重庆市育才中学校2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高中数学开学试卷以5道解答题（77分）为主，通过梯度化问题设计检测数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配开学初学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|函数性质应用、立体几何证明、数列综合问题、概率统计分析|结合科技数据情境设题，基础问考查几何直观（如空间几何体体积计算），提升问要求逻辑推理（如数列递推关系证明），创新问需建立数学模型（如概率决策分析），契合高考对综合素养的考查趋势。|

数学试题 (本试卷共150分，考试时间120分钟) 命题单位：重庆市育才中学校 注意事项： 1,答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无 效： 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={a,a2},B={1,3},若1∈A,则集合AUB的真子集个数为() A.3 B.6 C.7 D.8 2.不等式4子>0的解集是（) A.（2,0U2,+∞)B.（←o,-2c.(0,2)D.（o,-2U0,2) 3.已知a,beR,则“a>1且b>1”是“10g.b>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知函数闪h。,则了)的图象可能是() 2xcosx AA Mi A 5.已知cosa+5,0<a<x,则ng-a=() A.3 B.厘 c. D.-5 4 6.从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01=37.7834： 而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99=0.0255：这样，一年后“进步”的 是“嘴后”的9四=141信，“运步~的是客后”的0倍只蛋要大约经过()天.《像考政品 g101=2.0043,lg99≈1.9956) A.110 B.115 C.120 D.125 7.E知回r+4,若a时e=f)c-》 则a,b,c的大小关系为() A.c<b<a B.c<a<b C.b<e<a D.a<c<b 8.已知函数了)-s如(ar+骨引@>0在区间[后个]上哈有3个零点，则0的取值范围是（) 小传别 c号学ua号 得劉 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. g.已知函数了=An(@r+p)A>0,@>0,←的部分图像如图所示，则（） A=3m2x-引 B.)的图像关于点径+后0：e对称 C.直线x=工是f(x)的一条对称轴 D.函数(+副为奇孟数 10.已知正实数x、y满足=x+2y,则下列说法正确的有（） A.y的最大值为8 B.x+2y的最小值为8 C.2x+y的最小值为9 。点的最小值为3 11,己知函数(x),g(x)的定义域均为R,f(2r+1)为奇函数，且 f(1-x)+g(x)=2,f(x)+g(x-3)=2,则() A.f(x)为偶函数 B.g(x)不为奇函数 c2/)=0 o.2)=40 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.(+1ogm9+3w= 13.已知tana=2,则sin2a+sina cosa-2=_ [4og4,0<x<4 14.函数fx)= 2+7x-20x≥4'若存在实数a6cd满足f(a)=fb)=fe)=f(d. 2 0<a<b<c<d,则abc(d-)的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥AC,平面ABC⊥平面ACCA. (1)证明：AC⊥AB (2)若AC⊥BC,BC=AC=1,AA=2,求直线AB与平面BCCB所成角的正弦值. 16.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且√3a-csinB=√3 bcosC. (1)求B; (2)若b=3,∠ABC的平分线与AC相交于点D,且BD=2,求△ABC的面积 17.某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计 如下表所示 成绩区间 [50,60) [60,70) [70,80) 「80,90) [90,1001 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）： (2)该运动员用分层抽样的方式从[50,80)的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选 2次，设成绩落在区间[60,70)的次数为X,求X的分布列及数学期望： (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10 分，原高于80分的无影响，优化失敗败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为 P(0<p<).在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性 变大时p的取值范围. 18.已知函数f(=(e-a,aeR (1)当a=1时，求f(x)的极值： (2)若函数g(x)=f(x)-a血x有2个不同的零点，x, ()求a的取值范围：(i)证明：e*)>c x水 19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点P(4,t)t>0)到F的距离为5. (1)求P和t的值： a4,B为C上两点，△PAB的重心在直线y=号上. 1,证明：直线AB的斜率为定值； i设直线AB与x轴交于点2，线段AB的中点为T,线段PQ的中点为R,过点P向直线TR作垂线，垂 足为H,证明：点H在定圆上运动.