精品解析：福建省三明第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

三明一中2026-2027学年上学期高三开学考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合、，再求即可. 【详解】集合， ， 则. 2. 已知函数且，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，求得，结合极限的运算法则，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 又由， 即，解得. 3. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求得定点，然后再由角的终边经过点，利用三角函数的定义求解. 【详解】令，则， 所以函数（，且）的图象恒过点， 又角的终边经过点， 所以， 故选：B 4. 在中，，则该三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化，再三角恒等变换求角的关系即可. 【详解】已知等式，由正弦定理得， 所以， 即， 又因为，所以，即， 所以是等腰三角形， 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正余弦公式求出，再利用二倍角的正切公式计算即得. 【详解】由，得，而，即， 则，所以. 故选：C 6. 已知函数（）在内有且仅有3个零点，则的值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件将问题转化为与直线在内恰有三个交点，设令，进而将问题转化为与直线在（）内恰有三个交点，结合正弦函数的图象与性质得到，即可求解. 【详解】由于（）在内有且仅有3个零点， 所以方程（）在内恰有三个不相等的实数根， 即与直线在内恰有三个交点. 令，则， 则与直线在（）内恰有三个交点. 令，解得：（）或（）， 又，且满足条件的恰有三个值， 则，解得：， 故选：B. 7. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得. 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 8. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为， 因为，即函数为奇函数， 又因为，且函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 对任意的正数、，满足，则， 所以，，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限；B选项，根据顺时针转动形成负角判断；C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D选项，由扇形面积公式进行求解. 【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故错误； B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动，故分针转过的角度是，故错误； C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，故C正确； D选项，扇形面积为，故错误， 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的一条对称轴为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 D. 方程在区间上恰有三个不等的实根 【答案】AC 【解析】 【分析】，选项可结合的性质判断；根据函数图象平移的规律可判断；通过解方程，结合的取值范围即可判断. 【详解】因为，令， 所以的对称轴方程为， 当时，，故正确； 由得， 又，所以在上不单调，故错误； 将的图象向右平移个单位可得，故正确； 由，得， 即或，， 因为，所以，，，， 所以有4个不等实根，故错误. 故选：. 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可. 【详解】为奇函数，故，即①， 又为偶函数，故②， 则由①②可得，， 则，则的一个周期为4， 在①中令有， 又当时，，则，则， 所以， 故A正确； 由②可得，，则， 即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数， 则是上的减函数， 因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误； 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点， 所以有5个零点，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可. 【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为， 则，即， 又，故. 故答案为：2. 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意得： . 故答案为：. 14. 已知恒成立，则t的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知不等式变形为，构造函数，借助函数单调性，可得恒成立，通过分离参数，以及构造导数求得t的取值范围. 【详解】由，得， 所以，即， 即恒成立， 构造函数，上式即为恒成立， 因为，所以在R上单调递增， 则可得恒成立， 所以，即， 再设，因为， 所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以， 从而，即t的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若，求三角形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将已知条件中的边化角，求得，即可求得； （2）利用余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，即可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由，结合正弦定理，得， 所以，又因为，所以 【小问2详解】 由余弦定理，得 即（当且仅当等号成立） 所以， 即当时，三角形面积的最大值为. 16. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． （1）求的值． （2）记点B的横坐标为，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角函数定义可得，再利用诱导公式与三角函数商数关系，将弦化为切后计算即可得. （2）利用三角函数定义可得，则可得，再利用同角三角函数基本关系与诱导公式计算即可得. 【小问1详解】 由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得， 所以，， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以， 所以 . 17. 函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2），； （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由“五点法”，结合图象分别求出即可求解； （2）利用整体代换法计算即可求解； （3）结合正弦函数的图象与性质计算即可求解. 【小问1详解】 由图象知，，，即． 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以； 【小问2详解】 令，， 解得， 故函数的单调递增区间为，； 【小问3详解】 因为，所以， 当时，即时，取最大值，最大值为， 当时，即时，取最小值，最小值为， 所以的最大值为，最小值为． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）为边上一点，若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，先根据正弦定理把边化角，再根据三角形中，利用和角正弦公式展开，化简得到，再结合角的范围即可求出角；方法二，根据余弦定理把角化边，再次利用余弦定理即可求出的值，再结合角的范围，即可求出角； （2）方法一，在，中，根据正弦定理分别列出关系式，整理可得，在中，由余弦定理得到，再由三角形的面积公式求解即可；方法二，过作，垂足为，得到，通过和相似，得到，后同方法一；方法三，分别利用底高和，得到与的面积比，从而得到，后同方法一. 【小问1详解】 方法一：因为， 所以由正弦定理可得，， 又因为， 所以， 由于，所以， 所以，因为，所以； 方法二：因为， 所以由余弦定理可得， 整理可得， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 方法一：由（1）及题设知，，，. 在中，由正弦定理得，. 在中，由正弦定理得，. 两式相除可得，即， 在中，由余弦定理可得，即 所以的面积； 方法二：如图所示，过作，垂足为. 在中，，所以. 由于，所以， 所以，即， 得，后同方法一； 方法三：由（1）及题设知，，. 因为两个三角形的高相同，所以与的面积之比等于， 又因为与的面积之比还等于， 所以，，后同方法一. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）时，的单调递减区间为和，单调递增区间为；时，的单调递减区间为，单调递增区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；时，在上单调递增；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）分，和三种情况，求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以． 当时，令，即， 解得，，所以， 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 此时的单调递减区间为和，单调递增区间为， 当时，，易知时，，，， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，即， 解得，， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为， 若，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 当，且时，由（2）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为，所以， 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2026-2027学年上学期高三开学考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数且，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 3. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ）． A. B. C. D. 4. 在中，，则该三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（）在内有且仅有3个零点，则的值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 7. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的一条对称轴为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 D. 方程在区间上恰有三个不等的实根 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是______． 13. __________． 14. 已知恒成立，则t的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若，求三角形面积的最大值. 16. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B，其中． （1）求的值． （2）记点B的横坐标为，若，求的值． 17. 函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的最大值和最小值． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）为边上一点，若，且，求的面积. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $