重庆市好教育联盟2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三数学开学试卷以新能源汽车产量、川剧非遗等真实情境为载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过基础计算与综合应用梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|极差计算、集合、三角函数周期|结合重庆新能源产量数据考查统计基础，川剧绝活排列体现文化传承| |多选题|3/18|向量运算、椭圆与双曲线|聚焦几何量关系推理，考查数学思维严谨性| |填空题|3/15|复数虚部、导数图像、解三角形|通过导数图像分析考查直观想象，角平分线问题体现模型应用| |解答题|5/77|概率统计、立体几何、抛物线、高阶导数、数列与集合|取球问题融合概率与期望，高阶导数拓展创新，数列集合综合考查数学抽象与运算能力|

高三数学 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 重庆市 2020-2025 年新能源汽车全年产量(单位:万辆)依次为 4.32，15.22，36.52，50.03， 95.32,129.60,则这组数据的极差为 A. 125.38 万辆 B. 125.28 万辆 C. 114.38 万辆 D. 114.28 万辆 2. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 3. 已知函数 与 的最小正周期相等，则 的值域为 A. B. C. D. 4. 若直线 将圆 分成两段弧,则优弧长度与劣弧长度的比值为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. 变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为 A. 24 B. 120 C. 144 D. 168 6. 若 ,则 A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系内,函数 的图象可能是 ABCD 8. 已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ，且正三棱台 的 6 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知向量 满足 ,则 A. B. C. D. 10. 已知椭圆 与双曲线 的焦距相同，左、右焦点分别为 的离心率分别为 是 与 的一个交点， ,则 的值可能为 A. 4 B. C. 2 D. 11. 已知函数 的定义域为 ,当且仅当 时, ,且 ,则 A. B. C. 在 上单调递减 D. 是偶函数 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 的虚部为_____▲_____. 13. 若函数 的导函数的部分图象如图所示, 则 _____▲_____. 14. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 的两条角平分线是 与 ，则当 取得最小值时， _____▲_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 箱中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种小球, 黄球与白球的数量之比为 3 :1. 现从箱中每次随机取出 1 个球: 若取出白球, 则将其放回箱中, 并继续从箱中随机取出 1 个球; 若取出黄球, 或取球的次数达到 3 次, 则停止取球. (1)求取球终止时取到 2 次白球、 1 次黄球的概率； (2)设取球终止时取球的次数为 ，求 . 16. (15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点. (1)证明: 平面 . (2)已知 平面 . ①证明: . ②求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. 已知抛物线 的焦点分别为 ，且 . (1)求直线 的方程； (2)若直线 与 从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 18.(17分) 我们把函数 的 阶导数记为 ，已知 的导数为 ，则 . (1)若函数 的图象在点 处的斜率为 ，求 . (2)已知 ， ， 为常数. ① 若函数 ，求 在 上的零点个数； ②若函数 ， 证明: . 19. (17分) 在数列 中, ,等差数列 的前 项和为 ,且 . (1)求数列 ， 的通项公式. (2)设集合 ，在数列 中，定义 为集合 中在区间 内的元素个数. ① 求 ； ② 求 . 参考公式: 当 时, . 学科网（北京）股份有限公司 $