5.1.2 数列中的递推-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5.1.2数 学习目标 1.能根据数列中的部分项发现并写出数 列的递推关系式。 2.会根据数列的递推关系求数列中的项. 3.会根据数列的递推关系用迭代法、累 加法、累乘法求数列的通项公式。 4.会用前n项和Sn与通项am的关系求 数列的通项公式 要点精析 川要点1数列的递推关系 如果已知数列的首项（或前几项），且 数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用 一个公式来表示，则称这个公式为数列的递 推关系（也称为递推公式或递归公式）· 思考递推公式与通项公式有什么联 系和区别？ 例1写出下列数列的一个递推关系 式，并求出各个数列的第7项. 01方子g ，…; (2)2,3,5,8,12, (3)2,3,5,9,17,… 分析考虑相邻两项的差或比的关系 即可得到. 第五章数列。 列中的递推 B变式训练① 数列1,3,6,10,15，…的递推公式 可以是() A.a+=a+n,n∈N B.a=an-1+n,n≥2，n∈Nt C.an+=an+(n+1),n≥2，n∈N D.a,=an-+(n-1),n∈N,n≥2 川要点2根据数列的递推关系求数列的项？ 例2设数列{a}中，a=2,a+1=l an-1 (n≥2且n∈N),则a22=() A.-1 B C.2 D.3 分析根据数列递推关系式求解数列 的周期，再利用数列的周期性求解数列的项， B变式训练② 已知数列{a}满足a=x,a2=y,且a+1= a,-an-1(n≥2)，则2m=（) A.x B.y C.y-x D.-x 川要点3由递推公式求通项公式 由递推公式求通项公式常用的方法： (1)归纳法：从特例入手，归纳、猜想 数列的通项公式，一般是依次写出前几项， 观察项与项的序号的关系，从中寻找规律写 出通项公式.(2)从一般入手，根据递推公 学 高中数学选择性必修第三册人教B版 式，充分运用迭代、累加、累乘、化归等常 用方法推导出通项公式. 例3已知a=2,a1=a,+n1+1 (n∈ N),则数列{a}的通项公式为 分析利用an+1与an之差等于f(n)= n1+品，而m)可以进行蒙预求和，具体 根据递推关系式写出(n-1)个等式，再把 这些等式两边分别相加，即可得到n≥2时 的a,但要注意验证n=l时是否满足通项 公式的情况， 反思感悟 形如an+1-a,=f(n)的递推关系，可以考 虑用迭代法或累加法求通项公式 B变式训练3 已知数列{a中，a=1,1-1=n+1, an+l an 则其第3项为 I川要点4数列的前n项和 一般地，给定数列{a},称Sn=a++ +…+an为数列{a,}的前n项和. 例4已知数列{a}满足：对任意的 n∈N均有an+2=an+1-an成立，且a4=1,2=2, 则该数列的前2022项和S22=（) A.0 B.1C.3D.4 分析根据an+2=a+1-a.可知，数列{a 具有周期性，即可解出 B变式训练④ 在数列{a}中，a=-1,a2=-3,a,a2=-3, 记数列{a}的前n项和为Sn,则S2=() 8)学 A.-3 B.-1 C.0 D.3 川要点5已知S,求a 例5已知数列{a}的前n项和为S, 且Sn=2n2-30n,求数列{a}的通项公式. 分析利用a= S1,n=1, 即可 Sn-Sn-1,n≥2， 求解 反思感悟 S1,n=1, 已知Sn=f(n),利用a= lS-Sn-l,n≥2 求a,时，特别要注意分n=1和n≥2两种情 况进行讨论，还要判断两种情况结果能 否合并 B变式训练⑤ 已知在数列{a}中 2,求an 第五章数列。 数学文化 前n项和S=n2-3n+ 例一百零八塔是中国现存的大型古塔 群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水 库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按 1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19 的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型： 第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶 状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状.现 将一百零八塔按从上到下、从左到右的顺序 依次编号1,2,3,4，…，108.则编号为 26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（) A.第5行，呈葫芦状 B.第6行，呈葫芦状 C.第7行，呈宝瓶状 D.第8行，呈宝瓶状 学(9故选A 变式训练8解：方法-：&a=a+3)-(冬-(a+2) (g=g八5g 当0<n<5时，a1-a,>0,即a>a 当n=5时，an1-a,=0,即a=a; 当n>5时，an1-a<0,即a1<ar 故有a<a<a<a4<as=a>a>as>…, ∴.当n=5或n=6时，数列{a}有最大项，即数列 {a}第5项和第6项最大. 7+ (n+3)· 方法二：1= 8 7(n+3) (n+2)(8 8(n+2) 令al>l,则m+3)>l,解得0<n<5; 8(n+2) 令al=l,则n+3=l,解得n=5: 8(n+2) 令a1<l,则7+3<1，解得>5. 8(n+2) 又a>0,故有a1<a<a3<a<as=a>a>>…, ∴.当n=5或n=6时，数列{a}有最大项，即数列 {a}第5项和第6项最大. 方法三：假设{a}有最大项，且最大项为第k项， 则/≥4， +2-冬≥+1居， 即 a4≥as+, +2小g广≥+3)居” 解得5≤k≤6，∴.{a}的最大项为第5项和第6项. 数学文化 2,n为偶数， n2 例a,= 180【解析】观察此数列，可 2,n为奇数 n2-1 知当n为偶数时，a=受：当n为奇数时，a=” 2 aw19⊥=180. 2 5.1.2数列中的递推 要点精析 例1解：(1)2= 213 4 8 d 12’a2 1 参考答案。 1 1 4=16_1 2, =，·=，印+1=， 8 从而a= 1 -1-1×1-1 2a6=4s=4×1664 (2)a-a1=3-2=1,a5-a2=5-3=2,a4-a=8-5=3,a5 a4=12-8=4, :.a41-a,=n,从而a=a6+6=s+5+6=12+11=23. (3)m-a=3-2=1,a-a=5-3=2,a4-a=9-5=4,k aw=17-9=8. .a1-a,=2m1,从而a=a6+2=s+24+2=17+16+32=65. 变式训练1B【解析】设数列1,3,6,10,15，…为 {a},则a-4=2,a-=3,a4-a=4,a5-a4=5,…，n=1 时，A、D不合题意；而C中不包含-a=2,由此可得 数列{a}满足a,-a=n,n≥2，neN.故选B. 例2B【解标】由已知，得a=1-,可求a=分， a=-1,a=2,数列a的周期为3，题=分故 选B 变式训练2C【解析】根据递推关系，可得x,y,y- x,-x,-y,-y,这6个数值依次重复出现，即可得数 列{a的周期为6，∴.2m=6=ag=y-x,故选C. 例3a=2+lnn【解析】方法一（观察法)：数列的前5 项分别为a=2,=2+n2.a=(2+1n2)n号-2+ln3,a (2+ln3)+ln- 4=2+n4,由此可猜想数列的通项公式为a,= 2+Inn. 方法二（迭代法）：a2=a+ln2,a=+ln}, 2，a=a+ In 4 3，…，a=a itIn n -1’ 则a=a+lhn2+h子+n号+…+ln-2+mna≥2) 2 n-1 又.a=2也满足上式，.a=2+nn. 方法三（累加法）：&ura=nl+hln(a+1)-ln, a=2, 2-a=ln2, as-a=In3-In2. a4-a=ln4-ln3,…, 23 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 an-an-=Inn-In(n-1) 将以上各式等号两边分别相加，得 a=2+ln2+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+[lnn-ln(n-1)] (n≥2)， .a=2+lnn(n≥2) a=2也适合上式，.a,=2+lnn. 变式训练3【解析】a=1,L=1+1+L=3,故1 6 a -21+=343=6.a=6 2 例4A【解析】方法一：，an+2a+-n,.a+=a2a=-an, 即a,=a6,∴.数列{a}中的项具有周期性，T=6.由a= 1,2=2,依次对a+2=a+1-,赋值，可得a=1,a4=-1, 45=-2,6=-1.一个周期内6项的和为0，而2022÷6= 337. .数列的前2022项和S2o2-0.故选A 方法二：通过赋值计算得a=l,a2=2,a=1,a4=-1, as=-2,a=-1,a=1,a=2,…,发现数列{a}中的项具 有周期性，其余同上 变式训练4B【解析】a=-1,2=-3,a,+2=-3,.a= 3,a4=1,a5=-1,6=-3,=3,a%=1,…,.{a}是以4 为周期的周期数列，且a4+a+a+a4=0,a2m1=a1=-1,am= a2=-3,a2023=a3=3,.S2m3=505(a4++a3+a4）+a+a2+a3=-1. 故选B. 例5解：当n=1时，a=S=2-30=-28; 当n≥2时， an=S-S1 =2n2-30m-[2(n-1)2-30(n-1)] =4n-32 经检验，n=1时，a=-28=4x1-32也适合上式， ∴.a=4n-32. 变式训练5解：当n=1时，a=S=12-3x1+2=0: 当n≥2时，a,=S.-Sn1=(n2-3n+2)-[(n-1)2-3(n-1)+ 2]=[n2-(n-1)2]-[3m-3(n-1)]+(2-2)=2n-1-3=2m-4. 0,n=1, ,a=0不满足a=2n-4,∴.= 2n-4,n≥2. 数学文化 例C【解析】1+3+3+5+5+7=24，故编号为26的佛塔 在第7行，呈宝瓶状.故选C 24 n m5.2等差数列 5.2.1等差数列 要点精析 例1解：(1)13-7=19-13=25-19=31-25=6，.该数 列是等差数列，且公差为6. (2).4-2=2,7-4=3,.4-2≠7-4，.该数列不是等 差数列 (3)-3-(-1)=-5-(-3)=-7-(-5)=-2,.该数列是 等差数列，且公差为-2. 变式训练1解：(1)根据等差数列的定义，可知所给 数列是首项为1、公差为0的等差数列。 (2)根据等差数列的定义，可知所给数列是首项为 4、公差为3的等差数列 (3)(-1)-(-2)≠1-(-1)，.这个数列不是等差 数列 5 a=4’ 例2解：(1)方法一：由 7 a=-4’ a+2d=5 11 a24 得 解得 /a+6ds-7 4 a=a+(15-10=+14x个4）=-} 4 方法二：由=+7-3)d,即-子=子4，解得 a+(15-3a-+12x-- (2)a1-=3(n+1)-5-(3n-5)=3,.数列{a}是 等差数列，且公差为3. 变式训练2解：(1)记该等差数列为{a,公差为d, 由a=8,d=5-8=-3,得数列的通项公式是 a.=8-3(n-1)=-3n+11. 该数列的第20项a=-3×20+11=-49. (2)由(1)，知a=-3n+11, 如果-121是这个数列的项，则方程-3n+11=-121有 正整数解