第8讲 幂函数与二次函数【8个核心题型归纳】讲义-2027届高考数学一轮复习题型全归纳

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，涵盖定义、单调性、奇偶性、图像性质、恒成立问题及根的分布，按核心题型分层梳理知识体系，通过考点精讲、方法归纳、真题演练的教学流程，帮助学生构建知识网络并突破解题难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如幂函数比较大小采用中间量法训练推理能力，二次函数恒成立问题通过参变分离发展模型意识。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合经典例题变式训练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供系统指导。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第8讲 幂函数与二次函数 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 幂函数的定义及常见的幂函数 核心知识 1定义：形如（为常数，且为自变量）的函数，其中的系数必须为 2常见幂函数：、、、、 3定义域： ：若为正整数，定义域为；若为分数（如），定义域为 ：定义域为 方法技巧 定义判断：先将函数整理为标准形式，检查系数是否为，再根据指数判断定义域 特殊点记忆：所有幂函数均过点；时，过；时，不过 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 【经典例题2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________． 【答案】9 【分析】由幂函数和偶函数的性质求得，结合对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 又为偶函数，所以，所以． 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，解得或， 当时，， 此时定义域不为，故舍去； 当时，，满足题意． 【巩固练习2】（25-26高一下·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 【巩固练习3】（24-25高一上·安徽淮北·期末）写出一个同时满足下列条件（1）和（2）的幂函数：________． （1）在上单调递增    （2） 【答案】（答案不唯一） 【详解】设，因为在上单调递增，所以， 由，得， 故，其中且，故符合题意. 【题型2】 幂函数的单调性与奇偶性 核心知识 1单调性： ：在上单调递增 ：在上单调递减 2奇偶性（定义域关于原点对称时）： 若为奇数（或奇分数）：奇函数，图像关于原点对称 若为偶数（或偶分数）：偶函数，图像关于轴对称 若：非奇非偶，定义域为 方法技巧 单调性判断：优先看指数正负，再结合定义域区间分析 奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再根据指数的分子分母奇偶性判断 图像辅助：利用“在第一象限的图像特征”快速判断性质，再推广到对称区间 【经典例题1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确. 【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合所求函数需满足的性质以及幂函数的性质，即可确定答案. 【详解】对于幂函数，定义域为， 由于，即是奇函数； 且在上单调递减，故符合题意的一个函数为. 【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期末）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 【答案】或 【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 故答案为：或 【巩固练习2】（25-26高一上·浙江·期末）（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 【巩固练习3】（25-26高一上·山西朔州·期末）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 【题型3】 幂函数的比较大小 核心知识 1同底不同指数：利用幂函数的单调性比较 若底数，指数大的函数值大 若，指数大的函数值小 2同指数不同底：利用幂函数在上的单调性，底数大的函数值大（）或小（） 3不同底不同指数：引入中间量（如或）比较，或利用幂函数的单调性结合图像分析 方法技巧 统一指数法：将底数化为同指数幂，再利用单调性比较 中间量法：先判断各数与、的大小关系，再排序 图像法：在同一坐标系中画出幂函数图像，直观比较函数值大小 【经典例题1】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 【经典例题2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 【巩固练习1】（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【巩固练习2】（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数性质得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B． 【题型4】 幂函数的图像与性质综合题型 核心知识 1图像特征：第一象限内，的幂函数从下到上递增，过；的幂函数递减，趋近坐标轴 2性质综合：结合定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点等性质解题 方法技巧 图像识别：根据指数的正负、奇偶性，判断图像的大致形状和分布 性质应用：利用奇偶性将问题转化到熟悉的区间（如）分析；利用单调性解不等式或比较大小 分类讨论：当指数含参数时，需分、、讨论函数的性质 【经典例题1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，再结合函数奇偶性的定义检验即可； （2）令，分析该函数的单调性与奇偶性，由所求不等式得，即，可得出关于的不等式，解之即可； （3）分析可知的图象关于直线对称，可得，可得出，分析函数的单调性，对的取值进行分类讨论，比较、的单调性，即可得出与的大小关系. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，函数为奇函数，不符合题意， 当时，函数为偶函数，符合题意. 故. （2）令，则该函数的定义域为，且该函数在上单调递增， 对任意的，，即函数为偶函数， 由可得，即， 故，两边平方并化简得，解得， 故原不等式的解集为. （3）因，对都有， 所以函数的图象关于直线对称，所以，可得，即， 所以，故函数的图象开口向上， 所以函数的减区间为，增区间为， 当时，，，且，故， 此时； 当时，，此时； 当时，，，且，故， 此时. 【经典例题2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于实数的等式与不等式，解出值，得函数的解析式和函数的解析式，当时，根据对勾函数的单调性可得出函数在的单调区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故， 所以， 当时，，根据对勾函数的单调性， 所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由（1）可知， ①当时，因为函数、在上均为减函数， 则函数在上单调递减，则，解得（舍去）； ②当时，函数在上单调递减， 此时，不符合题意； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得（舍去）． 综上所述，． 【巩固练习1】（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，当时，的最大值为16，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数a，b（），使得函数在上的值域为？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）设，代点求值； （2）令，结合一元二次函数求最值即可； （3）根据的单调性列方程组，两式相减化简得出，根据，求出的范围，最后利用一元二次函数求值域. 【详解】（1）设幂函数（为常数）， 则，则，故. （2）令，因为，所以， 则可转化为，. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 综上，实数的值为或. （3）由函数可知其在定义域内为单调递减函数. 若存在实数，，使得函数在上的值域为，则： ，， 两式相减可得： 所以. 则. 令，则， 由，得，则. 故实数的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，函数. (1)求的解析式. (2)已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)①减区间为，增区间为；② 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于的等式与不等式，可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）①写出函数的解析式，利用对勾函数的单调性可写出函数的增区间和减区间； ②对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故. （2）①由（1）可得， 当时，， 由题中结论可知，函数在上的减区间为，增区间为； ②当时，函数、在上均为减函数，此时函数在上为减函数， 则，解得，舍去； 当时，函数在上为减函数，此时，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，舍去， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得，舍去. 综上所述，. 【巩固练习3】（25-26高一上·四川眉山·月考）已知幂函数（为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)设， （i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）单调递增，证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据幂函数的图象所过点，列出方程求解即可. （2）（i）判断函数的单调性并用单调性的定义证明即可； （ii）利用函数的单调性可列不等式，转化为求的最大值即可得解. 【详解】（1）因为幂函数（为常数）的图象经过点， 则，所以，故； （2）， （i）在区间上单调递增，证明如下： 设，所以， 因为，所以，所以， 所以，可得函数在区间上单调递增； （ii）由（i）知，为增函数. ∴由得，恒成立， ∴ 恒成立 又在区间为减函数， 当时，， 所以的范围为. 【题型5】 二次函数的单调性与最值 核心知识 1一般式：（），对称轴为 2单调性： ：在上单调递减，在上单调递增 ：在上单调递增，在上单调递减 3最值： 定义域为时，顶点为最值点：有最小值，有最大值 定义域为闭区间时，需比较对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：对称轴在区间左侧、内部、右侧 方法技巧 对称轴法：利用对称轴判断单调性和最值位置，优先将函数化为顶点式 区间最值三步法：①求对称轴；②判断对称轴与区间的位置关系；③计算端点和顶点的函数值，比较得到最值 分类讨论：当二次项系数含参数时，需分、讨论开口方向和单调性 【经典例题1】（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知在上单调递增，求的取值范围； (3)若，求在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集； （2）结合二次函数的图象与性质，即可求解； （3）根据二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 不等式，即，解得或， 即不等式的解集为. （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足， 所以的取值范围为. （3）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在递减，在上递增， 所以最小值为，又因为区间端点比距离对称轴更远，故函数在处取最大值， 在上的值域为. 【经典例题2】（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的最大值； (2)当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求得函数的对称轴，分析其单调性，由在上单调递增，得到实数的取值范围，从而求得实数的最大值； （2）当时．（i）直接求解求不等式，可得其解集；（ii）分析在上的单调性，结合其值域为，求实数m的取值范围． 【详解】（1）函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为． 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若在上单调递增，则，即， 所以实数的最大值为； （2）当时，. （i）令，则，即，解得. 所以不等式的解集为； （ii）易知在上单调递减，在上单调递增，且，. 若在上的值域为，则. 当时，. 在上单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 若在上的值域为，则，即，即， 解得. 综上所述，实数m的取值范围为． 【巩固练习1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 【巩固练习2】（2026高一上·广东清远·专题练习）已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 【答案】(1)函数的最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）根据函数在的单调性讨论求解即可； （2）分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. （2），开口向上，对称轴为， 所以，当时，在上单调递增，故，解得，满足； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故，即，方程无解； 当时，在上单调递减，故，解得，不满足； 综上，当时，函数在上的最小值为2. 【巩固练习3】（25-26高一下·浙江·开学考试）已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解. （2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解. （3）按图象对称轴与区间的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可. 【详解】（1）函数为开口向上的二次函数，当恒成立时，， 即，所以. （2）由（1）知，由，得，解得，， 由函数在区间上有两个零点，得，解得， 所以实数的取值范围. （3）依题意，，即，则，而，又， 则，即，又，因此， （ⅰ）当时，在区间上单调递增，则， 于是，解得，且或，因此； （ⅱ），则，于是， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 【题型6】 参变分离解二次函数恒成立问题 核心知识 1恒成立条件： 对任意恒成立且 对任意恒成立且 2参变分离：将含参数的不等式整理为参数与变量的形式，转化为求函数的最值问题 方法技巧 参变分离步骤：①将参数移到不等式一侧；②构造关于变量的函数；③求该函数的最值，参数的取值范围由最值确定 定义域优先：注意变量的取值范围，避免忽略区间限制导致最值判断错误 易错点：分离参数时，注意系数的正负，不等号方向是否改变 【经典例题1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）将代入中，得出函数的解析式，然后结合二次函数和指数型复合函数性质求解即可； （3）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）当时，， 此时函数， 由函数的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，根据复合函数单调性得： 在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是. 【巩固练习1】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知二次函数，． (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数单调性可得答案； （2）分离变量，再利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】（1）函数 的对称轴为 ， 要使 在区间 上单调， 需满足对称轴不在区间内部， 即 或 ，解得 或 . 因此，实数 的取值范围为 （2）由 得 ， 因为 ，所以 ， 令 ，则 对任意 恒成立等价于 ， 由基本不等式得， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值为 ，故 ， 因此实数 的取值范围是 . 【巩固练习2】（25-26高一上·四川阿坝·期中）已知函数． (1)求，； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据，代入即可计算得， （2）根据二次函数的对称性，讨论的取值范围，再根据在上的最大值为4，即可求得的值. （3）根据，得出的解析式，再利用换元法转化为二次函数恒成立的问题，即可解. 【详解】（1）因为，所以，； （2）因为是开口向上的抛物线，对称轴为，则自变量离对称轴越远，函数值越大.因，则区间中点对应数字为. ①当，即时， ，解得：，满足要求： ②当，即时， ，解得：，满足要求； 综上：或． （3）； ，令，当且仅当时取等号； 由题意，恒成立，即为， 恒成立， 又在上单调递减，所以当时，，所以，即． 【题型7】 主元法解二次函数恒成立问题 核心知识 1主元法：当题目中出现多个变量时，选择其中一个为主变量，其他视为参数，转化为关于主变量的一次函数或二次函数恒成立问题 2适用场景：参数为一次项，变量为二次项，或参数与变量地位可互换的情况 方法技巧 主元选择：优先选择次数较低的变量为主元，简化函数形式 一次函数恒成立：若主元为一次函数，在区间上恒成立，则只需且（或且） 二次函数恒成立：若主元为二次函数，需结合开口方向、判别式、对称轴与区间的位置关系分析 【经典例题1】（25-26高一上·四川凉山·期中）若对一切恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转换成二次函数在上最大值小于等于0，即可求解. 【详解】若对一切恒成立， 即对一切恒成立， 则在上最大值小于等于0， 则，解得， 所以实数的取值范围， 故选：B 【巩固练习1】（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【巩固练习2】（22-23高三上·河南·期末）若函数在单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，则将问题转化为在上恒成立，然后利用二次函数的性质可求得结果. 【详解】因为，所以， 因为在单调递减，所以， 即， 令，所以在上恒成立， 令，， 故，即，解得， 故选：C. 【题型8】 与二次函数有关的方程的根的问题 核心知识 1根的判别式：，有两个不等实根，有两个相等实根，无实根 2韦达定理：，（时） 3根的分布：结合二次函数图像，分析根与区间的位置关系，需考虑开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值 方法技巧 判别式法：判断方程根的个数，或证明方程有实根 韦达定理法：已知根的和、积或关系，求参数的值或范围 图像法：画出二次函数图像，结合根的位置列出不等式组，求解参数范围 因式分解法：将二次方程因式分解，直接求出根，再根据根的限制条件解题 【经典例题1】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数，若方程无实根，则实数的范围为______． 【答案】 【分析】对于嵌套函数，先讨论不同范围下内函数的根的个数，再研究此时外函数无根的情况，从而得到答案. 【详解】①若无实根， 即，解得, 又， 则， 即方程无实根， ②若有两个相等实根，即, 则， 即方程无实根， ③若有两个不相等实根，即, 当的图像与x轴相切时， 函数的最小值为，若方程无实根，则需最小值大于0，即，解得，结合本情形下的条件，可得， 所以当时，方程无实根， 综上可得：m的范围是， 故答案为：. 【经典例题2】（24-25高二下·天津·期中）若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为______. 【答案】 【分析】先确定直线恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线的位置关系，数形结合求解即可. 【详解】直线恒过点且斜率存在的动直线， 又，作出图象，如图： 易知， 由，消得到，由， 得到或（舍）（因为时，，不合题意）， 所以当时，与（或）相切， 由图可知，当时，直线与曲线有1个交点，不合题意； 当时，直线与曲线没有交点，不合题意； 当时，直线与曲线有1交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 设直线与曲线相切于点， 联立，消y得， 由 解得或（舍去，此时方程的根为，不合题意） 当，即时， 直线与曲线有4交点，符合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 综上，k的取值范围为. 故答案为： 【巩固练习1】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，符合题意； 当时，，零点为，，不符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ①若，解得， 此时，故零点为0或3，不符合题意； ②若，， 此时，零点为2或，，符合题意； ③若，解得， 由零点存在性定理可知，函数在有零点，符合题意； ④若，要使函数在有零点，则， 联立，又，即或， 故解得； ⑤若，由二次函数图象可知， 有两个零点，且一个在区间内，另一个在内，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知函数若函数存在3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在平面直角坐标系中画出函数的大致图象，再令，由解得或，即与.要使存在3个不同的零点，结合图象可知须满足，即可得解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且；当时，函数在区间上单调递增，其图象如图所示. 令，则，解得. 由函数存在3个不同的零点， 可得，解得. 故选：D. 【巩固练习3】（25-26高三上·广西桂林·月考）设且，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合的解的情况，可将原方程转化为，则此方程有两个解，，且，，结合二次函数性质可得不等式，解不等式组即可. 【详解】设，故，可转化为， 由得， 当时，方程有两解，当时，方程有一解， 令，故要满足题意， 只需在内有一个实数根，且另一个根为，或在内有一个实数根，且在内也有一个实数根， 即若，， 则，即，不等式组无解； 若，，则，即不等式组无解； 若，，则，即，解得， 综上所述， 故选：B. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 2．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 3．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 4．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 5．（25-26高一下·北京延庆·期中）已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 6．（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 7．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义及单调性，可得m值，根据基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 8．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义可得，再根据偶函数的定义可得，所以，，由函数在区间上的单调性列式求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或． 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不符合题意， 所以． 若函数在上单调递增， 则，解得 若函数在上单调递减， 则，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：． 9．（25-26高一上·安徽安庆·期末）已知幂函数，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数性质求得，得到，根据单调性比较. 【详解】因为幂函数的系数为，所以，解得，所以，在上单调递增， 因为，所以， 又 所以，所以， 故选：B. 二、多选题 10．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．是增函数 C．是偶函数 D．过点 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义及函数图象经过的点求得函数解析式，由幂函数的性质判断各个选项. 【详解】设幂函数，因为函数的图象过点， ∴，∴，即幂函数. 所以函数的定义域是，A选项错误，C选项错误， ∵，∴函数在定义域上单调递增，B选项正确， ∵，∴函数的图象过点，D选项正确. 故选：BD. 三、填空题 11．（25-26高一上·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二次函数的图像求解. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故答案：. 12．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数与有三个交点，那么______. 【答案】或 【分析】画出函数和函数的图象，借助图象求解. 【详解】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，如图所示， 有两种情况满足题意： 一种情况是过点，解得. 另一种情况是与相切， 由，得，， 解得. 故答案为：或 13．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分，，，三种情况，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】解：①若.当时，； 当时，. 依题意需，解得（舍去）. ②若.当时，； 当时， 此时，则. ③若.当时，；当时，. 则需，解得. 当时，，当时，，则有最小值1. 综上，或. 故答案为：. 14．（25-26高三上·福建福州·期中）给定条件：①是偶函数，②，③在区间上单调递减，写出同时满足①②③的一个函数的解析式：______________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合幂函数的性质和运算公式，即可求解一个解析式. 【详解】满足上述三个条件的可以是幂函数，， 函数是偶函数，，函数在区间上单调递减， 所以同时满足①②③的一个函数的解析式为. 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 15．（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性列不等式求解即可. （2）先化简不等式，然后讨论时满足题意的的范围. 【详解】（1）因为函数在区间上单调递增，开口向上，其对称轴为. 所以要满足题意，则，解得. （2）不等式变为， 化简得，因为该不等式的解集为， 所以当时，不等式变为，符合题意； 当时，要使得不等式的解集为，则， 解得. 综上，实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 17．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知二次函数满足：（其中）. (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (2)求关于的不等式的解集（其中）. (3)已知函数若对任意的总存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可设，再由，即可求解，再由在区间上不单调，求解即可. （2）由题意可得，不等式转化为，再对，，分别进行讨论即可. （3）根据题意，求解的值域，再通过换元法，转化为一元二次方程求解即可. 【详解】（1）设，因， 则， 即，解得， 所以. 要使在区间上不单调，则满足，解得， 即实数的取值范围是. （2）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为， 当时，解得或，即不等式的解集为， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）易知在区间的值域为， 对于令,因为，则， 则函数可转化成,, 易知在上单调递减，在上单调递增，所以在上值域为 由题若对任意的，总存在，使得成立，只需使   解得, 所以实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减. (1)求的值； (2)已知实数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）由幂函数的单调性列出不等式求解即可. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，即， 因为，所以或， 又幂函数的图象关于轴对称， 时，满足题意；时，不满足题意， 所以. （2）由（1）可得，所以， 又幂函数在和上单调递减， 可得：或或， 解得：或或空集， 综上，实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义和性质求解. （2）利用二次函数的图像和性质求解，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以. 解得或. 当时，，在上单调递减，不合题意，舍去. 当时，，在上单调递增，符合题意. 所以，. （2）已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. ， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ②当，即时，在处取得最小值， 即， 整理得，解得，因，故； ③当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得，. 20．（25-26高一上·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的定义，得到，再由幂函数的性质，即可求解； （2）设，则，转化为，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 幂函数在区间上单调递减，所以，即. （2）解：由（1）知：，当时，可得， 设，则， 则函数，即为， 又由函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，即时，函数在上单调递增，所以， 令，解得； 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 所以，令，解得（舍去）； 当时，即时，函数在上单调递减，所以， 令，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第8讲 幂函数与二次函数 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 幂函数的定义及常见的幂函数 核心知识 1定义：形如（为常数，且为自变量）的函数，其中的系数必须为 2常见幂函数：、、、、 3定义域： ：若为正整数，定义域为；若为分数（如），定义域为 ：定义域为 方法技巧 定义判断：先将函数整理为标准形式，检查系数是否为，再根据指数判断定义域 特殊点记忆：所有幂函数均过点；时，过；时，不过 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【经典例题2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________． 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【巩固练习2】（25-26高一下·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【巩固练习3】（24-25高一上·安徽淮北·期末）写出一个同时满足下列条件（1）和（2）的幂函数：________． （1）在上单调递增    （2） 【题型2】 幂函数的单调性与奇偶性 核心知识 1单调性： ：在上单调递增 ：在上单调递减 2奇偶性（定义域关于原点对称时）： 若为奇数（或奇分数）：奇函数，图像关于原点对称 若为偶数（或偶分数）：偶函数，图像关于轴对称 若：非奇非偶，定义域为 方法技巧 单调性判断：优先看指数正负，再结合定义域区间分析 奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再根据指数的分子分母奇偶性判断 图像辅助：利用“在第一象限的图像特征”快速判断性质，再推广到对称区间 【经典例题1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期末）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 【巩固练习2】（25-26高一上·浙江·期末）（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【巩固练习3】（25-26高一上·山西朔州·期末）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【题型3】 幂函数的比较大小 核心知识 1同底不同指数：利用幂函数的单调性比较 若底数，指数大的函数值大 若，指数大的函数值小 2同指数不同底：利用幂函数在上的单调性，底数大的函数值大（）或小（） 3不同底不同指数：引入中间量（如或）比较，或利用幂函数的单调性结合图像分析 方法技巧 统一指数法：将底数化为同指数幂，再利用单调性比较 中间量法：先判断各数与、的大小关系，再排序 图像法：在同一坐标系中画出幂函数图像，直观比较函数值大小 【经典例题1】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【巩固练习2】（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型4】 幂函数的图像与性质综合题型 核心知识 1图像特征：第一象限内，的幂函数从下到上递增，过；的幂函数递减，趋近坐标轴 2性质综合：结合定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点等性质解题 方法技巧 图像识别：根据指数的正负、奇偶性，判断图像的大致形状和分布 性质应用：利用奇偶性将问题转化到熟悉的区间（如）分析；利用单调性解不等式或比较大小 分类讨论：当指数含参数时，需分、、讨论函数的性质 【经典例题1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 【经典例题2】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 【巩固练习1】（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，当时，的最大值为16，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数a，b（），使得函数在上的值域为？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，函数. (1)求的解析式. (2)已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 【巩固练习3】（25-26高一上·四川眉山·月考）已知幂函数（为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)设， （i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【题型5】 二次函数的单调性与最值 核心知识 1一般式：（），对称轴为 2单调性： ：在上单调递减，在上单调递增 ：在上单调递增，在上单调递减 3最值： 定义域为时，顶点为最值点：有最小值，有最大值 定义域为闭区间时，需比较对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：对称轴在区间左侧、内部、右侧 方法技巧 对称轴法：利用对称轴判断单调性和最值位置，优先将函数化为顶点式 区间最值三步法：①求对称轴；②判断对称轴与区间的位置关系；③计算端点和顶点的函数值，比较得到最值 分类讨论：当二次项系数含参数时，需分、讨论开口方向和单调性 【经典例题1】（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知在上单调递增，求的取值范围； (3)若，求在上的值域． 【经典例题2】（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的最大值； (2)当时． （i）求不等式的解集； （ii）若在上的值域为，求实数m的取值范围． 【巩固练习1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【巩固练习2】（2026高一上·广东清远·专题练习）已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 【巩固练习3】（25-26高一下·浙江·开学考试）已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【题型6】 参变分离解二次函数恒成立问题 核心知识 1恒成立条件： 对任意恒成立且 对任意恒成立且 2参变分离：将含参数的不等式整理为参数与变量的形式，转化为求函数的最值问题 方法技巧 参变分离步骤：①将参数移到不等式一侧；②构造关于变量的函数；③求该函数的最值，参数的取值范围由最值确定 定义域优先：注意变量的取值范围，避免忽略区间限制导致最值判断错误 易错点：分离参数时，注意系数的正负，不等号方向是否改变 【经典例题1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【巩固练习1】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知二次函数，． (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【巩固练习2】（25-26高一上·四川阿坝·期中）已知函数． (1)求，； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【题型7】 主元法解二次函数恒成立问题 核心知识 1主元法：当题目中出现多个变量时，选择其中一个为主变量，其他视为参数，转化为关于主变量的一次函数或二次函数恒成立问题 2适用场景：参数为一次项，变量为二次项，或参数与变量地位可互换的情况 方法技巧 主元选择：优先选择次数较低的变量为主元，简化函数形式 一次函数恒成立：若主元为一次函数，在区间上恒成立，则只需且（或且） 二次函数恒成立：若主元为二次函数，需结合开口方向、判别式、对称轴与区间的位置关系分析 【经典例题1】（25-26高一上·四川凉山·期中）若对一切恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（22-23高三上·河南·期末）若函数在单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】 与二次函数有关的方程的根的问题 核心知识 1根的判别式：，有两个不等实根，有两个相等实根，无实根 2韦达定理：，（时） 3根的分布：结合二次函数图像，分析根与区间的位置关系，需考虑开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值 方法技巧 判别式法：判断方程根的个数，或证明方程有实根 韦达定理法：已知根的和、积或关系，求参数的值或范围 图像法：画出二次函数图像，结合根的位置列出不等式组，求解参数范围 因式分解法：将二次方程因式分解，直接求出根，再根据根的限制条件解题 【经典例题1】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数，若方程无实根，则实数的范围为______． 【经典例题2】（24-25高二下·天津·期中）若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为______. 【巩固练习1】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是________. 【巩固练习2】（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知函数若函数存在3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高三上·广西桂林·月考）设且，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 4．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 5．（25-26高一下·北京延庆·期中）已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 6．（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 8．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·安徽安庆·期末）已知幂函数，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．定义域为 B．是增函数 C．是偶函数 D．过点 三、填空题 11．（25-26高一上·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 12．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数与有三个交点，那么______. 13．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 14．（25-26高三上·福建福州·期中）给定条件：①是偶函数，②，③在区间上单调递减，写出同时满足①②③的一个函数的解析式：______________. 四、解答题 15．（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 17．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知二次函数满足：（其中）. (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (2)求关于的不等式的解集（其中）. (3)已知函数若对任意的总存在使得成立，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减. (1)求的值； (2)已知实数满足不等式，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 20．（25-26高一上·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $