1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，通过单元大问题引导，从平面向量推广到空间，构建向量与几何要素的对应关系，帮助学生建立“几何问题代数化”的学习支架。 其亮点在于以“以数驭形”思想为核心，通过待定系数法求法向量等具体实例，培养学生的数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。采用问题链导学与表格总结法，学生能理解几何要素的向量表达逻辑，教师可高效实施教学。

1.4.1.1. 空间中点、直线和平面的向量表示 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1. 能用向量语言描述空间中的点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量的概念。 2.会求直线的方向向量和平面的法向量，掌握待定系数法求平面法向量的基本步骤。 3.能借助图形直观理解空间几何要素的向量表示，体会“以数驭形”的数学思想。 4.能解释为什么一个点和一个方向向量可以确定一条直线，为什么一个点和一个法向量（或两个不共线向量）可以确定一个平面。 5.能从单元整体的视角认识本节内容在“空间向量与立体几何”一章中的地位与作用——是实现“几何问题代数化”的关键一步。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 单元大问题： 如何用向量方法系统研究空间中的点、线、面位置关系与度量问题？ 本课大问题： 如何用精准、通用、可运算的向量代数语言，刻画三维空间中点、直线、平面的位置与形态，实现立体几何问题的代数化求解？ 数学本质： 向量是刻画空间几何元素位置与关系的核心工具，几何问题可以通过代数化实现量化、程序化求解。 空间图形可以“翻译”为向量语言，几何关系可以“运算”为向量关系。 ——空间中的点、直线、平面等基本图形要素，可以通过向量进行精确的代数化描述，从而将几何问题转化为向量运算问题，实现“几何问题代数化”。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 大概念： 位置向量：空间一点P的位置可由从基点O到P的向量 唯一表示。 方向向量：直线的方向由与直线平行的非零向量唯一刻画。 法向量：平面的方向由与平面垂直的非零向量唯一刻画。 向量表示式：空间直线和平面均有其对应的向量表示式，实现了图形与向量的双向转化。 方向与法向思想：直线由其一点和方向向量唯一确定；平面由其一点和法向量（或两个不共线向量）唯一确定。这揭示了确定空间图形的基本要素及其向量化表达的内在逻辑。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 【环节一】锚定大问题，构建整体学习视野 核心问题： 如何用向量语言精确刻画空间中的点、直线和平面？ 子问题 子问题1：空间中的一个点，如何用向量来表示？（位置向量） 子问题2：空间中的一条直线，如何用向量来表示？（方向向量 + 一点） 子问题3：空间中的一个平面，如何用向量来表示？（法向量 + 一点，或两个不共线向量 + 一点） 子问题4：这三种表示之间有什么内在联系？体现了怎样的数学思想？ 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题. 平面向量 空间向量 代数运算 推广 建系 空间向量解决了哪些几何问题？ 问题 距离问题 夹角问题 平行、垂直问题 【环节二】单元溯源，情境启问 我们发现建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键，本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题。 对应 如何表示？ 我们都知道：点、直线、平面是空间中的基本图形，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线、平面？ 空间向量 几何要素 点、直线、平面 【环节二】单元溯源，情境启问 平行 垂直 长度 两直线的夹角 用空间向量解决立体几何问题步骤： 【环节二】单元溯源，情境启问 【环节二】单元溯源，情境启问 问题1：平面中我们如何用向量表示点、直线？其核心逻辑是什么？ 定点+定方向向量=确定图形。 问题2：如何用向量语言精确刻画空间中的点、直线和平面？ 问题3：如何用向量的语言“翻译”空间中的点、直线和平面？ 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素. 点 线 面 用向量 ？ ？ ？ 因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面． 【环节三】探究一：点的向量表示 问题1 空间向量和点有什么联系？如何用向量表示空间中的一个点P？ 向量终点的坐标 向量的坐标 一一对应 坐标 平面 如图：取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示. 我们把向量称为： 点的位置向量. 空间 以原点作为固定点 向量称为 点的位置向量. 定点 【环节三】探究一：点的向量表示 思考：我们知道，空间中给定一个点 A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线 l ? 因此用向量表示直线，也就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点. A l P B 【环节三】探究二：直线的向量表示 12 如图，是直线的方向向量，在直线上取， 设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知， 点在直线上的充要条件是存在实数， 使得即 A l P B 进一步，取定空间中任意一点， 可以得到点在直线上的充要条件是存在实数， 使，① 将代入①式， 得. ② 空间直线的向量表示式 O 推论： 【环节三】探究二：直线的向量表示 13 在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． C D A1 B1 C1 D1 A B x y z (O) (2)∵DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)， ∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； ∵BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)， ∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． (0,0,1) (0,1,1) 【环节三】探究二：直线的向量表示 问题3 两条相交直线可以确定一个平面，一个定点和两个定方向 能否 确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 我们知道，平面可以由内两条相交直线确定，如图，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 . 这样，点与向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. α P 向量表示平面主要用于 求接下来所要学习的： 平面的法向量 【环节三】探究三：平面的向量表示 探究3 直线和直线外一点确定一个平面，用点和直线的方向向量 能确定平面吗？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 如图，直线,取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的，由此可以利用点和直线的方向向量来确定平面。 垂直于平面的向量叫做平面的法向量，如图，向量为平面的法向量. 【环节三】探究三：平面的向量表示 思考 如果另有一条直线，在直线上任取向量，与有什么关系? 由平面法向量的定义可得如下性质： (1)性质1： 平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； 如图，∵向量为平面的法向量， ∴ (2)性质2：一个平面的法向量有无数个， 它们互相平行且长度不一。 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量. ，且据平面法向量的定义也是平面的法向量. 【环节三】探究三：平面的向量表示 方法1：待定系数法 ①设向量：设平面的法向量为; ②选向量：在平面内选取两个不共线的向量; ③列方程：由列出方程； ④赋非零值：取中的一个为非零值(常取±1)； ⑤解方程组：解方程组； ⑥得结论：得到平面的一个法向量. 注：一般选两个式子都有的坐标赋值； 选取的值不一样，只是法向量的长度不一样； 【环节三】探究三：平面的向量表示 例2 如图，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求直线A1M的方向向量; A C D B C1 D1 B1 A1 M 解：(1)∵AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, ∴M(3,2,0), A1(3,0,2). ∴直线A1M的方向向量为=(0,-2,2) ∴ =(0,-2,2) 【环节三】探究三：平面的向量表示 19 例2 如图，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. (2)求平面BCC1B1的法向量; (3)求平面MCA1的法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 M 解：(2)因为轴垂直于平面， 所以是平面的一个法向量. 直接法 【环节三】探究三：平面的向量表示 20 例2 AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点， (3)求平面MCA1的法向量. 解：(3)∵是的中点， ∴，，. ∴，. 设是平面的法向量，则，. ∴，∴. 取，则，. ∴是平面的一个法向量. 待定系数法 建系、写点坐标 设法向量 写平面内不平行的两向量坐标 列方程组 赋非0值 下结论 【环节三】探究三：平面的向量表示 21 最好法向量不要出现分数，方便运算 求平面法向量的步骤 【环节三】探究三：平面的向量表示 【跟踪训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 【环节三】探究三：平面的向量表示 【环节三】探究三：平面的向量表示 【环节三】探究三：平面的向量表示 【总结升华】 求平面法向量n的三个注意点 (1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量. (2)取特殊值:在求n的坐标时,可令x,y,z中的任一个为特殊值,得另外两个值,从而得到平面的一个法向量. (3)注意0:假设法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特殊值时,一定要注意这个坐标不 为0. 【环节三】探究三：平面的向量表示 【环节五】反思总结，结构提升 1、 回顾本节课，我们解决了什么问题？我们是如何用向量的语言“翻译”空间中的点、直线和平面的？ 2、这三种表示之间有什么共同点？ 课堂小结 点：基点O + 位置向量 直线：定点A + 方向向量？ 平面：定点A + 两个不共线向量（或法向量） 3、为什么我们要把空间几何图形用向量来表示？这样做有什么好处？ 把几何图形“翻译”成向量语言，几何问题就转化成了向量运算问题——这就是几何问题代数化的思想 27 直线的方向向量和平面的法向量的求法 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 ① 设平面α的法向量 ③ 列方程组 ④解方程组，取其中的一个解. ① 找到l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量. ① 取两点； ② 定向量. ② 求平面α内的两个不共线向量 情境引入： 课堂小结 01 02 03 基础：教科书第29页练习题2、3. 提升：教科书第41页习题1.4第1-2题. 拓展：教科书第44页习题1.4第17题 情境引入： 课后作业 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 30 【解析】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2). (1)方法一:设平面BDD1B1的法向量为n=(x1,y1,z1), 因为=(2,2,0),=(0,0,2),则即令x1=1,则y1=-1,z1=0, 所以平面BDD1B1的一个法向量为n=(1,-1,0).(答案不唯一) 方法二:易证AC⊥平面BDD1B1,所以=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0)是平面BDD1B1 的一个法向量.(答案不唯一) (2)因为=(2,2,0),=(1,0,2), 设平面BDEF的法向量为m=(x2,y2,z2), 所以 即 令x2=2,则y2=-2,z2=-1, 所以平面BDEF的一个法向量为m=(2,-2,-1).(答案不唯一) $