5.2 等差数列习题课-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

25x17+7(17-1)d=25x9+号(9-1)d, 解得d=-2 5.=25n+2(n-1)(-2)=-(n-13)2+169, 由二次函数的性质得当n=13时，S.有最大值169. 方法二：先求出d=-2(同方法一) .a1=25>0, 由，=25-2(n-1)≥0， 「n≤132， 得 lan+1=25-2n≤0， ≥22 ∴.当n=13时，S有最大值169. 方法三：先求出d=-2(同方法一). 由S1,=S,得a10+a1+…+a1=0, 又a10+a17=a1+a16=a12+a15=a1g+a14, 故a3+a14=0. d=-2<0,a1>0,∴.a13>0,a14<0. 故n=13时，Sn有最大值169. 方法四：先求出d=-2(同方法一)，则S。的图像如图 所示， 0 91317 由S,=5知，图像的对称轴n=9,17=13, 2 故当n=13时，Sn取得最大值169. 对点训练3：(1)20方法一：对任意n∈N,都有S,≤S 成立，即S4为S.的最大值.因为a1+a4+a,=99,a2+a5+as= 93,所以a4=33,a=31,故公差d=-2,am=a4+(n-4)d= 41-2,当S,取得最大值时，对任意neN°满足≥0，解得 antl≤0， n=20 即满足对任意neN*,都有S,≤S成立的k的值为20. 方法二：同方法一可得公差d=-2,an=a4+（n-4)d= 41-2,则n=1时，a,=39,所以S,=号2+(a1-)n=-元 +40n=-（n-20)2+400,即当n=20时，S,取得最大值，从而 满足对任意neN,都有S,≤S成立的k的取值为20. (2)7S,=S,所以其对称轴为n=3+=7,知n=7时 2 Sn取最大值 例4：a1=S1=6, n≥2时，a.=S.-S.-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+ 3(n-1)+2]=2n+2, 「6， 、(n=1)显然4，-a=6-6=0,4-a, a,={2n+2,(n≥2)， 2,.an}不是等差数列. 课堂检测固双基 1.BS=1(a,+a)-1(a,*a）_1x16-8 2 2 2.BS5=S1o, 则Sio-S=a6+a7+ag+a+a1o=5ag=0,解得ag=0, 又因为4=1，所以公老d=-分， 16 故a=a,-71=子故选B 3.C am=Sm-Sm-1=2,am=Sm+1-Sm=3,d=am+l-am =3-2=1.由Sm m(a+a）=0,得a1=-an=-2 ∴.am=-2+（m-1)·1=2,解得m=5. 4.C若{an}是等差数列，设数列{an的首项为a1,公差为d, 则S.=na,+nn,-1d, 2 d n 故{侣}为等若数列， 即甲是乙的充分条件. 反之.者[倍}为等茶数列，则可设-÷=0， n+l n 则=S,+(n-1)D,即S。=n心，+n(n-I)D, 当n≥2时，有S.-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D, 上两式相减得：an=S.-S.-1=S,+2(n-1)D, 当n=1时，上式成立，所以an=a1+2(n-1)D, 则am+1-a,=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D(常数)， 所以数列{an}为等差数列. 即甲是乙的必要条件」 综上所述，甲是乙的充要条件 故本题选C. 5.(①)设公差为d,由题意得+41=山， la1+7d=5, 解得a19, d=-2. .∴.an=a1+(n-1)d=19-2(n-1)=21-2n. (2)由题意，得厂+d+a+3d=4, a1+2d+a1+4d=10, +2d=2, la+3d=5, 解得厂0÷-4， Ld=3. 5。=(-4)×10+10x9x3=95. 2 等差数列习题课 关键能力攻重难 例1：(1)153由a1=-7,a+1=an+2,得a1-a,=2,则 a1,a2,…,a17是首项为-7，公差为2的等差数列. 所以S,=17×(-7)+17×()7-山×2=153. 2 (2)4700由a1=-7,am2=a,+2,可得a+2-an=2,故 a1,a3,a5,a,…,ag是首项为-7，公差为2的等差数列，共 50项. a,+a+a5+…+a0=50×(-7）+50x(50-山x2= 2 2100. 同理，a2,a4,a6,…,a1m是首项为3，公差为2的等差数列， 共50项， 4+a4+a6+…+am=50×3+50x(50-×2= 2 2600.故S1m=2100+2600=4700. 对点训练1：(：8=号+0（分》=-5， 整理得n2-7n-60=0, 解得n=12或n=-5(舍去). (2)由s.=(a,+a）-n1-512)--1022. 2 2 解得n=4. 又a=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171. （3)由s,=5a2-24,得a+a,-8 2 放+=a+a-号 例2：(1)Aa4=S4-S3=42-1-32+1=7. 2)n=1时a=S=-子+1-1=子 当n≥2时，am=S。-S-1 =-+-1-【-(-12+(-)- =-3n+ 马，因为a,=-号不适合a,=-3加+， 5 -(n=1), 3 所以an= .5 -3n+2(n≥2). (3)因为an+2S.·Sm-1=0, 所以an=-2Sn·Sn- 当n=1时，a1=2 1 当n≥2，neN*时，an=Sm-Sn-1, 所以Sn-S-1=-2SnSm-1①. 因为4=子所以S,510。 ①式的两边同除以SnS。-得： 11 S-1 S 20安文2 所以数列日}是首项为2，公差为2的等差数列， 所以对=2+2n-)=2,即：8- 1 则a,=-25,.-1=2n(n-n≥2） 因为a=号不满足a,=-2a-厅n≥2)，所以数列的 .1 2n=1, 通项公式为an= 1 （2n(n-1)n≥2. 对点训练2：(1)Ban=Sn-Sn-1=2”-2"-1=2-1(n≥2)， 又S1=2=2,a1=2-1=1.不符. 2,n=1, a={2-l,n≥2 a=28-1=27=128 2){02n十i,m≥2由题意知，当n=1时，a=S=0, 当n≥2时，Sn=-n2+1①， S4-1=-(n-1)2+1②， 所以①-②，得am=S-S.-1=-2n+l. 16 :a1=0不适合an=-2n+1. 「0，n=1, .'a= 1-2n+1,n≥2. (3)A由S。·√Sm-1-S-1·S,=2√S.·Sm-1(n≥ 2),两边同除以√Sn·Sm-1,得Sn-√S.-1=2;而S1=a1=1, .√S=1+2(n-1)=2n-1,Sn=4n2-4n+1;再根据an= Sn-Sn-1,得an=8n-8,所以a1o=8×10-8=72 例3：(1)设等差数列an}的公差为d, 因为4=7,4+a,=26,所以有0+2d=7, L2a1+10d=26, 解得a1=3,d=2.所以am=3+2(n-1)=2n+1; s.=3n+n(m,-x2=m2+2n 2 (2)因为a.=2n+1,所以6，=1 a-1(2n+1)2-1 1.1=11-1 =4n(n+)）=4nn+i》 所以=1+++片) =4(1-n+h)4+ 即数列b,的前n项和T,=4(n+1) 对点训练3：(1)号原式=兮方+5子+…+ )兮)品 (2)①由题意，数列{an}的前n项和为Sn=4n2+kn,可得 S1=4+k,S2=16+2k,因为a2=20,所以16+2k-(4+k)=20, 解得k=8, 所以a1=S1=12,Sn=4n+8n, 当n≥2时，S.-1=4(n-1)2+8(n-1), 所以a.=S.-S-1=4n2+8n-4(n-1)2-8(n-1)= 8n+4, 当n=1时，符合上式，所以数列{a.}的通项公式为am= 8n+4. ②油①知a-1=8n-4,可得bn-b.-1=8n-4(n≥2)，所以 b2-b1=12,b3-b2=20,b4-b3=28,…,bn-bn-1=8n-4, 所以b。-b=12+20+28+…+(8n-4)= (n-1)(12+8n-4=4n2-4,又由b1=3,可得6.=4n2-1(n 2 ≥2)， 当n=1时，b1=3,满足上式，所以bn=4n2-1. 所u站六2-i2n(+) 1 1 11 所以.=-+方+…+22n 111 11 =21-2n+)2n+ 11 n 例4：等差数列a的公差d=9=-26-60) 16 =3 ∴.am=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由am<0,得3n-63<0,即n<21. ∴.数列{an}的前20项是负数，第21项及以后的项都为非 负数. 设S.,S分别表示数列{an}和{IanI}的前n项之和，当n≤ 3 20时=-8=--60m+a02x3=3+: 2 当n>20时，S%=-S0+(S.-Sn）=Sn-2520 =-0+2ax3-2×(-60×202”4x3到= 2 3-+1260 2 数列{IanI}的前n项和 +a0. $= 3f-12.+1260.(a>20. 对点训练4：(1)2436a1=-10,d=2, 所以an=-10+2(n-1)=2n-12. a6=0, 故S3=1-101+1-81+1-61=24, Ss=lal+la2l lagl +..la6l+lal+lasl=-a-az- .…-a6+a7+ag=36. (2)①因为在等差数列{an}中，a1+a5=8,a4=2, 所以2a+4d=8, a1+3d=2, 解得a1=8,d=-2, 所以an=8+(n-1)×(-2)=10-2n. ②由am=10-2n≥0，得n≤5， a5=0,a6=-2<0, 因为Tn=la1I+la2I+la3I+…+IanI,所以当n≤5时， T,=8m+nm2-Dx(-2)=9n-n2. 2 当n>5时， T,=-[8n+nm2Dx(-2)]+2×(9x5-5)=n2-9n 2 +40. r9n-n2,n≤5， 所以T.=-9n+40,n>5. 例5：1。 -11-1 n(n+2)=2nn+2) 数列{2}的前n项和=(-+分片 1.1 1 32n+3 n+2)=4-2(m+1)(n+2) 课堂检测固双基 1.B设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 r3a1+3d=6,「d=-3, 15a+10d=-5a=5, 所以S6=6a+15d=6×5+15×(-3)=-15,故选B. 2.Can=120+5(n-1)=5n+115, 由an<180得n<l3且neN, 由n边形内角和定理得， (n-2)×180=nx120+nn,-1x5. 2 解得n=16或n=9 .n<13,∴.n=9. 3.C设公差为d,因为a,+a。=2a+5d=4,a,=3,所以d= 子所以a,=了+(a-)×号=7，所以n=56 16 4.Ca1+a4+a7=39,a3+a6+ag=27,.a1+a4+a7=3a4= 39,a3+a6+ag=3a6=27,即a4=13,a6=9. ∴.d=-2,a1=19. ∴s=19x9+9X5x(-2)=9 n(n+1) 5.因为am= na行t…*nn=2 1 2 2 11) 所以6，=2= 2 8 2 2 因此数列么的前n项和为5=8（片-）+8（分号）+ …+8(hh)=81-中i)n0r 5.3等比数列 5.3.1等比数列 第1课时等比数列的定义 必备知识探新知 知识点一第2项同一个常数公比q 知识点二a1g”- 关键能力攻重难 例1：0①不是等比数列，因为≠ a ②不一定是等比数列，因为不知道2的值事实上，即使号 =2,数列{an}也未必是等比数列. ③不一定是等比数列，当c=0时，数列不是等比数列. 对点训练1：D[5+1]=2, 所以x-f(x)=5-1,即三个数为5-1,2,5+1. 而5+1+5-1=25≠4，(5+1)(5-1)=2≠4，所以数列 x-f代x)f代x),x不是等差数列，也不是等比数列. 例2：(1)a3=a1g, 所以27=3g2,所以9=±3， an=3"或a.=-（-3)”; (2)设公比为9，由题意，得 ∫a9+a19=18 ① la192+a93=9 ② 得=分4=2 1 又a=132×(分)-t=1, 即26-"=2°，n=6. 对点训练2：(1)D设等比数列{a.}的公比为q,9≠0，由 题意，9≠1. :前3项和为a1+a2+a3= 1-9）=168,42-a3=a· 1-9 9-a1·9=a1·g(1-g3）=42, q=2,41=96, 1 则a6=4·g=96×32=3, 故选D. (2)解法一：由等比数列的定义知a=a19,a3=a19,代人 已知得， 4027 等差数列习题课 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.进一步理解等差数列的定义、通项公式以 1.深刻理解数列的项和关系，有了项an可以求和 及前n项和公式.（逻辑推理) Sn,有了和Sn也可以求项am,两者在一定条件下 2.理解等差数列的性质和等差数列前n项和 可以相互转化. 公式的性质.（数学运算） 2.一些通项公式为分式的数列，分母为等差数列 3.掌握等差数列前n项和之比的问题.（逻辑 推理) 两项相乘的形式，求和可以考虑裂项法 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一等差数列的基本运算 例1.(I)已知数列a,中，a=-7,a1=a,+2,则a+a+…+a (2)已知数列{an}中，a1=-7,a2=3,an2=an+2,则S1o= 规律方法： [规律方法]等差数列运算的求解 对点训练1 策略 由等差数列的前n项 已知等差数列{an}中， 和公式及通项公式可 (1)4=3,d=25=-15,求 知，若已知a1,d,n, am,Sn中的三个便可 (2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d; 求出其余的两个，即 (3)S=24,求a2+a4 “知三求二”.“知三 求二”的实质是方程 思想，即建立方程组 求解.这种求解思路 称为“基本量法” 028 题型二 己知函数的前n项和S,求通项an 例2(1)数列a,的前n项和S=r-1,则a ( A.7 B.8 c.9 D.17 (2)数列o.的前n项和5.=-+n-1,求数列1a.的通项 公式 规律方法： (3)已知数列a.的前n项和为S,满足a=a,+2S,·S.1 1.由Sn求通项公式an的 步骤 =0(n≥2，n∈N*),求数列{an}的通项公式. 第一步：令n=1,则a1= [分析](1)求a4→Sn=n2-1→a4=S4-S3; S,求得a1; (2)求a,的通项公式→8，=-多+n-1今分n=1与n≥2→检 第二步：令n≥2，则an= S-S-1; 验→结论， 第三步：验证a1与an的 (3)当n≥2时，an=S.-Sn-1,消去式中a.,得到Sn的递推关系→ 关系： {Sn}的通项公式→an （1）若a1适合an,则an= Sn-Sn-1 （2)若a1不适合an,则 S1,n=1, an lSn-Sn-1,n≥2. 2.Sn与an的关系式的应用 国青★回 （1)“和”变“项” 首先根据题日条件，得到新 式（与条件相尔），然后作 差将“和”转化为“项”之 间的关系，最后求通项 公式 (2)“项”变“和” 首先将an转化为Sn-Sn-1 得到Sn与Sn-1的关系式 然后求Sn ·[规律方法] 》对点训练2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=2”,则ag= () A.64 B.128 C.32 D.216 (2)设数列{an}的前n项和S,=-n2+1,那么此数列的通项公式 a,= (3)正项数列an},a1=1,前n项和S满足Sn·√Sn--Sn-1· √Sn=2√S.·Sn-1(n≥2)，则a1o= () A.72 B.80 C.90 D.82 ●029 题型三裂项求和 例3.已知等差数列1a,满足a=74,+,=26,a,的前n项和为S (1)求an及Sn; 1 (2)令6，-n∈N,),求数列6，的前n项和 [分析](1)设出公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，规律方法： 进而求出a。及Sn;(2)先由(1)求出bn的通项公式，再根据通项的特点选择 求和的方法 对子形}（共 中{an}为等差数列) 的求和问题一般用裂 项法，它的基本思想 是没法将数列的每一 项拆成两项（裂成两 项)，并使它们在相 加时除了首尾各有一 项或少数几项，其余 各项都能前后相抵 消，进而可求出数列 的前n项和.常用到的 裂项公式有如下 形式 1 [规律方法] (1)n(n+k) 》对点训练3 1)35文5+5女7+7g+…+55 1 日+动 (2)1 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn且a2=20,Sn=4n2+kn. Vn+k+in ①求数列{a.}的通项公式； 太(a+k-而. ②若数列6，满足6，=3,6.-61=0(n≥2)，求数列}的前n项 和T 030 题型四含绝对值的数列的前n项和 例分析米系中T的时四之精间面的 意义，要求我们应首先分清这个数列中的哪些项是负的，哪些项非负的.由已 知，数列{α}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起哪 些项是负数，然后再分段求出前项的绝对值之和. 规律方法： 已知{an为等差裁 列，求数列{IanI}的 前n项和的步骤 第一步，解不等式an ≥0（或an≤0)寻我 {an}的正负项分 界点 ●[规律方法] 第二步，求和，①若 am各项均为正裁（或 》对点训练4 均为负数)，则{IanI (1)等差数列{an}中，a1=-10,d=2,则数列{1anI}的前3项的和S3= 各项的和等于{an}的 ,前8项的和S8= 各项的和（或其相 (2)已知等差数列{an}中，a1+a5=8,a4=2. 反数). ①求数列{an}的通项公式 ②若a1>0,d<0(或 ②设Tn=la|+la2|+la3|+…+lanl,求Tn a1<0,d>0)这时裁 列{an}只有前面有限 项为正裁（或负数) 可分段求和再相加. ●031 ●易错警示 裂项求和要找准相加相消的规律 例5.求数列 n(n+2)}的前n项和 [错解] 1/1-1 nn+2)2(nn+2, 数列 1 In(n+2) 前n项布5=1-背+分子写写+…+日)=1+ [误区警示]错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项. [正解] [点评]运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找出规 律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项、错项的错误， 课堂检测固双基 1.(2025·全国Ⅱ卷)记S.为等差数列a.的前5.在数列a,中，a,= n+1+n++…+n 2 n项和，若S=6,S=-5,则S。=（ n+1 A.-20B.-15 C.-10 D.-5 又b.=2,求数列b.的前n项和。 2.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的 a an+l 内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边 数n等于 A.12 B.16 C.9 D.16或9 1 3.在等差数列{a,}中，已知a1=3,a1+a6=4, an=37,则n等于 () A.50 B.49 C.56 D.51 4.在等差数列{an}中，若a1+a4+a=39,a3+a6 +a=27,则数列{an}前9项的和为() A.297 B.144 夯基提能作业 C.99 D.66 请同学们认真完成练案[6]