精品解析：福建省福州第一中学2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试题

福州一中2027届高三第一学期第一次质量检测 高三数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据6，7，8，4，5，12的中位数为（ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，得，共计6个数， 所以中位数为. 2. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式计算集合的元素，再根据交集的定义进行求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式可得： ， ，  ， 因此集合，根据交集的定义可得： . 3. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】若与共线，则存在唯一实数，使， 即， 所以， 解得. 4. 曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂直计算出切线斜率，再用斜率算切点坐标. 【详解】已知曲线切线与垂直，所以，即， 又因为，令，解得，所以切点坐标为， 所以切线方程为，即. 5. 已知椭圆，M为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】结合中位线定理以及椭圆定义即可判断. 【详解】设椭圆的右焦点为， 由题意，知，， 又， 所以， 故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆. 故选：B. 6. 已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出外接球的半径，然后设正四面体的边长为，然后求出四面体的高，进行计算即可． 【详解】解：正四面体的外接球表面积为， ，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接， 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，， 则， 所以， 在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 故选：D 7. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案. 【详解】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得，解得 又是整数，即是整数， 设，故，即，解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 8. 已知函数的最小值为0，则a的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，进而研究的单调性，得，使，根据的最小值为0得，联立方程求出，即可求参数值. 【详解】函数的定义域为，且， 令，则， 由得，所以，即在上单调递增， 又时，，时，， 所以，使，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 由，消去得. 令函数，则， 所以在上是增函数，注意到，所以， 所以，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知，所以其共轭复数为，模，， 对于，的虚部为，不含虚数单位，错； 对于，，对； 对于，，错； 对于，代入，原式，进行分母有理化得：，对. 10. 如图，在正方体中，动点在线段上，则（ ） A. 直线与所成的角大于50° B. 对任意的点，都有平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据线线平行，找到直线与BC所成的角，根据正方体的性质求出其度数；B选项，证明出平面，得到结论；C选项，当E在处时，平面平面；D选项，找到平面与平面所成的夹角，结合圆的知识点，推导出. 【详解】因为，所以即为直线与BC所成的角，，故A项错误； 因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 故平面，故B项正确； 当点在处时，平面平面， 所以存在点，使得平面平面，故C项正确； 如图，过点作，则为平面与平面的交线， 在正方体中，平面，所以平面， 所以，，所以即为平面与平面所成的夹角， 因为点一定在以为直径的圆外，所以，所以不存在点， 使得平面平面，故D项正确. 故选：BCD 11. 在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C. 内的点到轴距离的最大值为 D. 与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，， 因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图： 连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于， 因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图： 设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为____． 【答案】 【解析】 【详解】将方程变形为， 对比双曲线标准方程，可得，，则， 根据双曲线离心率公式，可得． 13. 已知函数（，）的一条对称轴为，且对任意，都有，则___________；若对于任意的，，都有成立，则实数的最大值是___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】先由判断出函数的一个对称中心，再结合余弦型函数的对称轴与对称中心的水平距离公式，求出与函数周期的关系，结合，求得的值，然后利用余弦型函数的对称轴性质，，求得值；对于任意的，，都有成立，可转化为，对代入后得到的进行分类讨论，可求得其范围，从而确定的最大值． 【详解】已知对任意，都有， 则函数的图象关于点，即点对称． 又有函数的一条对称轴为，则其与对称中心的水平距离为． 因为余弦型函数的对称轴与对称中心的水平距离为， 其中为函数周期，, 所以，化简可得． 又因为，所以，，则． 由余弦型函数的对称轴性质，可得，即． 因为，所以仅取，时，满足题意． 故函数； 对于任意的，，都有成立， 等价于， 其中和分别为在上的最小值和最大值． 已知，令，可得， 则当时，． 对于余弦函数， 当时，函数的最小值为，最大值为，满足题意； 当，时， 函数的最小值为，最大值小于，满足题意； 又有，则当时， 函数的最小值为，最大值为，满足题意； 当，时， 函数的最小值为，最大值为，满足题意； 当，时， 函数的最小值小于，最大值为，不满足题意． 综上可得，，解，可得， 故实数的最大值是． 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目意思，将连续三项作为一个组块，然后根据分析某连续项的起点项，来进行分类讨论列出方程组求解. 【详解】由题知，令为数列的前项和，记， 当时，，当时，， 则，令连续三项作为一个组块， 设这连续项为，若这项正好为连续的三个组块， 则，可得，矛盾，无解； 若这项中只有两个完整的组块，当这项下标为， 则，相减可得， 当这项下标为，则， 两式相减得，所以， 所以当时，最小，且为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程； （2）若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数） 参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1） （2）10元 【解析】 【分析】（1）用最小二乘法公式求出回归系数，得到线性回归方程； （2）将销量代入回归方程，求出定价的预测值. 【小问1详解】 由题可知：， ； 计算得，， 所以，， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 当时，． 所以若把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为10元 16. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求得角； （2）首先明确点的位置，求出中线的长，利用向量法表示的长，结合余弦定理，可求得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可. 【小问1详解】 由正弦定理：，可得， 又，所以， 即， 所以， 所以， 得， 因为为三角形内角，所以，所以，得． 又，所以． 【小问2详解】 如图：因为，所以为的重心． 延长交于点，则为中点． 因为，所以． 因为，所以，所以， 即，① 在中，由余弦定理得：， 又，，所以，② 由①②得：． 所以． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间和最值． （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间，的单调递减区间；的最大值为，无最小值． （2） 【解析】 【分析】（1）先求导得出，再根据正负确定单调区间，进而求出最值. （2）分和讨论，时再根据正负细分情况，结合函数单调性和零点存在定理确定范围. 【小问1详解】 由题意可得：的定义域为， 当时，，， 令，，解得，， 当时，，，所以， 当时，，，， 所以的单调增区间，的单调减区间， 即在处取得最大值，，无最小值． 【小问2详解】 ，， 若，当时，，， 所以，在上无零点，舍去， 若，则， 令，则， 则在上单调递减，且， ①若，即，此时，，在上单调递减， 又因为，所以，不合题意，舍去， ②若，即，此时，则存在，使得，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且，所以存在唯一的，使得，满足条件， 综上所述，实数的取值范围为． 18. 如图1，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折得，使得二面角的大小为． （ⅰ）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）当变化时，三棱锥的体积是否为定值；若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）是，． 【解析】 【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出，即可得方程； （2）（ⅰ）联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；（ⅱ）应用三棱锥体积公式结合三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 设，则； 当时，设的方程为， 联立方程，消去y得：，则， 可得，解得， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为， 联立方程，消去y得：，解得或， 所以点，的坐标分别为，． 过点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 当二面角的大小为时，点，即； 可得，，， 设面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）由题意得 ， 当时，，此时； 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程，消去y得， 则，可得，， 因为，， 则，得， 所以 ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 19. 若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． （1）若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； （2）已知且，数列，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）的分布列 X 0 1 2 3 ． （ⅱ）证明：因为数列，是从集合中任意取出的两个不同数列， 则数列，为项数列，所以的可能取值为：1，2，3，…，k， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相反，其余项，两者均在同一位置数字相同， 由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 因为， 所以 ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知数列即，结合并项求和法运算求解； （2）（ⅰ）分析可知的可能取值为：0，1，2，3，且集合中元素的个数共有个，进而可得分布列和期望；（ⅱ）分析可知的可能取值为：1，2，3，…，k，集合中元素的个数共有个，结合组合数的性质求分布列和期望，进而分析证明. 【小问1详解】 因为是16项数列，当且仅当时，， 当，和时，， 又因为，所以数列即， 设的所有项的和为S， 则 所以数列的所有项的和为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为数列，是从集合中任意取出的两个数列， 则数列，为项数列，所以的可能取值为：0，1，2，3， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 可得，；；； 随机变量的分布列 X 0 1 2 3 所以． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2027届高三第一学期第一次质量检测 高三数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据6，7，8，4，5，12的中位数为（ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 2. 设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆，M为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 直线 6. 已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 已知函数的最小值为0，则a的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 10. 如图，在正方体中，动点在线段上，则（ ） A. 直线与所成的角大于50° B. 对任意的点，都有平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面平面 11. 在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C. 内的点到轴距离的最大值为 D. 与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为____． 13. 已知函数（，）的一条对称轴为，且对任意，都有，则___________；若对于任意的，，都有成立，则实数的最大值是___________． 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程； （2）若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数） 参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，． 16. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，且，求的面积． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间和最值． （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 18. 如图1，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折得，使得二面角的大小为． （ⅰ）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）当变化时，三棱锥的体积是否为定值；若是，求出这个值；若不是，说明理由． 19. 若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． （1）若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； （2）已知且，数列，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $