第13讲 导数的概念及其意义、导数的运算（9个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念及其意义、导数运算等核心考点，按“教材基础知识-核心题型归纳-分层训练”逻辑架构，通过知识梳理、方法提炼、真题演练环节，帮助学生构建从定义到应用的知识网络，突破切线方程、参数求解等难点。 资料以“数学思维”引导解题策略，如切线问题分“在点处”与“过点”分类建模，导数定义变形训练培养抽象能力。设置基础巩固到综合应用分层练习，配合即时反馈，提升学生逻辑推理与运算能力，为教师把控复习节奏提供系统支持。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第13讲 导数的概念及其意义，导数的运算 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材基础知识】 1．导数的概念 （1）函数在处的导数记作__________或__________． ． （2）函数的导函数 ． 2．导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的___斜率______，相应的切线方程为． 注：（1）已知在处存在导数，则曲线在点处的切线是指为切点，斜率为的切线，具有唯一性． （2）曲线过点的切线，点不一定是切点，切线可能有多条． 3．平均变化率 1．定义：对一般的函数来说，当自变量x从变为时，函数值从变为，它在区间的平均变化率．通常我们把自变量的变化称作自变量的__改变量______，记作________，函数值的变化称作函数值的__改变量______，记作________．这样，函数的平均变化率就可以表示为__函数值______的改变量与____自变量____的改变量之比，即． 2．作用：平均变化率用来刻画函数值在区间上变化的____快慢____． 4．瞬时变化率 对一般的函数，在自变量从变为时，若设，，则该函数的平均变化率为______，如果当趋于时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的_瞬时变化率_____.瞬时变化率刻画的是函数在__某一点处____变化的快慢. 5．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 y＝c（c是常数） y'＝______0___________ y＝xα（α是实数） y'＝_______α______________ y＝ax（a＞0，a≠1） y'＝_____axln a_________，特别地（ex）'＝ex y＝logax（a＞0，a≠1） y'＝，特别地（ln x）'＝ y＝sin x y'＝____cos x__________ y＝cos x y'＝___－sin x____________ y＝tan x y'＝ 6．导数的运算法则 若，存在，则有： （1）_________， （2）________ （3）__ ______，特别地：. （4） 7．复合函数的导数：一般地，对于两个函数和，如果给定的一个值，就得到了的值，进而确定了的值，那么可以表示成_的函数_______，称这个函数为函数和的__复合函数______，记作________，其中为中间变量.复合函数对的导数为.其中. 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 导数的概念 核心知识 1.函数在处的平均变化率： 2.导数定义： 3.变形形式： 4.几何意义：是曲线在处切线斜率；物理意义：瞬时变化率（瞬时速度、瞬时加速度） 方法技巧 1.识别导数定义结构：分子自变量增量与分母增量一致，注意符号 2.常见陷阱：增量为时，要配凑标准形式，提取系数 例： 3.区分「平均变化率」（割线斜率）和「导数」（切线斜率、瞬时变化率） 【经典例题1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果. 【详解】 . 【经典例题2】（25-26高二下·安徽滁州·期中）某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由运动路程与时间的关系为，可得， 当时，，即质点在时的瞬时速度为. 【巩固练习1】（25-26高二下·河北雄安·阶段检测）已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则__________. 【答案】 【分析】根据导数的定义，对已知极限式子进行变形，即可求解. 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足：， 则，解得. 【巩固练习2】（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】， 由可得． 【巩固练习3】（2026·上海·三模）已知，则________． 【答案】 【分析】对求导，再将代入计算即可. 【详解】， 所以， ， 所以为. 【题型2】 导数的四则运算 核心知识 1.基本初等函数求导公式 ；；； ；；； 2.四则运算法则 3.复合函数求导： 方法技巧 1.求导优先化简解析式（分式拆分、根式化幂次、三角恒等变形），减少运算量 2.乘积求导不要漏项；分式求导牢记「上导下不导减上不导下导」 3.复合函数由外向内逐层求导，不要漏掉内层导数 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）设函数，其中为参数，那么的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则， 故的最大值是 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将转化为后，再利用导数四则运算的运算法则进行计算. (2)将展开为多项式后，利用幂函数求导公式进行计算. 【详解】（1） ． （2） ， ． 【巩固练习1】（2027高二·全国·专题练习）下列计算错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确. 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列求导数运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：，故A正确； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D： ， 故D正确. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 【答案】 【详解】解析： ． 【题型3】 求在某点处的切线方程 核心知识 若点在曲线上 切线斜率 点斜式切线方程： 方法技巧 1.步骤： ①验证点在曲线上；②求导；③代入得斜率；④点斜式写方程，整理成一般式 2.易错：直接把代入原函数，不要混淆与 【经典例题1】（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 【经典例题2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【答案】 【详解】，当时，切点坐标为， 求导得，则， 切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 【巩固练习1】（2026·江苏南京·三模）若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【答案】 【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义求出斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：由题可得， 当时，，， 所以切点坐标为，斜率为， 因此切线方程为，即. 【巩固练习2】（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】先求出常数和，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由于，则， 故，故，所以， 代入，可得．又．故切线方程为，则． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）曲线上任意一点到直线的距离的最小值是________． 【答案】 【详解】如图，所求最小值即曲线上斜率为的切线与两平行线间的距离， 也即切点到直线的距离． 由，则，得，， 即与直线平行的曲线的切线，切点坐标是， 所以上任意一点到直线的距离的最小值为． 【题型4】 求过某点的切线方程 核心知识 设切点为，切线斜率 切线方程： 已知点在切线上，代入得：，解方程求出切点横坐标 方法技巧 1.万能套路：设切点，不默认已知点是切点！ 2.方程解出几个，就对应几条切线 3.分类讨论：若解唯一→一条切线；多解→多条切线 【经典例题1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积. 【详解】函数，求导得，设切点为，则， 依题意，，解得，因此切点，切线斜率， 切线方程为，由得两直线交点，如图：    而切线与轴交于点，则， 所以所求三角形面积为. 故选：A 【经典例题2】（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，则， 对函数求导得，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为. 故选：A. 【巩固练习1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 【答案】和 【分析】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 【巩固练习2】（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 【答案】或（写出其中一条即可） 【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解. 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可 【巩固练习3】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 【答案】或 【详解】函数的定义域为，. 设曲线经过点的切线的切点为，则. 所以，即， 整理得.解得或. 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即. 所以曲线经过点的切线方程为或. 【题型5】 切线的垂直平行 核心知识 设切线斜率分别为 1.两切线平行：（注意排除重合切线） 2.两切线垂直： 特殊情况：一条切线水平，另一条切线竖直（斜率不存在） 方法技巧 1.先求出两条切线斜率表达式，利用平行/垂直条件列方程 2.平行一定要检验：斜率相等时，两条切线不能是同一条直线 3.出现斜率不存在情况单独讨论，避免漏解 【经典例题1】（2026高三下·全国·专题练习）若的图像上存在两条互相平行的切线，证明这两条切线的切点横坐标之和为． 【答案】证明见解析 【分析】对已知函数求导，利用导数的几何意义，结合切线平行构造方程，进而证明结论． 【详解】函数，求导得， 设两切点横坐标为，， 由切线互相平行可得， ，即， ， ，故，命题得证． 【经典例题2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，使得的图象在点处的切线都与直线垂直，求非零实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)，且． 【分析】（1）由可求得的值，进而利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程； （2）由题意可得有两个解，进而可求解. 【详解】（1）因为，所以，得． 所以． 所以． 所以切线方程为，即． （2）因为的图象在点处的切线都与直线垂直， 所以在点处的切线的斜率为， 则有两个不同的解． 所以，，得，又． 所以，，且． 【巩固练习1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 【巩固练习2】若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，利用基本不等式求出导数值的范围，再由条件求出参数的范围即可. 【详解】因为函数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为函数的图象上不存在互相垂直的切线， 所以，即，解得． 故选：A. 【巩固练习3】已知，其上存在两点的切线互相垂直，则实数______． 【答案】1 【分析】利用求导来求切线斜率，利用切线垂直可得，再利用一元二次方程要有解，可得判别式为非负数，即可得到特殊情形，从而可解得的值. 【详解】设切点为，， ，则． 则过两点的切线斜率为，． 根据题意得，即， 整理得， 令，即， 其方程有解，即， 整理得． 又由，则，所以， 即，可得, 所以． 故答案为：1 【题型6】 由切线求参数 核心知识 切线给出两类条件： ①切点同时满足曲线方程、切线方程； ②切点处导数=切线斜率 两个等量关系，用来求解参数 【经典例题1】（25-26高二下·河北衡水·期末）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用表示并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】设，则， 由题意得，解得. 【巩固练习1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则______. 【答案】 【分析】由题意可得，，计算即可得. 【详解】，则，故， ， 则，故，则. 【巩固练习2】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值． 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以， 所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即， 又，所以， 即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2． 【巩固练习3】（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解. 【详解】， ， 由题意可得，解得. 故答案为：. 【题型7】 共切线问题 核心知识 曲线切点；曲线切点 满足方程组： 含义：切线斜率相等；两条切线是同一条直线 方法技巧 1.分别设两条曲线上的切点，写出两条切线方程 2.两条直线重合⇔斜率相等、截距相等 3.消元得到单变量方程，根据方程解的个数判断共切线条数 【经典例题1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 【经典例题2】（2027高二·全国·专题练习）（多选）（多选）若曲线与存在公共切线，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设两切点，由切线斜率相等和截距相等建立方程组，消去切点横坐标，将参数表示为单变量函数. 分别讨论变量取正和取负时函数的值域，对应得到参数的取值范围，再逐一判断选项. 【详解】设公共切线与曲线切于，与切于（）. 对求导得，对求导得， 则公共切线方程分别可记为，， 令切线斜率相等得；令截距相等得. 记，并将代入整理得. 当时，函数的值域为， 即所有负数都满足条件，故符合，A正确； 当时，对求导得，令得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故在处取最小值，即. 因此、都满足，B、C正确； 而，不满足，D错误. 【巩固练习1】（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 【巩固练习2】（25-26高三上·河南商丘·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是__________. 【答案】e 【分析】紧抓切点既在曲线上，也在切线上，建立等量关系，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的最大值即可. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. 令，则，所以，所以， 令，则，所以，解得， 所以，消去后得. 令，则， 令，则在上恒成立，所以单调递减， 又，所以当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 所以，即实数的最大值是e． 故答案为：e. 【巩固练习3】（25-26高三上·江西吉安·期末）已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为： 【题型8】 切线条数问题 核心知识 过定点作曲线切线，设切点构造关于切点横坐标的方程 方程实根个数=切线的条数 方法技巧 1.标准流程：设切点→写出切线方程→定点代入→得到关于的方程 2.转化为：研究函数零点个数（导数研究单调性、极值，数形结合） 3.极值与0的大小关系判定零点数量： 极大值>0，极小值<0⇒3条切线； 极大值=0或极小值=0⇒2条切线； 极大值<0或极小值>0⇒1条切线 【经典例题1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 【经典例题2】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 【巩固练习1】（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【巩固练习2】（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设切点坐标为，借助导数的几何意义计算可得切线方程为，将点代入，可得，构造相应函数，则可得该函数的图象与直线有三个不同交点，借助导数研究单调性后计算即可得解. 【详解】设曲线的切点坐标为，， 则切线方程为， 点在该直线上，有， 整理得， 由题意可得函数的图象与直线有三个不同交点， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， ，， 又当时，，时，， 故当时，函数的图象与直线有三个不同交点， 即实数的取值范围为. 【巩固练习3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数图象关于点对称． (1)求a，b； (2)若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入函数解析式，对比系数即可求解； （2）将问题转化为与有三个交点，利用导数研究的单调性，极值和图像即可求解. 【详解】（1）因为函数图象关于对称， 所以，故， 化简可得， 所以，解得． （2）由（1）可知，函数，所以， 设切点坐标为， 所以切线方程为，因为切线过点， 所以，即， 令，则， 令，解得，或． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 1 0 0 单调递减 单调递增 0 单调递减 因此，当时，有极小值； 当时，有极大值． 过点存在3条直线与曲线相切，等价于 关于x的方程有三个不同的根，则， 所以实数m的取值范围是． 【题型9】 与切线有关的综合题型 核心知识 融合考点：切线方程、切线最值、切线距离、不等式恒成立、零点、面积、参数范围等 本质载体：切线斜率、切线方程、切点坐标 方法技巧 1.优先设切点，把几何条件（距离、面积、角度）转化为代数方程/不等式 2.多个变量注意消元，转化为单变量函数 3.常见考法： ①求切线中截距/距离最值；②切线与直线围成图形面积； ③切线不等式证明；④切线存在性求参数取值范围 4.复杂问题结合数形结合画图辅助分析 【经典例题1】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把看成两点距离的平方，其最小值可转化为点到直线的距离的平方，利用导数的几何意义求出切点，利用点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 【经典例题2】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与图象的交点个数问题，利用导数求出点的直线与相切的直线的斜率，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为， 所以切线的斜率为， 即有， 解得， 所以切线的斜率为， 所以. 故选：B 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 2．（2026·广东深圳·二模）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】利用导数来求切线方程，再通过公切线得到方程组求解即可. 【详解】由题意可得，设切点坐标分别为， 则函数在点处切线方程为：，即， 函数在点处切线方程为：，即. 根据两切线是公切线可得：， 由可得 所以，整理得， 解得或，所以公切线斜率为或. 3．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，再求，进而可得所求函数值. 【详解】函数，所以，， 解得，， 所以 . 4．（2026·辽宁朝阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为函数，所以，则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 5．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 【答案】D 【详解】臭氧含量与时间之间满足关系式为， 因为是臭氧的初始含量，所以，所以是减函数，所以A错误； 当从1变化到2时，臭氧含量减少，所以B错误； 当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为，所以C错误； 对于，， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为，所以D正确. 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，. 选项A，为上的奇函数，且，，符合题意； 选项B，是非奇非偶函数，不合题意； 选项C，是定义在上的偶函数，不合题意； 选项D，是定义在上的奇函数，， ，不合题意. 7．（2026·河南·二模）已知点是曲线上的动点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值的倍，求出与平行的切线相对应的切点，即可求得的最小值；或由，构造函数，利用导数分析函数的单调性，求得的最小值，从而得到的最小值. 【详解】点在曲线上，且点到直线，即的距离， 因此可先求点到距离的最小值. 当函数在处的切线与平行，即斜率为1时，点到的距离最小． 由，得， 令，解得，. 点到直线的距离，所以点到距离的最小值为. 所以的最小值为． 方法二：点是曲线上的动点，得，所以. 设，则， 设，则恒成立， 故在区间单调递增. 又，所以当时，，所以； 当时，，所以. 在区间单调递减，在区间单调递增． 又，所以，即，则的最小值为1． 8．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 二、多选题 9．（24-25高二下·山东聊城·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A项：，所以A错； 对于B项：，所以B对； 对于C项：，所以C错； 对于D项：，所以D正确． 三、填空题 10．（2026高二下·福建·专题练习）已知函数，则________ 【答案】/ 【详解】由，可得导函数， 令，可得，解得. 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义得到切点处斜率满足的关系，再结合切点同时在曲线和切线上，代入整理即可求得的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，则，即， 又因为切点同时在切线上，故，则， 即，则. 12．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【分析】分和，设切点，得出。结合点斜式求出的切线方程. 【详解】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 13．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 【答案】 【详解】因为，所以，则， 切线斜率，切线方程：为，即， 设与相切于点， 因此，切点在切线上， ， 即. 14．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知曲线在处的切线l也是曲线 的切线，则实数_______ 【答案】或 【分析】求曲线在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得. 【详解】对曲线，由，故切点为， 又，所以切线的斜率，故切线的方程为，即； 由切线也是曲线的切线，设切点为，又， 则，解得或， 所以实数的值为或. 15．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 16．（2026·河南郑州·模拟预测）若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________． 【答案】2 【分析】利用切点导数相等结合切点在直线上的截距列等式，利用换元法得出参数约束方程及，再利用隐含条件，找到所有零点，再代入比较大小． 【详解】设直线l与的图象相切于点， 直线l与的图象相切于点， 则，，得，得 ，令，则，， ，故， 设，显然为的一个零点，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故， 而，，， 的两根位于两侧，已知一根为1， 另一根位于区间内， 当时，， ，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，， 的最大值为2． 17．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 18．（2026·江苏徐州·模拟预测）若存在4条不同的直线既是曲线的切线，也是圆的切线，则半径r的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过，求得切线方程，根据切线与圆相切，得到，令，平方得到，令，转化为方程有两个不同的解求解. 【详解】因为，所以， 设切点为，则，， 所以切线方程为，， 因为切线与圆相切， 所以圆心到切线的距离等于半径， 即，令，则， ， 令， 当且仅当，即时，等号成立， 又在上递减，在上递增， 当时，，当时，， 所以的最小值为4， 若使方程有两个不同的解， 则，即， 又，则， 故答案为： 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第13讲 导数的概念及其意义，导数的运算 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材基础知识】 1．导数的概念 （1）函数在处的导数记作__________或__________． ． （2）函数的导函数 ． 2．导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的___斜率______，相应的切线方程为． 注：（1）已知在处存在导数，则曲线在点处的切线是指为切点，斜率为的切线，具有唯一性． （2）曲线过点的切线，点不一定是切点，切线可能有多条． 3．平均变化率 1．定义：对一般的函数来说，当自变量x从变为时，函数值从变为，它在区间的平均变化率．通常我们把自变量的变化称作自变量的__改变量______，记作________，函数值的变化称作函数值的__改变量______，记作________．这样，函数的平均变化率就可以表示为__函数值______的改变量与____自变量____的改变量之比，即． 2．作用：平均变化率用来刻画函数值在区间上变化的____快慢____． 4．瞬时变化率 对一般的函数，在自变量从变为时，若设，，则该函数的平均变化率为______，如果当趋于时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的_瞬时变化率_____.瞬时变化率刻画的是函数在__某一点处____变化的快慢. 5．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 y＝c（c是常数） y'＝______0___________ y＝xα（α是实数） y'＝_______α______________ y＝ax（a＞0，a≠1） y'＝_____axln a_________，特别地（ex）'＝ex y＝logax（a＞0，a≠1） y'＝，特别地（ln x）'＝ y＝sin x y'＝____cos x__________ y＝cos x y'＝___－sin x____________ y＝tan x y'＝ 6．导数的运算法则 若，存在，则有： （1）_________， （2）________ （3）__ ______，特别地：. （4） 7．复合函数的导数：一般地，对于两个函数和，如果给定的一个值，就得到了的值，进而确定了的值，那么可以表示成_的函数_______，称这个函数为函数和的__复合函数______，记作________，其中为中间变量.复合函数对的导数为.其中. 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 导数的概念 核心知识 1.函数在处的平均变化率： 2.导数定义： 3.变形形式： 4.几何意义：是曲线在处切线斜率；物理意义：瞬时变化率（瞬时速度、瞬时加速度） 方法技巧 1.识别导数定义结构：分子自变量增量与分母增量一致，注意符号 2.常见陷阱：增量为时，要配凑标准形式，提取系数 例： 3.区分「平均变化率」（割线斜率）和「导数」（切线斜率、瞬时变化率） 【经典例题1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【经典例题2】（25-26高二下·安徽滁州·期中）某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高二下·河北雄安·阶段检测）已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则__________. 【巩固练习2】（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B．2 C．3 D．6 【巩固练习3】（2026·上海·三模）已知，则________． 【题型2】 导数的四则运算 核心知识 1.基本初等函数求导公式 ；；； ；；； 2.四则运算法则 3.复合函数求导： 方法技巧 1.求导优先化简解析式（分式拆分、根式化幂次、三角恒等变形），减少运算量 2.乘积求导不要漏项；分式求导牢记「上导下不导减上不导下导」 3.复合函数由外向内逐层求导，不要漏掉内层导数 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）设函数，其中为参数，那么的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【巩固练习1】（2027高二·全国·专题练习）下列计算错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列求导数运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 【题型3】 求在某点处的切线方程 核心知识 若点在曲线上 切线斜率 点斜式切线方程： 方法技巧 1.步骤： ①验证点在曲线上；②求导；③代入得斜率；④点斜式写方程，整理成一般式 2.易错：直接把代入原函数，不要混淆与 【经典例题1】（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【经典例题2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【巩固练习1】（2026·江苏南京·三模）若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【巩固练习2】（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）曲线上任意一点到直线的距离的最小值是________． 【题型4】 求过某点的切线方程 核心知识 设切点为，切线斜率 切线方程： 已知点在切线上，代入得：，解方程求出切点横坐标 方法技巧 1.万能套路：设切点，不默认已知点是切点！ 2.方程解出几个，就对应几条切线 3.分类讨论：若解唯一→一条切线；多解→多条切线 【经典例题1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【经典例题2】（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 【巩固练习2】（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 【巩固练习3】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 【题型5】 切线的垂直平行 核心知识 设切线斜率分别为 1.两切线平行：（注意排除重合切线） 2.两切线垂直： 特殊情况：一条切线水平，另一条切线竖直（斜率不存在） 方法技巧 1.先求出两条切线斜率表达式，利用平行/垂直条件列方程 2.平行一定要检验：斜率相等时，两条切线不能是同一条直线 3.出现斜率不存在情况单独讨论，避免漏解 【经典例题1】（2026高三下·全国·专题练习）若的图像上存在两条互相平行的切线，证明这两条切线的切点横坐标之和为． 【经典例题2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，使得的图象在点处的切线都与直线垂直，求非零实数的取值范围． 【巩固练习1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【巩固练习2】若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，其上存在两点的切线互相垂直，则实数______． 【题型6】 由切线求参数 核心知识 切线给出两类条件： ①切点同时满足曲线方程、切线方程； ②切点处导数=切线斜率 两个等量关系，用来求解参数 【经典例题1】（25-26高二下·河北衡水·期末）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则______. 【巩固练习2】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习3】（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【题型7】 共切线问题 核心知识 曲线切点；曲线切点 满足方程组： 含义：切线斜率相等；两条切线是同一条直线 方法技巧 1.分别设两条曲线上的切点，写出两条切线方程 2.两条直线重合⇔斜率相等、截距相等 3.消元得到单变量方程，根据方程解的个数判断共切线条数 【经典例题1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【经典例题2】（2027高二·全国·专题练习）（多选）（多选）若曲线与存在公共切线，则实数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【巩固练习2】（25-26高三上·河南商丘·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是__________. 【巩固练习3】（25-26高三上·江西吉安·期末）已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 【题型8】 切线条数问题 核心知识 过定点作曲线切线，设切点构造关于切点横坐标的方程 方程实根个数=切线的条数 方法技巧 1.标准流程：设切点→写出切线方程→定点代入→得到关于的方程 2.转化为：研究函数零点个数（导数研究单调性、极值，数形结合） 3.极值与0的大小关系判定零点数量： 极大值>0，极小值<0⇒3条切线； 极大值=0或极小值=0⇒2条切线； 极大值<0或极小值>0⇒1条切线 【经典例题1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【经典例题2】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【巩固练习3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数图象关于点对称． (1)求a，b； (2)若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 【题型9】 与切线有关的综合题型 核心知识 融合考点：切线方程、切线最值、切线距离、不等式恒成立、零点、面积、参数范围等 本质载体：切线斜率、切线方程、切点坐标 方法技巧 1.优先设切点，把几何条件（距离、面积、角度）转化为代数方程/不等式 2.多个变量注意消元，转化为单变量函数 3.常见考法： ①求切线中截距/距离最值；②切线与直线围成图形面积； ③切线不等式证明；④切线存在性求参数取值范围 4.复杂问题结合数形结合画图辅助分析 【经典例题1】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·二模）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．1或 D．1或 3．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（2026·辽宁朝阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·二模）已知点是曲线上的动点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 8．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·山东聊城·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2026高二下·福建·专题练习）已知函数，则________ 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 12．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 13．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 14．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知曲线在处的切线l也是曲线 的切线，则实数_______ 15．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 16．（2026·河南郑州·模拟预测）若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________． 17．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 18．（2026·江苏徐州·模拟预测）若存在4条不同的直线既是曲线的切线，也是圆的切线，则半径r的取值范围是______． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $