5.3.2 等比数列的前 n 项和-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

040 课堂检测固双基 1.已知{an,{bn}都是等比数列，那么( )5.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们 A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列 的平方和为91，求这三个数 B.{an+bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一 定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列，但{an·bn} 定是等比数列 D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列 2.在等比数列{an}中，an<an+1,且a2a1=6, a4+,=5,则2“等于 a11 A.6 c日 n 3.已知{an}是等比数列，且an>0,a2a4+2aa+ a4a6=25,那么a3+a5= A.5 B.10 C.15 D.20 4.已知等比数列{an}中，a4=7,a6=21,则a12= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8] 5.3.2 等比数列的前n项和 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.充分类比等差数列求和的方法，结合等比数列 1.借助教材实例了解等比数列前n项和公式 的性质，体会错位求和的含义与操作过程中蕴 的推导过程.（逻辑推理） 含的求和思想， 2.借助教材掌握a1,an,9,n,Sn的关系.（数 2.充分挖掘等比数列前n项和公式的特征，构建 学运算) 等比数列通项与前n项和的一次线性表示. 3.掌握等比数列的前n项和公式、性质及其 3.类比指数函数的性质，感受等比数列前n项和 应用.（数学运算) 公式与指数函数的联系， 041 必备知识探新知 知识点一等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 选用公式 9=1, 9=1, ,9≠1. ,9≠1. 知识解读：对等比数列前n项和公式的说明 (1)在求等比数列{an}的前n项和公式时，应分g=1和g≠1两种情况，若题目中没有指明，切 不可忘记对g=1这一情形的讨论。 (2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量，即a1,am,9,n,S.,通常已知其中三个 量可求另外两个量，这一方法简称为“知三求二” (3)等比数列前n项和公式与其公比g的关系 ①当公比9≠1时，等比数列的前n项和公式是S.=a,1-g) 1。它可以变形为S.=-1-g·9 +二g设A=产g则上式可写成心。=的+A的形式 则数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Ag+A图像上的一群孤立的点. 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且 指数型函数的系数与常数项互为相反数. ②当公比g=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1,则数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y =ax图像上的一群孤立的点. 知识点二等比数列前n项和的性质 (1)若{a是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qSm (2)在等比数列a,中，当项数为2n(n∈N)时， S鹰二41 (3)an}是公比不为-1的等比数列，则Sn,Sn-S.,Sn-Sn仍成等比数列，其公比为q: 知识解读：对于等比数列{an}来说，S,n,S2m-Sn,S3n-S2n等均有为0的可能性，此时Sn,S2m-Sn, Sm-S2不能构成等比数列，所以在使用此性质时，一定要注意性质中公比不为-1的前提. 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一与等比数列前n项和有关的基本运算 例1.在等比数列1a.中，公比为g,前n项和为s (1)若a1=8,an= (2)若8=子8求a及5： (3)若a6-a4=24,a3·a5=64,求S8 4)若a4分求a 042 [分析]在等比数列中，对于a1,an,n,9,Sn五个量，若已知其中三个量 就可求出其余两个量，常列方程（组）来解答问题.当涉及高次方程或指数方 程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理. 规律方法： 等比戴列前n项和运 算的技巧 (1)在等北数列的通 项公式和前n项和公 式中，共涉及五个 量：a1,an,n,q,Sn 其中首项a1和公比q 为基本量，且“知三 求二”，常常列方程 组来解答， (2)对于基本量的计 算，列方程组求解是 基本方法，通常用约 分或两式相除的方法 ·[规律方法] 进行消元，有时会用 》对点训练1口 到整体代换。 提醒：两式相除是解 (1)(2023·甲卷（文）)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3, 决等比数列基本量运 则{an}的公比为 算常用的运算技巧. (2)(2025·辽宁高二检测)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为 S,a=36a=a,则s,= (3)(2024·湖北荆门高一期末)已知等比数列{a.}的前n项和为Sn,若 子、则数列a.的公比g= () 规律方法： 等比数列前n项和公 A.3 c3或 D.以上都不对 式的特征 数列{an}是非常数裁 题型二等比数列前n项和公式的函数特征 列的等北裁列台Sn= 例2(2025·上海高二检测)已知数列a.是等比数列，其前n项和为S, -Ag”+A(A≠0， 3m-1+k(n∈N*),则常数= D[规律方法]q≠0,1，n∈N). 即指数式的系数与常数 》对点训练2 项互为相反裁，其中 (2024·贵州贵阳高三期末)设等比数列{an的前n项和为Sn,且Sn= k·2”-3,则a4= ( A.4 B.8 C.12 D.16 043 题型三等比数列的前n项和的性质的应用 例3()(205·云南昆明高三模拟)已知等比数列1口，的各项都是正数。 Sn为其前n项和，若S4=8,S=24,则S6= () A.40 B.56 C.72 D.120 (2)(2025·江西南昌高三模拟)下列说法正确的是 () ①若数列{an}是等差数列，且anm+an=a,+a,(m,n,s,t∈N*),则m 规律方法： +n=s+l; 等比数列前n项和的 ②若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn,S2m-Sn,Sm-S2n成等差 性质 数列； (1){an}是公比不为 ③若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn,S2n-Sn,Sn-S2n成等比 -1的等比数列，则 数列； Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍 ④若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn=Ag”+B(其中A,B是非 成等比裁列，其公比 为q” 零常数，n∈N*),则A+B为零 (2)在等比数列{an} A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 中，当项裁为2n(n∈N) [规律方法] 海4 》对点训练3 吖，S (1)(2025·山西太原高三模拟)已知一个项数为偶数的等比数列{a.}, 所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则α1= () A.11 B.12 C.13 D.14 (2)(2024·江西师大附中高一月考)设正项等比数列{an}的前n项和 为Sn,若S3=3,S。-S6=12,则S6= 题型四等比数列前n项和公式的实际应用 例4某企业年初有资金100万元，如果该企业经过生产经营，每年资金 增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下的资金投 入再生产.为实现5年后，资金达到2000万元（扣除消费资金后），那 么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？（精确到1万元）》 [分析]依次写出每年年底扣除消费资金后的资金，寻找规律写出第五 项求解 044 》对点训练4 (2025·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人 苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主日：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此 问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的 禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各偿还 多少？该问题中，1斗为10升，则羊主人应偿还多少升粟？ () 号 B.50 3 c D.100 7 ●易错警示 忽略对公比g的讨论致误 例5已知等比数列1a中，a=2,心=6，求4，和 [错解1由等比数列的前n项和公式得3，-419》21==6， 1-91-9 1-9)(1+9+4)=3, 1-9 ∴.1+g+q=3,∴.9+q-2=0. ∴.9=-2或q=1(舍去)∴.a3=a19=2×(-2)2=8. [误区警示]错解中由于没讨论公比g是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式S,= a1(1-9 1-9 ,从而导致漏解 [正解] 045 课堂检测 固双基 1.已知在等比数列{am}中，a1=3,an=96,Sn=5.已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和 189,则n的值为 A.4 B.5 8号 C.6 D.7 (1)求{an}的通项公式； 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3 (2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求 成等差数列若a1=1,则S4等于 () {bn}的前n项和Tn A.7 B.8 C.15 D.16 3.(2023·新高考Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前 n项和，若S4=-5,S。=21S2,则Ss=（) A.120 B.85 C.-85 D.-120 4.若等比数列{an的前n项和为Sn,a3= 2, 夯基提能作业 =号则公比g= 请同学们认真完成练案[9] 等比数列习题课 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.进一步理解等比数列中a,与Sn的关系， (数学运算) 体会不同的求和方法中所蕴含的求和思想，能针 2.掌握几种与等比数列有关的求和方法.（数 对不同的数列选择恰当的求和方法。 学运算) 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 关于等比裁列Sn与an 题型一等比数列an与Sn的关系 的关系 例)已知正项等比数列a,的前n项和为S,4=1,且-4，4，成 （1)Sn与an的关系 等差数列，则Sn与an的关系是 ）可以由S。=41a9得 1-q A.S,=2a-1 B.S =2a +1 到，一般已知a1,9即 C.S =4a-3 D.S =4a -1 可得到二者之间的关 系，也可以通过特殊 (2)数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关项验证判断. 于{an}的论断中正确的是 ( (2)Sn-Sn-1=an（n ≥2)是Sn与a之间 A.一定是等差数列 的内在联系，既可以 B.可能是等差数列，但不会是等比数列 推出项an-1,an,an+l 之间的关系，也可得 C.一定是等比数列 到Sn-1,Sn,Sn+1之间 D.可能是等比数列，但不会是等差数列 ·[规律方法] 的关系，体现了Sn与 an关系的本质.意到am>0,所以an=2" 于是log2a1+log2a3+…+log2a2m-1=1+3+…+(2n-1) =n2 方法四：1·a2m-1=a3·a2m-3=a5·a2-5=…=(an)2= 22",所以log2a1+log2a3+…+log2a2m-1=log(a1a3…a-1）= log[(a1a2m-1)(aa2m-3)…(a2m-1a1)]=log22=n2. 对点训练3：(1)25解法一：a,a2=aa1=aga10=5, agaoaoau =52=25. 解法二：由已知得a1g·a1g"=ag7=5, .asayaroa1=a19·a19·a19·a190=a14·g4=(a, g7)2=25. (2)1或64a1a=a3a,=64,a3,a7是方程x2-20x+ 64=0的两根. 解得=4，或，=16， la7=16,la,=4. ①若a3=4,a1=16,则由，=a39得，g=4, .a1=a9=16×4=64. ②若a,=4,6=16,则由4=a9得，g= au=a,9=4×}=1放au=64,或au=l (3)50由a1oa1+aa2=2e3,可得a1oa1=e3. 令S=lna1+lna2+…+lnao,则2S=(lna1+lnao)+ (lna2+na1g)+…+(lna20+lna1）=20ln(a1a20) =20n(a1oa1)=20lne3=100,所以S=50. 例4：设四个数为20-a, a,ag, rd=16, 9 则由题意得 2a -a）·ag=-128, 解得或G48 lg=4. 因此所求的四个数为-4,2,8,32或4，-2，-8，-32. 对点训练4：(1)3,6,12,24设这四个数分别为a,ag,ag2, ag3,则a-1,ag-1,ag2-4,ag-13成等差数列， 四-)=(a-+(g4, 12(ag2-4)=(ag-1)+(ag3-13), 整理得9-13。解得=2a=3. la9(g-1)2=6,1 因此所求四个数为3,6,12,24. (2)-4,2,8由已知，可设这三个数为a-d,a,a+d,则 a-d+a+a+d=6,∴.a=2, 这三个数可表示为2-d,2,2+d, ①若2-d为等比中项，则有(2-d)2=2(2+d),解之得 d=6,或d=0(舍去).此时三个数为-4,2,8. ②若2+d是等比中项，则有(2+d)2=2(2-d),解之得 d=-6,或d=0(舍去).此时三个数为8,2，-4. ③若2为等比中项，则22=(2+d)·(2-d),.d=0(舍 去) 综上可知此三数为-4,2,8. 例5：A因为an}为等比数列，所以aa7=a4a6=a1ag: 所以(a1a)2=81,即a1a,=±9. 因为在等比数列{a.}中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以a1,ag同号，所以a1ag=9. 课堂检测固双基 1.C当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等 -16 比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不 是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 2.B aza=aado,.aad =6, 又a4+ag=5,且an<amtl,.a4=2,a,=3, 哈-受号成陆B 3.A由等比数列的性质，得a4a6=a2,a,a4=a32, .(a3+a5)2=a32+2a3a5+a52 =a2a4+2aa5+a4a6=25, ∴.a3+a5=±5..an>0,∴.a3+a5=5 4.567解法一：可知a4,a6,ag,a10、a2成等比数列. 其公比为经-头-3所以ae=a·3=7×3=567. 4 解法二：设等比数列{a.}的公比为q,则8s=g=3. a12=a4·q=7×34=567. 解法三：由，=7：得97，两式相比得(=3. la6=21,la19=21, a2=a1·g"=(a1·g）·g=a6·(g2)3=21×33=567. 5.解法一：设三个数依次为a,ag,ag2, 由题意得0，·ag·叫=27， 1a2+a2g+a2g=91, ag)'-27, 1a2(1+g2+g)=91, 即g3, 1a2(1+g2+g)=91, 9 六1+0+9g7 g-82+9=0,解得分=9或分=g 5q=3或9=±分 若q=3,则a1=1;若g=-3,则a1=-1; 若9=3，则a,=9若9=-分，则4=-g 故这三个数为：1,3,9或-1,3，-9或9,3,1或-9,3，-1. 解法二：设这三个数分别为日，a,a四 9 ·a·ag=27, 9 ra=3, 由题意，得 a +ad+a2G=91, .9g-82g2+9=0, 即得=g或=9 9=±3或9=±3， 故这三个数为：1,3,9或-1,3，-9或9,3,1或-9,3，-1. 5.3.2等比数列的前n项和 必备知识探新知 知识点一na1 a(1-g") a-anq 1-9 na 1-q 关键能力攻重难 8- 1 例1：①显然9≠1由=1-9=经，得0方 又a,=a,g-,即8x(宁)”=n=6 (2)方法一：由S6≠2S3知q≠1. 0-2-30 1-g 由题意得 42-号2 1-g ②÷①，得1+g3=9,.q3=8,即q=2. 将g=2代人①得a,=2, 1 a.=ag1=号×2=2，s=a02 1-9 2-分 方法二：由S3=a1+a2+a3,S6=S+a4+a5+a6=S3+ 国++m)=+=1+得1+-受=9， 93=8,q=2 将g=2代入8总1g-子得a=宁 1-9 4=ag=分×2=2,8=a12 1-9 2-7 (3)方法一：由题意，得9-a9=24, l(a19)(a19)=64, 化简得09（分-1）=24,3 la193=±8，④ ③÷④，得g2-1=±3，负值舍去，.92=4,9=2或9= -2. 当g=2时，代人③得a,=1,S=1-）=25. 1-9 当g=-2时，代入③得a,=-15=1.2的 1-g 3 综上可知，5=25或2 方法二：由等比数列的性质得a·a,=a=64, .a4=±8. 当a4=8时，6-a4=24,a6=32,g=g2s=4,g= ±2. 当a4=-8时，a6-04=24,a6=16,g2=86=-2, 无解. 故q=±2，a4=8. 当9=2时，4=2=1,8=1）=25： 1-9 当9=-2时，4=%=-1，S=1-9）_255 1-9 3 综上可知，8-25政学 (4)当g=1时，0=4=4，=子，满足S=4分 a=2' 3 当9≠1时，由题意得 a(1-9)=4 解得 1-9 2 16 ra1=6, 综上可知，a=号或6 =-2 对点训练1：(1)-2 等比数列{an中，8S6=7S2, 则q≠1， 所以8×1-g)-7x4(1-） 1-g 1-9 1 解得9=-2 放答案为-分 (2)号设等比数列a,的公比为g 因为4=5,6d=,所以6×(3)=写9， 解得，9=2，则S= 1-2) 31 1-2=3 (3)C由S-5得a,+a+,=为，所以g++a,9 9 因为=号所以片+1+0=号 9 所以302-10g+3=0,解得9=了或9=3.故选C 例2：-号方法一：由已知得，4=S=1+k,4=S-S =2,a3=S3-S2=6 因为数列an}是等比数列，故a=a1a3, 即2=6(1+)，解得k=-子 方法二：因为数列{an}是等比数列， 放3.=1-g) a 1 1-91-g°+-9 又因为S,=3+=3”×号+么，故可得=号 对点训练2：C当n≥2时，an=Sn-Sn-1=k·2“-l; 当n=1时，a1=S1=2k-3=k·21-1, 解得k=3,.ak=a3=3·23-1=12.故选C. 例3：(1)D因为S4=8,Sg-S4=16,S2-Ss,S6-S2成等 比数列， 所以S12-Sg=32,S6-S2=64,S6=S4+(Sg-S4)+ (S2-Sg）+(S16-S12)=8+16+32+64=120. (2)C①若数列{an}是常数列，对任意的正整数m,n,s,t 都有am+an=a.+a,①错误； ②设等差数列an}的公差为d,首项是a1,S。=a1+a2+… +an,Sa-S=a+1+an+2+...+a=(a+nd)+(a2 nd) +…+(an+nd)=Sn+nd,同理Sm-S2n=(S-Sn)+n2d,因 此2(S2m-Sn)=Sn+(S3m-S2n),则Sn,S2m-Sn,S3m-S2n成等差 数列，②正确： ③若等比数列{a}的公比g=-1,a1=2,则S2=0,S4-S2 =0,S6-S4=0,不可能成等比数列，③错误； ④等比数列的前n项和为Sn=Ag”+B,则g≠1，否则S。= a所以及g2是gg+产g即4 1-g 8=A+B=0,④正确.故选C 对点训练3：(1)B由题意可得所有项之和为S奇+S偶是 所有偶数项之和的4倍，∴.S奇+S偶=4S偶，设等比数列a.}的公 比为q,由等比数列的性质可得5得=q5有，即S音=。S锅， n+5=4 S≠0，解得g=3又前3项之积a1a4=a店=64，解 得，=441=2=12.故选B. (2)9因为数列{an}为正项等比数列，所以S,S6-S, ,-S。也成等比数列，则(S。-S)2=S·(S,-S6),将S=3, S-S6=12代人，可得S6=9. 例4：设an表示第n年年底扣除消费资金后的资金，则： a=101+2）-x,4-1(1+2)-(1+2)- =100(1+2-1+)-x, a=[100(1+2）-x(1+2)-x](1+分）- 100(1+3)广-x(1+3)-x(1+2）-x 依此类推，得： 西=100(1+2）°-x(1+)°-x(1+分）广 (1+分）广-(1+2）-x 则100x(3)°-[(3）广+(3)'++1]=2o0. 1wx(房)1（侵】 =2000 1-3 解得x≈424（万元）.·每年年底扣除的消费资金为424 万元 对点训练4：C设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,则 a,}是公比为的等比数列。 1 1 所以S,= -2 50 1 12 解得a-9所以羊主人应偿还： 9×-9升聚 7 例5：若g=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时，9=1，a=a1 =2. 若g≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S,=-g） 1-9 _21-4）=6, 1-9 解得9=1（舍去）或9=-2. 此时，a3=a19=2×(-2)2=8. 综上所述，9=1，a3=2或q=-2,a3=8. 课堂检测固双基 1.C由a.=a19-1,得96=3g-1,…g”-1=32=2. 令n=6,9=2,这时5。-31-？2=189，符合题意， 1-2 故选C. 16 2.C设等比数列{a,}的公比为g. :4a1,2a2,a3成等差数列， ∴.4a2=4a1+a3,即4a19=4a1+a19,即g2-4q+4=0. 解得2又41=号=15放选C 3.C等比数列{an}中，S4=-5,S6=21S2,显然公比q≠1， 设首项为4，则a1=-5①，1g2: 1-9 1-9 21a(1-9)2 1-9 化简②得g+g2-20=0,解得g=4或g2=-5(不合题意， 舍去)， 代入①得二，寸 所以3=12=2,1-91+4)=写×(-15)× 1-q (1+16)=-85. 故选C. 4.1或-2 因为a=子3=号所以4+4+4=号 9 则a1+a2=3, 所议号+号=3，化简得2对-9-1=0解得=1或号 5.(1)设an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+ 324=号，化简得4+2d=24+d=子解得a=1,d 之，放通项公式4=1+”， 即a,=”+1 2 (2)由(1)得，=1，b,=a5=15,=8.设b.}的公比为g,则 2 b,1-g）= ==8,从而g=2.故b,}的前n项和7=1-9 1×(1-2）=2"-1. 1-2 等比数列习题课 关键能力攻重难 例1：(1)A设等比数列的公比为q(9>0), 由a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列， 得2a2=a4-a3,即2q=g3-g,得q=2. -1-am×2 所以S,=12,则5=2a,-1 (2)B a1=3S,,a =3S-1;a-a=3a,= 4an(n≥2)，而n=1时，a2=3S,=3a1,可知该数列不是等比数 列.当an=0时，数列an为等差数列.故本题正确答案为B. 对点训练1：(8号-分 1 2)-的依题意，及2+1作表得a=2a… 所以数列{an}是公比为2的等比数列， 又因为a1=S1=2a1+1, 所以a1=-1,所以an=-2“-1, 所以8=山2：-8 例2：(1)a=1+2+22+…+2"- 1-2=2”-1. Γ1-2