5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质、最值及应用，通过“零存整取”储蓄问题导入，衔接已学等差数列概念与求和公式，搭建从生活实例到数学模型的学习支架，明确构造模型、解决最值、探索性质的学习目标。 其亮点在于以“问题情境—性质探究—例题解析—跟踪训练”为主线，培养学生用数学眼光观察现实（如储蓄问题）、用数学思维推理（如性质推导与多解法）、用数学语言表达（如车间生产零件模型）。例如例3将生产零件转化为等差数列求和，跟踪训练3结合“蚊香”圆弧激发探究，课堂小结系统梳理方法与思想，助力学生提升逻辑推理与应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 1 新课导入 学习目标 　　银行有一种“零存整取”的储蓄项目：它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期存款到期，可以提出全部本金及利息，这是整取．我们比较关心的是利息多少，你从中发现等差数列了吗？ 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题． 2．能解决等差数列中前n项和的最值问题． 3．探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________． －110 返回导航 返回导航 返回导航 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到事半功倍的效果． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝16，则S12＝(　　) A．30 B．26 C．56 D．42 解析：由等差数列的性质可知S4，S8－S4，S12－S8，…构成等差数列，即2，14，…， 所以S12－S8＝26， 所以S12＝S8＋26＝42.故选D. √ 返回导航 返回导航 3 返回导航 返回导航 大 小 返回导航 小 大 返回导航 [例2] (对接教材例3)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 [跟踪训练2] (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论错误的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．a13＞0 C．当Sn取得最大值时，n＝13 D．|a13|＞|a12| √ √ √ 返回导航 返回导航 (2)已知等差数列{an}中，a1＝－10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的取值范围是________． 返回导航 三　等差数列前n项和的实际应用 [例3] (2025·营口月考)某车间全年共生产2 250个零件，已知1月该车间生产了105个零件，且每月该车间生产零件的个数按等差数列递增，则该车间从2月起每月比前一个月多生产多少个零件？该车间12月生产多少个零件？ 返回导航 返回导航 应用等差数列解决实际问题的一般思路 返回导航 [跟踪训练3] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　) √ A．44π B．64π C．70π D．80π 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 34 √ 1．(教材P59T3改编)在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S9＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋S9－S6＝2(S6－S3)，即3＋S9－9＝2×(9－3)，所以S9＝18.故选B. 返回导航 √ √ 解析：由a9<0，a1＋a18>0，所以a1＋a18＝a9＋a10>0，即a10>－a9>0，所以当1≤n≤9，n∈N＋时，an<0；当n≥10，n∈N＋时，an>0；所以a1<0，故A错误；a10>0，故B正确；S9<0，故C错误；Sn的最小值为S9，故D正确．故选BD. 返回导航 返回导航 4．(2025·东营月考)已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值． 返回导航 1．已学习：等差数列前n项和性质问题、最值问题以及与前n项和有关的实际应用问题． 2．须贯通：(1)巧妙利用性质可简化运算，体现整体代换的思想； (2)通项法求前n项和的最值，需寻求项的正负临界值；二次函数法求最值，往往借助数列是特殊的函数，利用函数图象直观寻求最值点． 3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 返回导航 $