5.1.1 数列的概念-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章数列。 第五章数列 5.1 数列基础 5.1.1数列的概念 ①数列1,3,5,7,9和数列9,7,5， 学习目标 3,1是相同的数列； 1.了解数列的定义及有关概念 ②-4，-2,0，x,4,6是一个项数为6 2.能根据数列的前几项写出数列的一个 的数列； 通项公式 ③{0,1,2,3,4,5}是有穷数列； 3.能根据数列的通项公式求解或判断项. ④所有正整数构成的数列是无穷数列： 4.能根据数列的通项公式判断数列的增 ⑤数列1,2,3,4，…，n是无穷数列 减性，并能根据增减性求参数的取值范围和 分析结合数列的定义以及有穷数列 求数列的最大项和最小项， 和无穷数列的定义即可进行判断 要点精析 变式训练① (多选题)下列说法正确的有()》 川要点1数列的有关概念 A.数列的项必须是数 1.数列：按照一定次序排列的一列数称 B.数列的项可以相等 为数列 C.数列中的项与项的序号是相同的 2.数列的项：数列中的每一个数都称为 D.数列5,3,2,7,6,5的首项为5， 这个数列的项，第1项称为首项， 末项为5 3.数列的项数：组成数列的数的个数称 川要点2数列的通项公式 为数列的项数」 4.有穷数列与无穷数列：一般地，项数 1.数列的通项：数列的一般形式可以写 有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列 成a1,a2,,…,a,…,其中an表示数列 称为无穷数列，有穷数列的最后一项一般也 的第n项（也称n为a,的序号，其中n为正 称为末项 整数，即n∈N),称为数列的通项.此时， 例1下列说法正确的有 一般将整个数列记为{a}· 高中数学选择性必修第三册人教B版 思考{a}与a有什么区别？ 反思感悟 2.数列的通项公式：一般地，如果数列 寻找an与n的关系，首先要观察每项 的第n项an与n之间的关系可以用a,=f(n) 的特点，考虑写成结构相同的形式，再考 来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知 虑每项的构成，每一部分用表示，可以 数的表达式，则称上述关系式为这个数列的 结合常见的差为定值、比为定值，或是指 一个通项公式 数型心，或是幂型x”,或是在此基础上的 思考数列一定都有通项公式吗？如 变化，复杂的还需要考虑各部分之间的关 果有，通项公式唯一吗？ 系，对于正负交错的需要考虑(-1)”或 例2写出以下各数列的一个通项 (-1)或（-1)，对于间隔几项才具有相 公式： 同规律的可以考虑分段的形式或是用三角 分，3,8… 函数来表示 (2)-V3,3,-3V3,9,; 变式训练2 (3)-1,0,-1,0,-1,0,… 写出数列{a}的前5项： (4)9,99,999,9999,… (1)a=2n+3. 分析根据数列的规律得到数列的通 (2)a=3. 项公式，即可确定结论，具体可以考虑 些常见的数列，比如差值相同，比值相同， (3)a=2-1) a(a为常数)，n(a为常数)，或是在这 1,n为奇数， (4)an= 些数列的基础上进行变化得到的. 2n-1,n为偶数. (2)学 第五章数列。 B变式训练3 下图中的三角形称为谢尔宾斯基(Sier pinski)三角形.图中从左向右的四个三角形 中，着色三角形的个数依次构成一个数列的 前4项，则这个数列的一个通项公式为 图1 图2 图3 图4 图5-1 A.a,=3-1 B.a=3” C.a=3"-2n D.a=3-l+2n-3 要点3应用数列的通项公式求解项、 项数或判断项 例3 已知数列{a,}的通项公式为a,= 3n-2 3n+1 (1)求这个数列的第11项. (2) 98是不是该数列中的项？为 101 什么？ (3)在区间行，圣内是否有数列中 反思感悟 (1)求指定的项，可以对n进行取值， 的项？若有，求出有几项；若没有，请说明 并代入通项公式运算即可.(2)判断给定的 理由 数是否为数列的项，可以借助a,和给定的 分析 (1)在通项公式中，令n=11, 数，建立关于n的方程，看方程是否有正 计算即得解.(2)令3-2=98 3n+1=101,结合n∈ 整数解来判断.(3)判断给定范围内是否有 N即舒解③)令领子<号站合n 数列中的项，可以借助a和给定的范围， 建立关于n的不等式，根据整数解的情况 N即得解. 即可判定 学 3 高中数学选择性必修第三册人教B版 例4已知数列{a}的通项公式a,= 变式训练4 2+3(GeR) 已知数列a=n2-n-12. (1)当k=1时，判断数列{a}的单调性. (1)求该数列的第6项. (2)判断30是否为这个数列的项，并 (2)若数列{a}是递减数列，求实数k 说明理由. 的取值范围. (3)在(0,30)内，是否存在该数列 分析数列的单调性问题可以由作差 的项？若存在，求出有几项；若不存在，请 法求得 说明理由. 要点4数列的增减性的判定及根据增 减性求参数范围 P变式训练⑤ 1.数列与函数的关系：数列{a}可以 看成定义域为正整数集的子集的函数，数 在数列a中，a=n+1)9”ne 列中的数就是自变量从小到大依次取正整数 N),试判断数列{a,}的增减性。 值时对应的函数值，而数列的通项公式也 就是相应函数的解析式，因此数列在平面 直角坐标系中表示一群孤立的点， 2.数列的增减性：从第2项起，每一 项都大于它的前一项的数列称为递增数列； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的 数列称为递减数列；各项都相等的数列称 为常数数列（简称为常数列）. 思考数列的增减性与函数的增减性 之间有什么关系？ 学 第五章数列。 B变式训练6 (1)已知数列{a}是递增数列，且其 通项公式为a,=n+入n,则实数入的取值范 围是() A-3” B.[0,+) C.[-2,+∞) D.(-3,+∞) (2)已知数列{a}满足 a7,n≤8， aa小2，nw8 (n∈N),若对 任意neN, 都有a>an+1, 则实数a的取值 范围是( A0,3 B0, c3, D3,2 反思感悟 对于数列中最大或最小项问题，主要 川要点5求数列的最大项与最小项 有三种思考方法：一是利用数列对应的函 数的增减性，二是利用数列的增减性的定 例5已知数列{a}的通项公式为a,= 义，三是利用相邻三项比较列不等式组」 -2n2+15n-15,求数列{a}的最大项. 分析对于本题求最大项问题：一是 B变式训练⑦ 利用作差比较a1与an的大小或是利用二 次函数的性质确定数列增减性，即可确定 已知数列{a}的通项公式为a,2-15' 数列的最大项；二是比较相邻三项，列不 其最大项和最小项的值分别为() 等式组 an≥a 解出n,即可确定最大项」 A1,-7 B.0,-7 an≥an-1, D1, 学 5 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B变式训练⑧ 数学文化 已知数列{a,}的通项公式为a,=(n+2)· 例大衍数列来源于《乾坤谱》中对易 (nex.). 数列{a}有没有最大项？ 传“大衍之数五十”的推论，主要用于解 释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中 若有，求出最大项的项数；若没有，请说明 的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经 理由 历过的两仪数量总和，是中华传统文化中 隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10 项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40， 50,则此数列的通项公式为 此数列的第19项为 (6)学N参考答案 学习手册参考答案 第五章 “5.1数列基础 5.1.1数列的概念 要点精析 例1④【解析】①数列是按照一定次序排列的一列数， 因此次序改变时，数列就改变了，故①中两个数列不是 相同的数列，故①错误； ②，当x代表数时是项数为6的数列，当x不代表 数时便不是数列，如x表示式子b2-3=b,故②错误： ③：0,1,2,3,4,5)是集合，不是数列，故③ 错误： ④.·正整数有无限个，故所有正整数构成的数列是 无穷数列，故④正确： ⑤数列1,2,3,4，…，n共有n项，是有穷数 列，故⑤错误 变式训练1ABD【解析】根据数列的定义，数列是按 照一定次序排列的一列数，故A正确；同一个数在一个 数列中可以重复出现，即数列的项可以相等，故B正 确：数列中的项与项的序号是不同的，数列中的项是数 列中某一确定的数，而项的序号是指这个数在数列中的 具体位置，故C错误；数列5,3,2,7,6,5的第 项为首项，最后一项为末项，都是5，故D正确.故选 ABD. 例2解：(1)把其中的整数改写为分母为2的分数形 式，则发现分母为2，分子每一项减去前一项之差为5， ,可以写出该数列的一个通项公式为a,=5”,4 2 (2)先把根号外的正数移到根号里，再把每项看成 两部分的乘积，可以得到a,=(-1)"V3”. (3)方法一：若按奇偶项来考虑，可以写成分段的 参考答案。 数列 -1,n为奇数， 形式，a= 0,n为偶数. 方法二：对于这种奇数项为-1、偶数项为0的数 列，也可以考虑利用数列-)-1来表示，写成4，= 2 -1+(-1)1 2 方法三：若考虑项数每差2，项相同，考虑借助三 角函数来表示，可以写成a=-sin受 (4)各项加1后变为10,100,1000,10000，…， 此数列的通项公式为10，可得原数列的通项公式为a,= 10-1. 变式训练2解：(1)由a,=2n+3,可得a=5,=7, a3=9,a4=11,a5=13. (2)由a,=3,可得a1=3,=3,a=3,a4=3,,=3. (3)由a-兮2-1)，可得a写，a=1,a子，a= 1 5,as-3 (4)由a.= 1,n为奇数， 2n-1,n为偶数， 可得a=1,=3,a= 1,a4=7,as=1. 变式训练3A【解析】每一次变化，灰色的三角形个数 都变为原来的3倍，考虑a=1,∴a,=3m-.也可以考虑列 出前4项：1,3,9,27，再结合规律得到a=3.故选A. 例3解：对于a=额子，令n山，得第Ⅱ项 31 34 2)令额子-8，得=1四eN “器不是该数列中的项 21 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 ,则 3n+1<9n-6, 33n+1 12m-8<9n+3 解得 11 6<n<3 又：neN,n=2或n=3. 区间兮，子内有数列中的项，且有两项。 变式训练4解：(1)令n=6,得a6=62-6-12=18,该 数列的第6项为18. (2)令n2-n-12=30,即n2-n-42=0,解得n=7或 n=-6.n∈N,∴n=7,30是该数列的第7项. n2-n-12>0, (3)令0<n2-n-12<30,即 n2-n-42<0, 解得-6<n<-3或4<n<7. n∈N,n=5,6,∴.在(3,30)内存在数列的第 5项和第6项， 例4解：)当1时，a3a州a a53产n2n0.放数列a是道抛 3 数列 (2)若数列{a}是递减数列，则a1-a<0恒成立， 即aH-a,-kn+h-kn 3k 2n+52n+3(2n+5(2n+3)<0恒成立. (2n+5)(2n+3)>0,..必有3k<0,故k<0. 变式训练5解：令4>1(n≥2)，即 +19 ->1, an-1 /10-1 n11 整理得n+1>,解得<10. n10' 令a>1,即 a+19 /10,a+1 >l,整理，得n+1>10 n+2)1i n+211 解得n>9. ∴.数列{a}从第1项到第9项递增，从第10项起 递减 变式训练6(1)D(2)C【解析】(1)方法一： 由{a}是递增数列且a,=n2+入n,得a+-a,=(n+1)2+入(n+1) -(n2+An)=2n+1+A>0对neN恒成立，∴.A>[-(2n+1)]ms, 即入>-3. 方法二：数列{a}对应的函数为f(x)=x2+入x,其图 22 象如图所示，由{a}是递增 数列，得-今<多， 2 之，解得 入>-3. 故选D -10 4* (2)由题意，可知数列 (a}为递减数列， =-2 0<a<1, 变式训练6答图 3<0, 解得}<al.故选C 心(3-a9+2, 例5解：方法一：a=-2n1g,:neN,当 n=4时，an取得最大值. 又a4=-2×42+15x4-15=13, .数列{a}的最大项为13. 或考虑商数)-2415-15=-2-，15. 8 x)在1，上单调递增，在县+上单调递减， 且f(4)>f3),.{a}的第4项最大. a4=-2×42+15×4-15=13,∴.数列{a}的最大项为13. 方法二：am+1-a=[-2(n+1)2+15(n+1)-15]-(-2n2+ 15n-15)=13-4n, .当1≤n≤3时，a>a；当n≥4时，a<a.又 a<4,∴.{a}的第4项最大 a4=-2×42+15×4-15=13,.数列{a}的最大项为13. 方法三：设数列{a}的第n项最大， 则≥a即 -2n2+15n-15≥-2(n+1)2+15(n+1)-15, an≥an-l, -2n2+15m-15≥-2(n-1)2+15(n-1)-15, 解得3≤n≤7. 4 4 n∈N+,n=4,.{a}的第4项最大.a4=-2×42+ 15×4-15=13,.数列{a}的最大项为13. 变式训练7A【解析】neN,.当1≤n≤3时，a,= 2-15<0,且单调递减； 当n≥4时，a-250,且单调递藏，且a25 一市：最小项为a8布5方，最大项为a651 故选A 变式训练8解：方法-：&a=a+3)-(冬-(a+2) (g=g八5g 当0<n<5时，a1-a,>0,即a>a 当n=5时，an1-a,=0,即a=a; 当n>5时，an1-a<0,即a1<ar 故有a<a<a<a4<as=a>a>as>…, ∴.当n=5或n=6时，数列{a}有最大项，即数列 {a}第5项和第6项最大. 7+ (n+3)· 方法二：1= 8 7(n+3) (n+2)(8 8(n+2) 令al>l,则m+3)>l,解得0<n<5; 8(n+2) 令al=l,则n+3=l,解得n=5: 8(n+2) 令a1<l,则7+3<1，解得>5. 8(n+2) 又a>0,故有a1<a<a3<a<as=a>a>>…, ∴.当n=5或n=6时，数列{a}有最大项，即数列 {a}第5项和第6项最大. 方法三：假设{a}有最大项，且最大项为第k项， 则/≥4， +2-冬≥+1居， 即 a4≥as+, +2小g广≥+3)居” 解得5≤k≤6，∴.{a}的最大项为第5项和第6项. 数学文化 2,n为偶数， n2 例a,= 180【解析】观察此数列，可 2,n为奇数 n2-1 知当n为偶数时，a=受：当n为奇数时，a=” 2 aw19⊥=180. 2 5.1.2数列中的递推 要点精析 例1解：(1)2= 213 4 8 d 12’a2 1 参考答案。 1 1 4=16_1 2, =，·=，印+1=， 8 从而a= 1 -1-1×1-1 2a6=4s=4×1664 (2)a-a1=3-2=1,a5-a2=5-3=2,a4-a=8-5=3,a5 a4=12-8=4, :.a41-a,=n,从而a=a6+6=s+5+6=12+11=23. (3)m-a=3-2=1,a-a=5-3=2,a4-a=9-5=4,k aw=17-9=8. .a1-a,=2m1,从而a=a6+2=s+24+2=17+16+32=65. 变式训练1B【解析】设数列1,3,6,10,15，…为 {a},则a-4=2,a-=3,a4-a=4,a5-a4=5,…，n=1 时，A、D不合题意；而C中不包含-a=2,由此可得 数列{a}满足a,-a=n,n≥2，neN.故选B. 例2B【解标】由已知，得a=1-,可求a=分， a=-1,a=2,数列a的周期为3，题=分故 选B 变式训练2C【解析】根据递推关系，可得x,y,y- x,-x,-y,-y,这6个数值依次重复出现，即可得数 列{a的周期为6，∴.2m=6=ag=y-x,故选C. 例3a=2+lnn【解析】方法一（观察法)：数列的前5 项分别为a=2,=2+n2.a=(2+1n2)n号-2+ln3,a (2+ln3)+ln- 4=2+n4,由此可猜想数列的通项公式为a,= 2+Inn. 方法二（迭代法）：a2=a+ln2,a=+ln}, 2，a=a+ In 4 3，…，a=a itIn n -1’ 则a=a+lhn2+h子+n号+…+ln-2+mna≥2) 2 n-1 又.a=2也满足上式，.a=2+nn. 方法三（累加法）：&ura=nl+hln(a+1)-ln, a=2, 2-a=ln2, as-a=In3-In2. a4-a=ln4-ln3,…, 23 N