6.2.2 导数与函数的极值、最值-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 6.2.2导数与函数的极值、最值 第1课时导数与函数的极值 学习目标 1.理解函数的极值概念. 2.会运用导数求函数的极值 要点精析 川要点1函数极值点、极值的概念 1.一般地，设函数y=f(x)的定义域为 D,设xo∈D,如果对于xo附近的任意不同 于的x,都有 (1)f(x)<f(xo),则称x为fx)函数的一 个极大值点，且f(x)在x处取极大值； (2)f(x)>f(xo),则称xo为f(x)函数的 一个极小值点，且f(x)在o处取极小值 2.极大值点与极小值点都称为极值点， 极大值与极小值都称为极值， 例1作出下列函数的图象，观察图 象，指出下列函数的极值和极值点。 B变式训练① (1)f(x)=x2. (2)f(x)=x3. (1)判断正误（正确的填“正确”，错 (3)f(x)=-lxl. 误的填“错误”) 分析画出函数图象，结合极值、极 ①函数的极大值一定大于其极小值： 值点的定义判断 () ②导数为0的点一定是极值点.() ③函数yf(x)一定有极大值和极小值. () ④函数的极值点是自变量的值，极值是 函数值. () 58)学 第六章导数及其应用。 (2)设函数f(x)的导函数为f'(x),y= 例2已知函数f(x)=x(x-a)2+b在x=1 f'(x)的部分图象如图所示，则() 处取得极大值. (1)求a的值. (2)若-4<b<0,证明：f(x)有且只有3 个零点. 图6-2-3 A函数)在-)，1上单调递增 B.函数fx)在(0,4)上单调递增 C.函数f(x)在=3处取得极小值 D.函数f(x)在x=0处取得极大值 反思感悟 (1)极值点x0是一个实数； (2)极大值和极小值之间没有必然的 大小关系； (3)极值点0是区间内部的点. 川要点2函数极值点、极值的求法 一般地，设函数f(x)在o处可导，且 f'(xo)=0 (1)如果对于x左侧附近的任意x,都 有f'(x)>0,对于x右侧附近的任意x,都 有f'(x)<0,那么此时o是f(x)的极大值点； (2)如果对于x左侧附近的任意x,都 有f'(x)<0,对于x右侧附近的任意x,都 有f'(x)>0,那么此时是fx)的极小值点； (3)如果f'(x)在的左侧附近与右侧 附近均为正号（或均为负号），则0一定不 是y=f(x)的极值点. 思考极值点为什么要求导数符号的 改变？ 学(59 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练2 数学文化 判断下列函数是否存在极值.若有，请 例（多选题）材料：函数是描述客观 求出极值点和极值；若没有，请说明理由. 世界中变量关系和规律的最为基本的数学语 （0x)=-了4+4 言和工具，初等函数是由常数和基本初等函 数经过有限次的有理运算及有限次的复合所 (2)fx)=gr-2+44. 产生的，且能用一个解析式表示的函数，如 函数f(x)=x(x>0),我们可以作变形：f(x) =x=er=em,f(x)=x可看作是由函数p(t) =e'和g(x)=xlnx复合而成的，即fx)=x(x> 0)为初等函数. 根据以上材料，对于初等函数h(x)=x (x>0)的说法正确的是() A.无极小值 B.有极小值1 C.无极大值 D.有极大值e日 分析根据给定信息，对函数h(x)变 形并求导，进而判断其极值情况即可得解. 反思感悟 (1)极值点xo是一个实数； (2)极大值和极小值之间没有必然的 大小关系； (3)极值点o是区间内部的点. 60)学 第六章导数及其应用 第2课时导数与函数的最值 则f(x)在区间[a,b]内必有最大值与最 学习目标 小值 1.理解函数最值的概念. (2)(多选题)f(x)是定义在区间[a, 2.会运用导数求函数的最值， b]上的函数，其导函数f'(x)的图象如图 要点精析 所示，则在区间[a,b]内（) 川要点1函数最值的概念 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D, 设x∈D,如果对于Hx∈D: (1)f(x)≤f(xo),则称o为f(x)函数的 图6-2-4 一个最大值点，且f代x)在x处取最大值； (2)f(x)≥f(x),则称为fx)函数的 A.函数f(x)有三个极值点 一个最小值点，且f(x)在处取最小值 最大值点与最小值点都称为最值点，最 B.函数f(x)的单调增区间为(x,x5) 大值与最小值都称为最值， C.函数fx)的最大值可能为fx5) 思考最值的定义和极值的定义有何 D.函数f(x)的最小值可能为f(a) 不同？ B变式训练① 例1(1)（多选题）下列结论中不正 (1)判断正误（正确的写“正确”，错 确的有()》 误的写“错误”) A.若函数f(x)在区间[a,b]上有最 ①函数的最大值不一定是函数的极大 大值，则这个最大值一定是函数f(x)在区 值. () 间[a,b]上的极大值 ②函数f(x)在区间[a,b]上的最大值 B.若函数f(x)在区间[a,b]上有最 与最小值一定在区间端点处取得.() 小值，则这个最小值一定是函数f(x)在区 ③有极值的函数一定有最值，有最值的 间[a,b]上的极小值 函数不一定有极值. () C.若函数f(x)在区间[a,b]上有最 ④若函数f(x)有两个最值，则它们的和 值，则最值一定在x=a或x=b处取得 大于零 () D.若函数f(x)在区间[a,b]内连续， 61 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 (2)如图是函数y=f(x)在区间[a,b] 川要点2函数最值点、最值的求法 上的图象，写出函数的极大值、极小值、最 大值和最小值 般地，如果函数y=f(x)在定义域(a, y b)内的每一点都可导，且函数存在最值， 则函数的最值点一定是某个极值点：如果函 f() 数yfx)的定义域为[a,b]且存在最值，函 f（a) 数yf(x)在(a,b)内可导，那么函数的最 0 值点要么是区间端点a或b,要么是极 f(xi) f(x)---- 值点. 图6-2-5 例2已知函数代x)=)+nx。 (1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最 大值、最小值 (2)求证：在区间(1，+∞)上，函数 fx)的图象在函数g(x)=2x的图象的下方. 分析 (1)求得f'(x),利用导数分 析函数单调性，结合端点函数值和最值的 大小关系，即可求得结果 (2)将问题转化为求证fx)<号，构 造西数Fx)号+nx-号，即可用导数 证明. 62)学 第六章导数及其应用 变式训练2 例3已知函数f(x)=a+lnx(aeR)· (1)讨论f(x)的极值 已知函数x)号人分2-3就 (2)求f代x)在[1，e]上的最小值g(a). (1)求函数f(x)的单调区间. (2)求函数f代x)在区间[1,2]上的最 大值与最小值. 学(63 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练③ 数学文化 已知函数f(x)=2e*(x+1). 例声音是物体振动产生的声波，其中 (1)求函数f(x)的极值。 包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y= (2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3) Asinot,.我们听到的声音是由纯音合成的， 上的最小值g(t)· 称之为复合音.若一个复合音的数学模型是 函数fx)=sin+分sin2x, 则下列结论正确的 是 (填序号) ①2π是f(x)的一个周期： ②f(x)在[0,2π]上有3个零点； ③)的最大值为34： ④fx)在0， 上是增函数 分析 对①，根据正弦函数的周期判 断即可；对②，根据正弦的二倍角公式化 简，再求解零点即可；对③④，求导分析 f(x)的单调性，再求最值即可， 64)学高中数学选择性必修第三册人教B版 6.2.2导数与函数的极值、最值 第1课时导数与函数的极值 要点精析 例1解：画出三个函数图象 f(x)=x y↑f(x)=x3 图1 图2 图3 例1答图 结合函数图象和极值的定义可知： (1)孔x)=x2有极小值点0，极小值为0. (2)fx)=x有无极值点，无极值. (3)f孔x)=-lx有极大值点0，极大值为0. 变式训练1(1)①错误②错误③错误④正 确(2)B【解析】(1)函数的极大值不一定大于其 极小值，故①错误；导数为0的点不一定是极值点， 比如f(x)=x3,f'(0)=0,但是x=0不是极值点，枚②错 误；函数yf(x)可能有极大值或极小值，也可能没有 极值，故③错误；函数的极值点是自变量的值，极值是 函数值.故④正确. (2)由图象，可知当xe之，0)时，'x)<0. 函数fx)在方，0)上单调递减，故A错误；当xe (0,4)时，f'(x)≥0，.函数fx)在(0,4)上单调 递增，故B正确，C错误；函数f(x)在x=0处取得极 小值，故D错误.故选B 例2解：(1)由题意，f'(x)=3x24ax+d且f'(1)=0, .a2-4a+3=0,解得a=1或a=3 当a=1时，f'(x)=3x2-4x+1, 则f'(x>0有x<兮或x>1: f'w)0有gl, .f(x)的极小值为f代1)，不符合题意 当a=3时，f'(x)=3x2-12x+9, 40 则f'(x)>0有x<1或x>3;f'(x)<0有1<<3. f(x)在(-∞，1)上递增，(1,3)上递减， (3,+0)上递增， ·f(x)的极大值为f1). 综上，=3. (2)由(1)，知f(x)的极大值f(1)=4+b,极小值 f(3)=b,又.-4<b<0 4+b>0, .此时f孔x)有且只有3个零点. b<0. 变式训练2()）)-一子+4+4， f'(x)=-x2+4=-(x+2)(x-2）. 令f'(x)=0,解得=-2或=2. 当x变化时，f'(x),f代x)的变化如下表。 (-0,-2) -2 (-2,2) (2,+∞) f'(x) 0 + 0 单调 极小 单调 极大 单调 f(x) 递减 值 递增 值 递减 因此，f(x)的极小值点为-2，极大值点为2， 当-2时，)有极小值，且极小值为f-2)专： 当x=2时，fx)有极大值，且极大值为f2)=28 2)x)=3-2r+4+4, f'(x)=x2-4x+4=(x-2)2≥0， ·f(x)在R上单调递增，(x)没有极值， 数学文化 例AD【解析】依题意，h(x)=x=e广=e,>0,求 导得(e)-ear)厂e是n+2） -e2产(1-r.南0.得 当0<x<e时，h'(x)>0,函数h(x)在(0，e)上单调 递增，当x>e时，h'(x)<0,函数h(x)在(e,+o)上单 调递减，.h(x)有极大值h(e)=e,无极小值.故选AD. 第2课时导数与函数的最值 要点精析 例1(1)ABC(2)BC【解析】(1)若函数f(x) 在区间[a,b]上有最值，则最值可能在极值点或区间 端点处取得，故A,B,C都不正确；函数在闭区间上 一定有最值，故D正确.故选ABC (2)对于A,B选项，由题中图象可知， 当a<x<x1或x<x<b时，f'(x)<0, 当x<x<x时，f'(x)≥0. ∴.函数fx)的减区间为(a,x),(x5,b), 增区间为(x,x), .函数f代x)只有两个极值点，A错误， 函数fx)的单调增区间为(，x),B正确； 对于C,D选项，函数的最大值可能为f(),C正 确， 函数fx)在[a,]上单调递减，则fx)<f(a), 故函数f(x)的最小值不可能为f(a),D错误. 故选BC. 变式训练1(1)①正确②错误③错误④错误 【解析】函数的最大值不一定是函数的极大值，可 能是在区间端点处取得，判断①正确；函数f(x)在区间 [a,b]上的最大值与最小值不一定在区间端点处取得， 可能为函数的极值，判断②错误；函数f(x)=sinx在区 间(0，)上有极大值，但没有最小值，判断③错误： 函数fx)-sin在区间受，0上最大值为0，最小值 为-1，二者之和为-1，小于0，判断④错误 (2)解：由题图，可知yf(x)在x,处取极小值， 在处取极大值，∴极小值为f(),f(x),极大值为 f(。)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f代)，最 大值在b处取得，最大值为f(b): 例2解：()由fx)=之+ln,有f'(x)=+ 当xe[1,e]时，f'(x)>0, f孔x)在区间[1，e]上为增函数， .fx)fe)-+1.R)-f()- （②)设Fx)4子， 参考答案。 则Fx)+-2r2101t22 当x∈(1，+∞)时，F'(x)<0,F(x)单调递减， 且F1)-名0，故xe1,+)时，F)0, 故在区间(1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数 g)子图象的下方 变式训练2解：（)由x号之3， 可得f'(x)=2x2-x-3=(2x-3)(x+1). 由fe)(2-3)+1)0.可得心号或-l: 由了a)=(2-3)+1)0,可得-1号； 函数)的单调递增区间是(0，)和弓，+， 单调减区间是-1山，多 (2)由(1)，知函数x)在区间[1,2]上的单调性 为1，多]单润递减，吕，2单满递填， 最小值为13)-号×3’-×号-3x号) 27 又1)=号-3-3=-名，f2)=号x8-号x4-3x 2-8 3 “最大值为f2)=一号 “函数)在区间[12】上的最小值为-冬，最 大值为-8 3 例3解：(1)由题意，知fx)的定义域为(0，+∞)， f-+学 当a≤0时，x-a>0,f'(x)>0恒成立， ·f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)无极值. 当a>0时，若x∈(0，a),f'(x)<0;若xe(a,+∞)， f'(x)>0; 41 高中数学选择性必修第三册人教B版 fx)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递 增； f代x)的极小值为f代a)=l+lna,无极大值 综上所述，当a≤0时，f(x)无极值； 当a心0时，f(x)的极小值为1+lna,无极大值 (2)当a≤1时，f'(x)≥0在[1，e]上恒成立， ∵fx)在[1，e]上单调递增，fx)f1)=a; 当1<a<e时，若x∈[1，a),f'(x)<0;若x∈(a, e],f'(x)>0; f(x)在[1，a)上单调递减，在(a,e]上单调递 增， .f(x)mf(a)=1+Ina; 当a≥e时，f'(x)≤0，fx)在[l,e]上单调递减， )e)8l 综上所述，f(x)在[1，e]上的最小值g(a)= a,a≤1， 1+lna,1<a<e, a+l,a≥e. e 变式训练3解：(1)f'(x)=2e(x+2), 由f'(x)>0,得x>-2;由f'(x)<0,得<-2. fx)在(-2，+∞)上单调递增，在(-0，-2)上 单调递减。 .fx)的极小值为f(-2)=-2e2,无极大值， (2)由(1)，知f(x)在(-2，+∞)上单调递增， 在(-，-2)上单调递减. .t>-3,.t+1>-2. ①当-3<t<-2时，f(x)在[t,-2)上单调递减，在 (-2,t+1]上单调递增，·g(t)=f(-2)=-2e2 ②当t≥-2时，f(x)在[t,t+1]上单调递增， gu=2e+1D.g0=2e3,-3ac-2. 2e(t+1),t≥-2. 数学文化 例①②③【解析】y=six的最小正周期是2π，y= 子in2e的最小正周期是罗=， 2 :x=sin+分sin2r的最小正周期是2，放①正确： 当e)-sin+分sin2r-0,xe[0.2m]时， 42 sinx+sinxcosx=0,sinx(1+cosx)=0, 即sinx=0或1+cosx=0, 解得=0或=T或x=2T, f(x)在[0,2π]上有3个零点，故②正确； x)in+sin2sinineos f'(x)=cosx+cosx-sinx=2cosx+cosx-1, 令f')0,解得c0s=号或c0=-1, 当xe0,牙或xe,2m时，<cosx<1, 此时f(x)>0,则fx)在0，牙，(，2m上单调递 增； 当xe胃，时，-1≤cox<3,此时f'(x)≤0 但不恒为0.则x)在罗，买上单调递减，则当x 霄时，函数fx)取得最大值f号）sn号+号sin等= 3 Y+Y4-Y,改3正确，④腊误故答案为0 2 4 ②③. ●"6.3利用导数解决实际问题 要点精析 例1解：设包装盒的高为hcm,底面边长为acm.由 已知，得=V2x,h=60-2x-V2(30-),0<r<30. 1V2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, ..当=15时，S取得最大值 (2)V=h=2V2(-x+30x2). V'=6V2x(20-x). 由V'=0,得=0（舍去）或x=20. 当x∈(0,20)时，V'>0; 当x∈(20,30)时，V'<0. 当=20时，V取得极大值，也是最大值 此时名之。即包装盒的高与底面边长的比值为