5.3 实际问题与一元一次方程 解答题专题训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程实际应用，通过行程、配套、工程三大模块构建"问题情境-等量关系-方程建模"的解题体系，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|6题|分类讨论（相遇/追及）、线段图分析、单位换算|从匀速运动到变速相遇，逐步渗透"路程=速度×时间"核心关系| |配套问题|6题|比例配套法、总量守恒思想|通过零件配比、人员分配，建立"数量比=效率比"的方程模型| |工程问题|6题|工作总量单位"1"、效率叠加原理|从单干到合作，体现"工作量=效率×时间"的变式应用|

5.3 实际问题与一元一次方程  题型分类解答题专题训练 一、行程问题 1．某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的，两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区地，此时两车相距20千米，甲车在服务区地休息了20分钟，然后按原速度开往地；乙车行驶2小时10分钟时也经过地，未停留继续开往地． (1)求甲、乙两车行驶的速度分别是多少千米/小时： (2)乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 2．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米． (1)若两人同时出发相向而行，两人相遇时离B地有多远？ (2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？ 3．小明和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥小明刚好相遇了20次（出发时不算），求： (1)哥哥速度是小明速度的多少倍？ (2)哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？ 4．甲、乙两人同时从地出发沿同一条路线前往相距25.5千米的地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达地后，立即沿相同路线从地返回地，在途中遇到乙，这时距他们出发已过了3小时，求甲、乙两人的速度分别是多少？ 5．在没有开通高速公路以前，王老师从杉木村驾车到县城需要2小时．高速公路开通以后，王老师的车速平均每小时提高了60公里，结果40分钟就从杉木村到了县城． (1)假设开通高速公路前后从杉木村驾车到县城的路程不变，求王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速； (2)实际上在高速公路开通以后从杉木村到了县城的路程还减少了20公里，求王老师在高速公路开通以后驾车的平均车速． 6．一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需3小时； (1)求无风时飞机的飞行速度； (2)求两城之间的距离． 二、配套问题 7．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，设有x名工人生产螺母，剩下的工人生产螺钉． (1)每天可生产螺母 个、螺钉 个；（用含x的代数式表示） (2)若1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉与螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 8．制作一张桌子要用一个桌面和四条桌腿，木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿．现有木材，应用多少木材制作桌面，多少木材制作桌腿，恰好配成这种桌子多少套？ 9．在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 10．某车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲型零件或2000个乙型零件．2个甲型零件要配3个乙型零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各多少名？ 11．某玩具厂生产某种玩具，A组的4名工人一天生产的总件数比每人每天任务量的3倍多20件，B组的5名工人一天生产的总件数比每人每天任务量的5倍少20件． （1）如果两组工人一天人均生产件数相等，那么每人每天任务量是多少件？ （2）如果A组工人一天人均生产件数比B组的多2件，则每人每天任务量是多少件？ （3）如果A组工人一天人均生产件数比B组的少2件，则每人每天任务量是多少件？ 12．某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 三、工程问题 13．为了进行资源的再利用，学校准备针对库存的桌椅进行维修，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳14套，乙每天比甲多7套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天．学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． (1)请问学校库存多少套桌凳？ (2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你选哪种方案，为什么？ 14．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要天，乙工程队单独完成需要天． (1)甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？ (2)若两队合作天完成此项工程，在甲工程队将效率提高的情况下，那么乙工程队的效率应提高多少？ 15．某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 16． 某工厂计划生产一种新型产品，若甲车间单独生产，需要20天完成；若乙车间单独生产，需要30天完成．现甲车间先单独生产5天，然后乙车间加入一起生产，问还需要多少天可以完成生产任务？ 17．现有甲、乙两个工厂生产一批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用天完成．已知甲工厂每天生产件，乙工厂每天生产件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则要多少天完成？ 18．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)60千米/时，120千米/时 (2)1或小时 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，即行程问题： （1）用乙的路程除以乙的时间，即为乙的速度；算出两地的距离，再用甲的路程除以甲的时间，即为甲的速度； （2）依题意，要进行分类讨论，①设乙车出发小时，两车相距200千米，或②设乙车出发小时，两车相距200千米，再进行列式计算，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙车10分钟行驶20千米，10分钟小时， 乙车的速度（千米/时）， 两地的距离（千米）， 两地的距离（千米）， 甲车的速度（千米/时）； （2）解：①设乙车出发小时，两车相距200千米， 由题意得， 解得； ②设乙车出发小时，两车相距200千米， 由题意得， 解得， 乙车到达A地用的时间为：（小时）， ∵， ∴乙车行驶小时，已经早已到达A地， ∴此时当甲车距离A地200千米时，两车正好相距200千米， （小时）， ∴乙出发小时，两车相距200千米； 综上：乙车出发1或小时，两车相距200千米． 2．(1)两人相遇时离B地有36千米； (2)小时后乙超过甲10千米． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找出等量关系． （1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，即x小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题； （2）设y小时后乙追上甲，那么y小时甲走了千米，乙走了千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题． 【详解】（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇， 根据题意得：， 解方程得：， ∴千米， 答：两人相遇时离B地有36千米； （2）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则y小时后乙超过甲10千米， 根据题意得：， 解方程得：， 答：小时后乙超过甲10千米． 3．(1)哥哥速度是小明速度的2倍 (2)20圈 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明白同起点同方向跑时，每相遇一次，两者的路程差相差一圈，这是本题的难点所在． （1）设哥哥的速度为x米/秒，小明的速度为y米/秒，由“从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次”可得环形跑道的长；由“从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥小明刚好相遇了20次（出发时不算）”得两人路程差等于环形跑道的20倍建立方程即可； （2）由（1）知哥哥速度是小明速度的2倍，则哥哥跑的圈数是小明跑的圈数的2倍，根据两人相遇20次，则哥哥与小明的路程差为20圈，设小明跑了m圈，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设哥哥的速度为x米/秒，小明的速度为y米/秒， 由于两人从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次，则环形跑道长为：米； 由题意得：， 解得：， 即哥哥速度是小明速度的2倍； （2）解：由于哥哥速度是小明速度的2倍，则哥哥跑的圈数是小明跑的圈数的2倍， 设小明跑了m圈，则哥哥跑了圈， 由题意得：， 解得：， 即小明跑了20圈． 4．甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，以路程作为等量关系可列方程求解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时， 由题意得：， 解得：， （千米/时）， 甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时． 5．(1)公里/小时； (2)公里/小时． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，申请题意、找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）设王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速为x公里/小时，则开通后车速为公里/小时，根据等量关系“开通高速公路前后从杉木村驾车到县城的路程不变”列一元一次方程求解即可； （2）在高速公路开通以后驾车的平均车速y公里/小时，则开通以前车速为公里/小时，根据等量关系“高速公路开通以后从杉木村到了县城的路程还减少了20公里” 列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速为x公里/小时，则开通后车速为公里/小时，而小时， 由题意得：，解得：． 答：王老师在高速公路开通前驾车的平均车速为公里/小时． （2）解：设王老师在高速公路开通以后驾车的平均车速y公里/小时，则开通以前车速为公里/小时， 由题意得，解得． 答：王老师在高速公路开通后驾车的平均车速为105公里/小时． 6．(1)840千米每小时 (2)2448千米 【分析】（1）先设出飞机在无风时的速度为x，则顺风飞行时的速度，逆风飞行的速度，再根据路程相等，列出等式，求解即可； （2）利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：设无风时飞机的速度为， 则顺风飞行时的速度，逆风飞行的速度， 依题意得：， 解得， 答：无风时飞机的飞行速度为； （2）解：两城之间的距离． 答：两城之间的距离为． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握无风速度，顺风速度，逆风速度，风速之间的关系是解决问题的关键． 7．(1)2000x，1200（22-x） (2)应安排12名工人生产螺母，安排10名工人生产螺钉． 【分析】（1）设分配x名工人生产螺母，则（22-x）人生产螺钉，根据题意列式即可得； （2）由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产螺母，则（22-x）人生产螺钉， ∴每天可生产螺母2000x个， 每天可生产螺钉1200（22-x）个， 故答案为：2000x，1200（22-x）； （2）解：依题意得：2000x=2×1200（22-x）， 解得：x=12， 则22-x=10， 答：应安排12名工人生产螺母，安排10名工人生产螺钉． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． 8．应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿，配成这种桌子套 【分析】设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． 【详解】解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿，配成这种桌子套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程是关键． 9．(1)女23人，男21人 (2)24人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设七年级（2）班有男生x人，根据“共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】（1）解：设七年级（2）班有男生x人，依题意得 ， 解得， 所以，七年级（2）班有男生21人，女生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， 所以，应该分配24名学生剪筒身． 10．应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各20名，18名 【分析】设安排x名工人生产甲型零件，根据每天生产的两种型号的零件刚好配套，列出方程，解之即可． 【详解】解：设安排x名工人生产甲型零件，则（38-x）人生产乙型零件， 由题意得：， 解得：x=20， 38-20=18， ∴应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各20名，18名． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． 11．（1）每人每天任务量是36件；（2）每人每天任务量28件；（3）每人每天任务量是44件 【分析】设此月每人每天任务量为x件．由题意知：A组的4名工人一天完成的总工作量比此月人均定额的3倍多20件，则A组的总工作量为（3x＋20）件，人均件；B组的5名工人一天完成的总工作量比此月人均定额的5倍少20件，B组的总工作量为（5x−20）件，B组人均为件． （1）可根据A组人均工作量＝B组人均工作量为等量关系列出方程求解； （2）可根据A组人均工作量−2＝B组人均工作量为等量关系列出方程求解； （3）可根据A组人均工作量＝B组人均工作量−2列出方程求解． 【详解】解：设每人每天任务量为x件， 则A组一天生产总件数为（3x+20）件，人均为件； B组一天生产总件数为（5x﹣20）件，人均为件． （1）由题意，得＝， 解得：x＝36． 所以，每人每天任务量是36件； （2）由题意，得＝， 解得：x＝28， 所以，每人每天任务量28件； （3）由题意，得＝， 解得：x＝44， 所以，每人每天任务量是44件． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求解． 12．(1)该工厂有男工36人，有女工52人 (2)调12名女工帮男工制作盒底 【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工有人，利用总人数是88人列方程求解即可． （2）设调y名女工帮男工制作盒底，利用盒底是盒身的二倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工36人，有女工52人． （2）设调y名女工帮男工制作盒底， 由题意得：， 解得． 答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握利用等量关系列方程是解题的关键． 13．(1)学校库存840套桌凳 (2)选择甲、乙合作同时修理的方案，因为该方案省时又省钱 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算；找准等量关系，建立合适的方程并求解是解题关键， （1）直接设该学校库存中有套桌凳，根据“甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天”列出方程求解即可； （2）结合（1）的结论，分别求出总费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设该学校库存中有套桌凳， 由题意：， 解得：， 答：该中学库存中有套桌凳； （2）解：方案①：甲单独修理 时间：(天) 每天费用：(元) 总费用：(元) 方案②：乙单独修理 时间：(天) 每天费用：(元) 总费用：(元) 方案③：甲、乙合作修理 合作每天修(套) 时间：(天) 每天费用：(元) 总费用：(元) 比较：时间，费用 答：选择甲、乙合作同时修理的方案，因为该方案省时又省钱． 14．(1)天 (2) 【分析】本题主要考查了工程问题的应用，熟练掌握“将工作总量设为单位‘’，利用‘工作效率工作总量工作时间’ ‘工作总量工作效率工作时间’分析数量关系”是解题的关键． （）将工程总量设为单位“”，先求出甲、乙的工作效率，再根据“合作时间工作总量合作效率”计算； （）设乙工程队效率提高的比例为未知数，根据“两队合作天完成工作总量”列方程求解． 【详解】（1）解：设工程总量为，则甲的工作效率：，乙的工作效率：， 合作效率：， ∴合作时间：（天）， 答：甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要天； （2）解：设乙工程队的效率应提高，则 ， 解得， 答：乙工程队的效率应提高． 15．(1)20天 (2)万 【分析】（1）设乙队完成此项工程的天数为x天，可知甲队完成此项工程的天数为天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求解即可； （2）设甲，乙两队合作y天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求出y的值，根据“甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元”计算即可． 【详解】（1）解：设乙队完成此项工程的天数为x天， 由题意可得：， 解得， 答：乙队完成此项工程的天数为20天； （2）解：设甲，乙两队合作y天， 由题意可得：， 解得， ∴（万）， 答：完成该工程需付工程款万． 16．还需要9天 【分析】先表示出甲，乙两个车间的工作效率，再根据工作总量相等得出方程，然后求出解即可． 【详解】解：设还需要x天完成，根据题意，得 ， 解得， 答：还需要9天 17．(1) 件 (2) 天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出方程和算式是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天，根据甲、乙生产的纪念品总数相等列方程求解总件数； （2）根据合作生产的工作时间工作总量甲乙工作效率之和计算完成时间． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天， 根据题意得：， 解得， 这批纪念品的总数为（件）． 答：这批纪念品共有件． （2）解：甲、乙两工厂同时生产时，每天共生产（件）， 所需天数为（天）． 答：甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要天完成． 18．(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $