,-a=-2,故{a}为等差数列. (2)解：若当且仅当n=7时，Sn取得最大值， S>S6, a>0, a-12>0, 则有 得 则 12<a1<14,故a S>S,a<0,a-14<0, 26 的取值范围为(12,14) 例4（DA（2)A【解析】1)受分，故s S2=2S2 S2,S4-S2,S6-S4,Sg-S6为等差数列，故四项可分 别写成S,2S2,3S2,4S,故S8=10S2,S4=3S2,故S4= 高故选A (2)等差数列中，若m+n=p+q,则an+a,=0,+a, 又：等差数列的前n项和为S,=n(a+a a3十15 26,+bg2(6+bg)b+b’ 26+66。.+0.6品。+6 43 =sta=+aL==2X1-3=9,故选A b+bnb1+b1T14×11-341 变式训练5解：(1)在等差数列中，Sm,Sm-Sm, Sn-Sm成等差数列，∴30,70，Sm-100成等差数列， ∴.2×70=30+(Snm-100),.Sn=210. 9(a+） (2）4=9a=9(a+a) 2 =A=9+33 b59b,9(b+bg)9(6+b2B,2(9+1)5 2 数学文化 例C【解析】由题意，每天分发的大米升数构成等差 数列{a},设公差为d,则d=7x3=21,记第一天共分发 大米为a1=64x3=192(升)，则前7天共分发大米7a+ 7x(7-1)xd=7a+21d=7×192+21x21=1785(升).故 2 选C m5.3等比数列 5.3.1等比数列 要点精析 例1CD【解析】当乘以的常数为0时，所得到的数列 不是等比数列，故A错误；b=0时不是等比数列，故B 错误；由等比数列的定义，若g=1,则a=1,即a= l a,故C正确；由等比数列的定义可得各项与公比均不 能为0，若有一项为0，则比值没有意义，故D正确.故 选CD. 变式训练1D【解析】由等比数列的定义，可判断D 正确. 例2±2V2【解析】设两个数的等比中项是x,则x2= 2×4,∴.x=±2V2, 变式训练24【解析】由题意，可知(a+2)2=2(a+ a-2),.=4或a=-2(舍)，综上有=4. 例3解：由题数，有a5x2,则之之，小 {a}是等比数列，且g=2.当n=1时，a=5x2=10. 变式训练3解：（①)设公比为，则二9”8 as ag =4,则产3或3,0=a5或-5。 (2)由通项公式，有a×号”=片号户 8号，-13，即n4 例4解：()在等比数列a中，aa=2, .1 d=nas=a子，adia=子 (2)化简条件，得(a6)2+2a+(as)2=49, 即(a6+a)2=49, .a>0,∴.a6+g=7 变式训练4(1)B(2)6【解析】(1)在等比数列 (a}中，aa+2a6+asa=12,则ai+2a6+a6=(a+a6)2=12, 则a+a6=±2V3.故选B. (2){a}是等比数列，.a4a,=d,aas=a,a=a6, ∴.aiaai6=(a）(as)(a5)=(aa)(aas）=4×9=36.an> 0，∴.a4as6=6. 例5解：(1)q>1,a>0或0<q<1,a<0 (2)q>1,a<0或0<q<1,a>0 (3)q=1 (4)9<0 变式训练5(1)AC(2)A【解析】(1)当a> 0,0<g<1时，从第2项起，数列的每一项都小于前一 项，.数列{a}递减，故A正确； 当a>0,q<0时，{a}为摆动数列，故B错误； 当a<0,q>1时，数列{a}为递减数列，故C正确； a1-a,=a9(g-1)<0,当a>0时，q<1,此时a>1, 当am<0时，q>1,a<l,故D错误.故选AC 参考答案。 (2)当公比q<0且a<0时，a=a9>0,a=a92<0, 此时a<,a>a,{a}不递增，充分性不成立. 当等比数列{a}为递增数列时，a<2,显然必要性 成立.综上所述，“a<a2”是“{a}为递增数列”的必要 而不充分条件.故选A 数学文化 例B【解析】由题意，可知所记录的数相当于五进制 数，.该渔民捕鱼2×52+2×5+4=64（条）.故选B. 5.3.2等比数列的前n项和 要点精析 例1解：(1)由题意，可知 541-92=2x(1,22=126. 1-9 1-2 (2)设公比为g,由a=子，a=9%, 得04三-64，.0=-4.S21-（-4门153 a 1-(-4) 2 变式训练1解：05.-号】5出 1-g 64 (2)5=1=a4=1-243x3=364 1-91-3 例2解：(1)S=m+a+a,.26=2(1+g+g2),解得9=3 或q=-4 当q=3时，=6；当q=-4时，a2=-8. (2)sS=a+++n+as=a（1+y++g+y)=g,解得 42,440产} 变式训练2(1)A(2)A【解析】(1)由S= a41-(-21=44,得a=4,a=a1q=-8.故选A 1-(-2) a(1-g2)=3,① 1-9 (2)S=3,S4=15,q≠1，由 a(1-9）=15,② 1-9 号得-4又9>0,9=2故选A 例360【解析】令X=a1+a+…+a9=20,Y=2+a4 +…+am,则Sw=X+Y. 由等比数列的n项和性质，知=2，了=40， .S1=X+Y=60. 27