5.2.1 等差数列-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.2等差数列 5.2.1等差数列 反思感悟 学习目标 判断一组数列是不是等差数列的方法 1.理解等差数列的概念，并能利用等差 是看它的后一项减前一项是不是同一个常数. 数列的定义判断或证明一个数列是否为等差 变式训练① 数列 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项： 判断下列数列是否为等差数列. 的概念 (1)1,1,1,1,1. 3.掌握等差数列的性质，并能在具体问 (2)4,7,10,13,16. 题中正确应用 (3)-3,-2,-1,1,2,3. 4.了解等差数列与一次函数的关系 要点精析 川要点1等差数列的概念相关问题 等差数列的定义：一般地，如果数列 {a}从第2项起，每一项与它的前一项之差 都等于同一个常数d,即a1-a=d恒成立， 则称{a}为等差数列，其中d称为等差数 列的公差， 川要点2等差数列的通项公式 例1判断以下数列是不是等差数列.如 果是，指出公差；如果不是，请说明理由 1.等差数列的通项公式有两个基本量： (1)7,13,19,25,31. 首项和公差d,故求通项公式主要是利用 (2)2,4,7,11. 方程思想解a,d. (3)-1,-3,-5,-7. 2.等差数列通项公式的两种形式： (1)a=a+(n-1)d. (2)a=an+(n-m)d. 3.等差数列通项公式的函数形式：a,= kn+b(k,b为常数)· 10)学 第五章数列。 例2(1)已知数列{a}为等差数列， 变式训练2 44，求5的直 已知等差数列8,5,2，…. (2)已知数列{a}的通项公式为a= (1)求该数列的第20项， 3-5,判断这个数列是不是等差数列.如果 (2)试问-121是不是该等差数列的项？ 是，求出公差；如果不是，请说明理由. 如果是，指明是第几项；如果不是，试说明 分析思路一：通过通项公式a,=a+ 理由 (n-l)d建立关于a,d的方程，求出a,d (3)该数列共有多少项位于区间[-200， 后，再求出a5；思路二：通过通项公式a 0]内？ an+(n-m)d求出d,然后再求出as 反思感悟 (1)应用等差数列的通项公式求41和 d,运用了方程的思想.一般地，可由an=a, 川要点3等差数列的性质 a,=b,求出a山和d,从而确定通项公式.若 已知等差数列中的任意两项am,an,求通项 1.等差中项：如果x,A,y是等差数 公式或其他项时，则运用an=an+(m-n)d较 列，那么称A为x与y的等差中项。 为简捷 2.在等差数列{a}中，若m+n=p+g (2)数列{a}是等差数列的充要条件 (m,n,p,q∈N),则am+a=a,+a特别地， 是a=kn+b,其中k,b是常数. 若m+n=2p,则an+a=2ar 学 711 高中数学选择性必修第三册人教B版 例3(1)在-1与7之间顺次插入三 个数a,b,c,使这五个数成等差数列，求 数学文化 此数列 例古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘 (2)在等差数列{an}中，已知a2+2a+ 建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等 a4=120,则2ag-a0的值为 十人，官赐金，依等次差降之.上三人先入， 得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤， 持出；中央三人未到者，亦依等次更给.问 各得金几何及未到三人复应得金几何.”这 段话的大致意思是：“一共有10个人，按 顺序得到的赏金成等差数列，前3个人得到 的赏金总质量为4斤，最后4个人得到的赏 金总质量为3斤，问每个人得到多少赏金， 未到的三个人得到多少赏金”则该问题中 反思感悟 未到三人共得多少赏金？ 数a,b,c成等差数列的充要条件是 分析根据题意，由条件可得10人得 b=a+c(或2b=a+c),可用来解决等差数列 金可构成等差数列，代入计算，即可得到 公差d,从而得到结果 的判定或有关等差中项的计算问题， ⑧变式训练③ (1)(多选题)若a,b,c成等差数列， 则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交 点的个数可能为() A.0 B.1 C.2 D.3 (2)在等差数列{a}中，已知a+a4+ a=39,a2+as+ag=33，求a+a6+a的值. (12)学高中数学选择性必修第三册人教B版 an-an-=Inn-In(n-1) 将以上各式等号两边分别相加，得 a=2+ln2+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+[lnn-ln(n-1)] (n≥2)， .a=2+lnn(n≥2) a=2也适合上式，.a,=2+lnn. 变式训练3【解析】a=1,L=1+1+L=3,故1 6 a -21+=343=6.a=6 2 例4A【解析】方法一：，an+2a+-n,.a+=a2a=-an, 即a,=a6,∴.数列{a}中的项具有周期性，T=6.由a= 1,2=2,依次对a+2=a+1-,赋值，可得a=1,a4=-1, 45=-2,6=-1.一个周期内6项的和为0，而2022÷6= 337. .数列的前2022项和S2o2-0.故选A 方法二：通过赋值计算得a=l,a2=2,a=1,a4=-1, as=-2,a=-1,a=1,a=2,…,发现数列{a}中的项具 有周期性，其余同上 变式训练4B【解析】a=-1,2=-3,a,+2=-3,.a= 3,a4=1,a5=-1,6=-3,=3,a%=1,…,.{a}是以4 为周期的周期数列，且a4+a+a+a4=0,a2m1=a1=-1,am= a2=-3,a2023=a3=3,.S2m3=505(a4++a3+a4）+a+a2+a3=-1. 故选B. 例5解：当n=1时，a=S=2-30=-28; 当n≥2时， an=S-S1 =2n2-30m-[2(n-1)2-30(n-1)] =4n-32 经检验，n=1时，a=-28=4x1-32也适合上式， ∴.a=4n-32. 变式训练5解：当n=1时，a=S=12-3x1+2=0: 当n≥2时，a,=S.-Sn1=(n2-3n+2)-[(n-1)2-3(n-1)+ 2]=[n2-(n-1)2]-[3m-3(n-1)]+(2-2)=2n-1-3=2m-4. 0,n=1, ,a=0不满足a=2n-4,∴.= 2n-4,n≥2. 数学文化 例C【解析】1+3+3+5+5+7=24，故编号为26的佛塔 在第7行，呈宝瓶状.故选C 24 n m5.2等差数列 5.2.1等差数列 要点精析 例1解：(1)13-7=19-13=25-19=31-25=6，.该数 列是等差数列，且公差为6. (2).4-2=2,7-4=3,.4-2≠7-4，.该数列不是等 差数列 (3)-3-(-1)=-5-(-3)=-7-(-5)=-2,.该数列是 等差数列，且公差为-2. 变式训练1解：(1)根据等差数列的定义，可知所给 数列是首项为1、公差为0的等差数列。 (2)根据等差数列的定义，可知所给数列是首项为 4、公差为3的等差数列 (3)(-1)-(-2)≠1-(-1)，.这个数列不是等差 数列 5 a=4’ 例2解：(1)方法一：由 7 a=-4’ a+2d=5 11 a24 得 解得 /a+6ds-7 4 a=a+(15-10=+14x个4）=-} 4 方法二：由=+7-3)d,即-子=子4，解得 a+(15-3a-+12x-- (2)a1-=3(n+1)-5-(3n-5)=3,.数列{a}是 等差数列，且公差为3. 变式训练2解：(1)记该等差数列为{a,公差为d, 由a=8,d=5-8=-3,得数列的通项公式是 a.=8-3(n-1)=-3n+11. 该数列的第20项a=-3×20+11=-49. (2)由(1)，知a=-3n+11, 如果-121是这个数列的项，则方程-3n+11=-121有 正整数解 解这个方程，得n=44,故-121是该等差数列的第 44项. (3)由(1)，知a=-3n+11, 解不等式-200≤-3n+11≤0，得】≤n≤211 3 因此，该数列位于区间「-200,0]内的项从第4项 起直至第70项，共有67项 例3(1)解：-1，a,b,c,7成等差数列，∴b是-1 与7的等差中项，=-1+7-3. 2 又a是-1与3的等差中项，=+3=l.又c是 2 3与7的等差中项，-5 .该数列为-1,1,3,5,7. (2）30【解析】+a4=2as,,∴.+2as+a4=4as=120, ∴.ag=30，∴.2g-a10=(ag+a1o）-a0=as=30. 变式训练3(1)BC【解析】：a,b,c成等差数列， .2b=a+c,.∵△=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0，.∴.二次函 数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2. (2)解：.·(a2+a5+s)-(a+a+）=3d,(a+6+g) (a2+ak5+as)=3d,∴.a+4+a,a+5+as,a+a6+a西成等差数 列，∴.a+a6+w=2(a+as+as)-(a1+a4+a)=2×33-39=27. 数学文化 例解：设10人得金按等级依次设为a4,,,…, a0,则1，，，…，a0成等差数列， a1+a2+a3=4, 且 【a+as+ag+a10=3, 设等差数列a4,,a,…,ao的公差为d, 3a+3d=4, 则 4a+30d=3, 解得d- 78 ..atas+ao=(ar+az+as)+9d=83 6 5.2.2等差数列的前n项和 要点精析 例1解：(1)设等差数列{a}的公差为d,:a=2, a+d=2, a1+a5=6,. 2a1+4d=6. 第得a=1,S=a+d4分n 2 参考答案。 2》15,整理，得 n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去)， a=+(12-1x3}-4 (3)由=naa=n1,512)=-1022,解得n=4. 2 2 又由a,=a+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得d=-171. 变式训练1(1)D(2)2500【解析】(1)设等差 am+13d=-8, 数列{a}的公差为d,a4=-8,Sg=-9, 9a+36d=-9, ,19 a+13d=-8, a9' 化简，得 .S18=18a+153d=-81. a+4d=-1,d=-日， 故选D. (2)由an=a+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m= 50,=50x1+50x49x2=2500. 2 例2号-1【解折】由8=号号4，当1时， s=号-1-。 当1时，号-号背，适合a含-1 4 a,=3n-l. 变式训练2解：(1)由S.=n2+2n+1=(n+1)2,当n>1 时，Sn-1=n2,∴a,=S。-Sn=(n+1)2-n2=2n+l.当n=1时，a= 4,n=1, 1+2+1=4,不适合a,=2n+1,故a,= 2n+1,n≥2 (2).a+=S,S1,a=S+-S,S+-S=S,S+, ,即及1又对日山发是 'S1a1 首项为-1、公差为-1的等卷数列，-1+(-1)-10 -n,S=-1 n 当n1时，及=a58-+ 25