精品解析：重庆市巴蜀中学校等校2026-2027学年高三上学期适应性月考卷（一）数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以. 2. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 因为“”“”，且“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式系数的性质及系数最大项可得,再使用赋值法求各项系数之和即可. 【详解】由的展开式中，只有第7项的二项式系数为最大，所以, 在中，令得， 即展开式的各项系数之和为1. 4. 已知函数，若，则的值是（ ）． A. B. 1 C. 1或0 D. 或0或1 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 若，则，可得， 则，所以； 若，则，可得，解得或（舍去）； 综上所述：的值是1或0. 5. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，，， 所以. 6. 张、王、李、赵、吴共五名教师，利用周末时间去包括“半山崖线”在内的四条徒步路线进行考察．要求每条路线至少去一名教师，每名教师只能去一条路线，那么张老师恰好被安排去“半山崖线”考察的不同安排方法数为（ ）． A. 60 B. 64 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及组合、排列计算求解. 【详解】分两类考虑， 第一类安排2人“半山崖线”考察，则有种不同安排方法； 第二类安排1人“半山崖线”考察，则有种不同安排方法， 故共有种不同的安排方法. 7. 已知为定义在上的偶函数，为奇函数，，则（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数的奇偶性，求出函数的周期，利用周期求解. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 因为为定义在上的偶函数， 所以，故， 所以， 所以. 8. 已知函数．若存在两个不同的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用转化得到正根方程，参变分离构造函数求导分析单调性、值域，结合图像交点个数确定参数的取值范围. 【详解】设非零实数，则，由题可知有两个不同的正实根， 即方程存在两个不同的正实根. 当时，左边，而右边是指数函数，值域恒大于0， 方程不可能成立，因此. 将方程变形为，令， 则，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此在处取最小值，且当和时，， 即在时的值域为. 要使在上有两个不同解，需满足，即， 结合之前得到的，最终得. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）． A. 数列的公比 B. 数列有最大项 C. 数列为递增数列 D. 数列为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用，算出公比，得到通项公式，再逐一判断单调性、最大项,通过等差数列的定义判断数列是等差数列. 【详解】正项等比数列，设公比为，则，， ， ， 已知 ，所以 ，因为，所以， 正项数列 ，故 ，A 正确； 因为，，所以正项等比数列单调递减，所以首项就是最大项，B 正确； 因为，，所以正项等比数列是递减数列，C 错误； 因为，，所以，所以 ， 差为常数，所以数列为等差数列，D 正确. 10. 阅读是一种很好的休闲方式，可以使人获得内心的宁静与精神的升华．已知某图书馆阅读者的日阅读时长（单位：小时）服从正态分布，则（ ）． A. B. C. 若，则 D. 设，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据正态分布的定义即可得结果；对于B：根据以及期望的性质运算求解即可；对于C：根据正态分布的对称性即可得结果；对于D：根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，则，，故A正确； 对于选项B：因为，即，可得， 所以，故B错误； 对于选项C：若，由对称性可知，所以，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，可得， 则 ， 且，所以，故D错误. 11. 已知函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. 对任意的，的最大值与最小值之和为 D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；推导出函数的图象关于点对称，结合对称性可判断C选项；分析函数的单调性与对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性解之即可，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，，故函数的定义域为， ， 所以，A错； 对于B选项，对任意的，， 故函数的定义域为， ， 即，故函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，B对； 对于C选项，对任意的， ， 所以函数的图象关于点对称， 故函数图象的最高点和最低点关于点对称， 所以，C对； 对于D选项，易知函数的定义域为， 函数在上为减函数， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为减函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上也为减函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上为减函数， 由可得， 所以，解得， 故不等式的解集为，D对. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的导函数为，且，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】对原函数求导后，将代入导函数，得到关于常数的方程并求解即可. 【详解】由题意得， 则，解得. 13. 已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14. 在平面内，点位于直线的上方，点到点的距离与到直线的距离之积为，则点纵坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出等量关系，结合平方数的非负性转化为不等式求解参数范围. 【详解】∵ 点位于直线的上方， ∴ ，点到直线的距离为. 又点到点的距离为，根据题意得. 整理得，两边同时平方得， 移项得. ∵ ， ∴ ，即. ∵ ，两边同乘不等号方向不变，得： ， ∴ ，即，解得. 结合，可得的取值范围是. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． （1）证明：是棱的中点； （2）锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 【答案】（1）证明：如图，连接MO， 在平行四边形ABCD中，因为O为AC与BD的交点，所以O为BD的中点， 平面MAC，平面PBD，平面平面， 所以． 所以,则， 所以是棱的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理可得，得到，进而可得结论； （2）法一（几何法）过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE，可证为二面角的平面角，求解即可；法二（坐标法）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量表示二面角的余弦值，列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一（几何法）：如图，过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE， 因为平面ABCD，所以平面ABCD，所以． 又，又OE，平面OPE，所以平面OPE． 又平面OPE，所以， 所以为二面角的平面角． 因为四边形ABCD是菱形，，， 所以是等边三角形，所以，， 所以，所以． 在中，． 法二（坐标法）：设， 以为轴，以为轴，以为轴，如图建系． ，，，， ，． 设平面ADP的法向量为， 由， 令得一个法向量． 取平面ADC的一个法向量为， 则， 则． 16. 已知正项数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）， （2）证明：由（1）得，， 所以， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）先求出，再由题意得，根据的关系可得，最后求出等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法进行证明. 【小问1详解】 当时，， 当时，，， 两式相减得：， ． 又因为是正项数列，则， 则是首项为1，公差是2的等差数列，则，； 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】（1） （2）①当直线，的斜率一个为0，一个不存在时， ， 将代入，得， 又，所以，因此， 此时，． ②当直线，的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点， 不妨设的方程为， 联立椭圆的方程得， 其中恒成立， 设，，则，， 于是． 由，用代替m的位置可得， 此时，． 综上所述，为定值，且该定值为． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义得，结合离心率求出，再利用算出，即可得解； （2）分两类讨论：一是两直线一条水平一条竖直的特殊情形，直接求焦点弦长计算倒数和；二是两直线斜率均存在，设联立椭圆，用韦达和弦长公式求，利用垂直关系将替换为得到，化简倒数和消去参数证得定值，两种情形结果一致完成证明． 【小问1详解】 由题意得，则，，所以， 从而椭圆C的方程为． 【小问2详解】 略 18. 在某公司的团建活动中，组织了摸小球中奖品的游戏，游戏规则如下： ①将10名参加游戏的队员依次编号为1，2，3，…，10，游戏主持人和每名队员手中的小盒里有1个黑球和1个白球，这些球除颜色不同外其余均相同； ②1号队员先从主持人的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ③2号队员从1号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，接着，3号队员从2号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，重复上述操作，一直到10号队员从9号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ④游戏主持人从10号的盒子里随机摸出一球后，该轮游戏结束． （1）该轮游戏结束后，记1号队员盒子里的黑球个数为，求的分布列与数学期望； （2）在取球过程中，记事件“号队员摸取小球后他的盒子中是2黑1白球”（，），求证：； （3）该轮游戏结束后，盒子中小球的颜色相同（视为中奖）的队员恰有人（，），将剩下未中奖的队员重新编号并按游戏规则再进行一轮摸球游戏，记两轮游戏结束后有且仅有一名队员未中奖的概率为，问为何值时取得最大值． 【答案】（1）X的分布列如下： X 0 1 2 P （2）证明：当时，显然，根据游戏抽取规则， 当时，， 即，则， ，于是． 综上，． （3）或6 【解析】 【分析】（1）写出X的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，求出期望即可； （2）根据全概率公式建立的递推关系进行证明； （3）写出的解析式，由求出的值． 【小问1详解】 由题意，X的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以黑球个数X的分布列如下： X 0 1 2 P 故数学期望为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，一轮游戏结束后，每名队员盒子中小球的颜色相同的概率 ， 即每名队员中奖的概率为， 则． 由，解得． 又，从而或6． 19. 已知材料：对于函数求导，一般是这样处理：两边同时取对数得，左边是关于的复合函数，两边同时对求导得，．根据材料解决下列问题：已知，． （1）求在处的切线的斜率； （2）求函数在上的最大值； （3）求证：不等式对任意的（）都成立． 【答案】（1） （2） （3）令， 则函数的图象关于直线对称， 现证明在上恒成立， ， 而，其中显然， 下面证明， 由（2）知时，，即， 下面证明在上恒成立， ， 由（2）知，，，， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以不等式对任意的成立． 【解析】 【分析】（1）模仿题给材料，对两边取对数，进行隐函数求导得到导函数，将代入导函数，所得数值即为该点切线斜率； （2）对取对数构造辅助函数，求导找到隐零点，划分区间判断单调性，比较极小值点与区间端点函数值，求得最大值，再还原得到的最大值； （3）构造函数，利用上一问结论证明时，令得到通项上界，对各项直接求和完成不等式证明． 【小问1详解】 ，所以， ，， 即切线的斜率为． 【小问2详解】 令， ， 得，（舍）． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当， ， 所以，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则的值是（ ）． A. B. 1 C. 1或0 D. 或0或1 5. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 6. 张、王、李、赵、吴共五名教师，利用周末时间去包括“半山崖线”在内的四条徒步路线进行考察．要求每条路线至少去一名教师，每名教师只能去一条路线，那么张老师恰好被安排去“半山崖线”考察的不同安排方法数为（ ）． A. 60 B. 64 C. 72 D. 96 7. 已知为定义在上的偶函数，为奇函数，，则（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数．若存在两个不同的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）． A. 数列的公比 B. 数列有最大项 C. 数列为递增数列 D. 数列为等差数列 10. 阅读是一种很好的休闲方式，可以使人获得内心的宁静与精神的升华．已知某图书馆阅读者的日阅读时长（单位：小时）服从正态分布，则（ ）． A. B. C. 若，则 D. 设，则 11. 已知函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. 对任意的，的最大值与最小值之和为 D. 的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的导函数为，且，则________． 13. 已知正实数，满足，则的最小值为________． 14. 在平面内，点位于直线的上方，点到点的距离与到直线的距离之积为，则点纵坐标的取值范围是________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． （1）证明：是棱的中点； （2）锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 16. 已知正项数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 17. 已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 18. 在某公司的团建活动中，组织了摸小球中奖品的游戏，游戏规则如下： ①将10名参加游戏的队员依次编号为1，2，3，…，10，游戏主持人和每名队员手中的小盒里有1个黑球和1个白球，这些球除颜色不同外其余均相同； ②1号队员先从主持人的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ③2号队员从1号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，接着，3号队员从2号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，重复上述操作，一直到10号队员从9号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中； ④游戏主持人从10号的盒子里随机摸出一球后，该轮游戏结束． （1）该轮游戏结束后，记1号队员盒子里的黑球个数为，求的分布列与数学期望； （2）在取球过程中，记事件“号队员摸取小球后他的盒子中是2黑1白球”（，），求证：； （3）该轮游戏结束后，盒子中小球的颜色相同（视为中奖）的队员恰有人（，），将剩下未中奖的队员重新编号并按游戏规则再进行一轮摸球游戏，记两轮游戏结束后有且仅有一名队员未中奖的概率为，问为何值时取得最大值． 19. 已知材料：对于函数求导，一般是这样处理：两边同时取对数得，左边是关于的复合函数，两边同时对求导得，．根据材料解决下列问题：已知，． （1）求在处的切线的斜率； （2）求函数在上的最大值； （3）求证：不等式对任意的（）都成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $