第四章 概率与统计 章末测试卷-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册练习手册（人教B版）

第四章章 (时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的： 1.已知某种产品的合格率是90%，合格品中 的一级品率是20%，则这种产品的一级品 率为( A.18% B.19% C.20% D.21% 2.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有 效的公共卫生干预措施.根据实验数据， 人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感 染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗， 则最多1人被感染的概率为( A.512 B.256 625 625 c D.625 3.已知随机变量X~N(3,1),且P(X<2)= 0.1587,则P(2≤X≤4)=() A.0.1586 B.0.3413 C.0.4177 D.0.6826 4.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中 口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲 肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层 为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料 层)，外层为特殊材料抑菌层（无纺布或 超薄聚丙烯熔喷材料层)·根据国家质量 监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要 的指标，根据长期生产经验，某企业在生 第四章章末测试卷 末测试卷 满分：150分) 产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤 率X~N(0.9372,0.01392).若X~N(u,σ2) (σ>0)，则P(u-2σ<X≤u+2o)=0.9545, P(u-3σ<X≤u+3o)=0.9973,0.977250≈ 0.3164.有如下命题：甲：P(X≤0.9)<0.5； 乙：P(X<0.4)>P(X>1.5)；丙：P(X0.9789) =0.00135;丁：假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大 于u+2σ的数量，则P(X≥1)≈0.6.其中 假命题是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.已知PMB)P1)=,则PBM)等 于() 号 B.2 c Di 6.已知离散型随机变量X的分布列如下表 所示 X 2 3 3 缺失数据 则随机变量X的期望为( A.13 4 B.11 C.13 D.11 6 6 5 高中数学选择性必修第二册人教B版 7.若随机变量X-B6,子，则D(2X+1) A B9C号D曾 8.已知某公司生产的一种产品的质量（单 位：kg)服从正态分布N(90,64),现从 该产品的生产线上随机抽取10000件产 品，其中质量在区间(82,106)内的产 品估计有() 附：若X-NGu,o2),则P-0<X+o)≈0.6827， P(u-2o<X+2o）≈0.9545. A.8718件 B.8772件 C.8128件 D.8186件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分 部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设离散型随机变量X的分布列如下表所示 X 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下 列结果正确的有() A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 10.袋内有大小完全相同的2个黑球和3个 白球，从中不放回地每次任取1个小球， 直至取到白球后停止取球，则() A.抽取2次后停止取球的概率为3 B.停止取球时，取出的白球个数不少于 6 黑球的概率为9 10 C.取球次数的期望为2 D.取球次数5的方差为 0 11.甲、乙两类水果的质量（单位：kg)分 别服从正态分布N(1,o),N(2,σ) 其正态分布的密度曲线∫(x)= 1 V2m·σ e器，x∈R,如图所示，则下列说法正 确的是() 甲 乙 1.99 00.40.8 第11题图 A.甲类水果的平均质量=0.4 B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更 集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平 均质量小 D.乙类水果的质量服从正态分布的参数 02=1.99 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分 12.设随机变量~W(4,9),若实数a满足 P(<3a+2)=P(5>2a-1),则a的值是 1B.设随机变量X的分布列为X=6)m子 k=1,2,3,则m的值为 14.设0<<1，若随机变量专的分布列如下 表所示 0 2 1 1-卫 2 2 则当p变化时，D(飞)的极大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在某校举办的“国学知识竞赛' 决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参 加比赛.规则是：每名同学回答一个问 题，答对为本队赢得1分，答错得0分 假设甲队中每名同学答对的概率均为 号，乙队中3名同学答对的概率分别是 分，子，子，且每名同学答题正确与 否互不影响.用X表示乙队的总得分 (1)求随机变量X的分布列 (2)设事件A表示“甲队得2分，乙队 得1分”，求P(A) 第四章章未测试卷。 16.(15分)某电台举办有奖知识竞答比赛， 选手答题规则相同.甲每道题自己有把握 独立答对的概率为了，若甲自己没有把 握答对，则在规定时间内连线亲友团寻 求帮助，其亲友团每道题能答对的概率 为p,假设每道题答对与否互不影响， (1)当p=5时： ①若甲答对了某道题，求该题是甲 自己答对的概率； ②甲答了4道题，计甲答对题目的 个数为随机变量X,求随机变量X 的分布列和数学期望E(X) (2)乙答对每道题的概率为号（含亲友 团)，现甲、乙两人各答两个问题， 若甲答对题目的个数比乙答对题目 的个数多的概率不低于名，求甲的 亲友团每道题答对的概率p的最小值， (7 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 17.(15分)某环保机器制造商为响应国家 号召，对一次购买2台机器的客户推出 了两种超过机器保修期后5年内的延保 维修方案： 方案一：交纳延保金5000元，在延保 的5年内可免费维修2次，超过2次每 次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金6230元，在延保 的5年内可免费维修4次，超过4次每 次收取维修费t元 制造商为制定收费标准，收集并整理了 200台这种机器超过保修期后5年内维 修的次数，统计得到下表 维修次数 0 1 2 3 机器台数 20 40 80 60 以这200台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率，记X表示 2台机器超过保修期后5年内共需维修 的次数 (1)求X的分布列. (2)以所需延保金与维修费用之和的均 值为决策依据，为使选择方案二对 客户更合算，应把t定在什么范围？ (8 N 18.(17分)某市在司法知识宣传周活动中， 举办了一场司法知识网上答题考试，要 求本市所有机关、企事业单位工作人员 均要参加考试，试题满分为100分，考 试成绩大于等于90分的为优秀.考试结 束后，组织部门从所有参加考试的人员 中随机抽取了200人的成绩作为统计样 本，得到样本平均数为82、方差为64， 假设该市机关、企事业单位工作人员有 20万人，考试成绩服从正态分布 N(82,64) (1)估计该市此次司法考试成绩优秀者 的人数有多少万人 (2)该市组织部门为调动机关、企事业 单位工作人员学习司法知识的积极 性，制订了如下奖励方案：所有参 加考试者，均可参与网上“抽奖赢 手机流量”活动，并且成绩优秀者 可有两次抽奖机会，其余参加者抽 奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随 机产生一个两位数(10,11，…，99)， 若产生的两位数的数字相同，则可 获赠手机流量5G,否则获赠手机流 量1G.假设参加考试的所有人均参 加了抽奖活动，试估计此次抽奖活 动赠予的手机流量总共有多少 参考数据：若专~N(u,σ)，则P(u-<< u+σ)≈0.68 第四章章未测试卷。 19.(17分)随着生活质量的提升，家庭轿 车保有量逐年递增，方便之余却加剧了 交通拥堵和环保问题.绿色出行引领时 尚，共享单车进驻某市.据统计数据， 2024年该市共享单车用户年龄等级分布 如图1所示，一周内市民使用单车的频 率分布扇形图如图2所示.若将共享单车 用户按照年龄分为“年轻人”(20~39 岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者 40岁及以上)两类，将一周内使用的次 数为6次或6次以上经常使用共享单车 的称为“单车族”.使用次数为5次或不 足5次的称为“非单车族”.已知在“单 车族”巾有名是年轻人”， 9 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 共享单车用户年龄等级分布 50.0% 45.5% 40.0% 34.5% 30.0% 20.0% 14.1% 10.0% 4.7% 1.2% 0 19岁 30 40 50 及以下29岁39岁49岁 59岁 图1 共亭单车使用频率分布 8,9次 19.2% 超过9次 6,7次 10.7% 30.1% 不超过3次 8.2% 4,5次 21.8% 图2 第19题图 (1)现对该市市民进行“经常使用共享 单车与年龄关系”的调查，采用随 机抽样的方法，抽取一个容量为 400的样本，请根据图表中的数据， 补全下列2×2列联表，并判断是否 有95%的把握认为经常使用共享单 车与年龄有关 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 单车族 非单车族 合计 (2)若将(1)中的频率视为概率，从该 市市民中随机任取3人，设其中既 是“单车族”又是“非年轻人”的 人数为随机变量X,求X的分布列 10 与期望。 参考数据：独立性检验界值表 PX≥ko) 0.15 0.10 0.050.0250.01 ko 2.0722.7063.8415.0246.635 其中，n=a+b+c+d, n(ad-bc)2 (ab)c+4eb+d（注：保图三 位小数)高中数学选择性必修第二册人教B版 山ABD【解标】”的限开式中，各项 系数和与二项式系数和之和为2"+2"=128，n=6,故二 项式系数和为2=64，各项系数和为2=2=64，故A,B 正确：展开式的通项公式为T=C(-1)3x宁，令6- 2 =0,求得r=4,故常数项为C32=135,故D正确，故选 ABD. 12.36【解析】将4位交警分成3组，有C=6种不 同的方法，将3组交警分配到3个不同的路口，有A= 6种不同的方法，∴.共有6×6=36种不同的安排方法.故 答案为36. 13.81【解析】依题意，得2-16，即n=4,在(1+2x) 中，令x=1可得各项系数和为3=81.故答案为81. 14.28【解析】(x2-1)8的第(r+1)项为T,+1= C8(x2)8-r(-1)y(0≤r≤8且r∈N*), x5不存在，.s=0..x的系数为Cg(-1)6=28,.a4= 28,.a4+as=28.故答案为28. 15.解：(1)根据题意，分两步进行分析： ①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况： ②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百 位、十位，有A=12种情况. 则有2×12=24个三位偶数 (2)根据题意，分两步进行分析： ①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2,3， 4,5,有4种情况； ②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百 位、十位、个位，有A=24种情况 则有4×24=96个符合题意的四位数， (3)根据题意，分两步进行分析： ①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有AC2=12 种情况： ②将这个整体与其他2个数字全排列，有A=6种情 况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种. 则有6-2=4种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字 之间的情况 故有12x4=48个符合题意的五位数. 16.解：(1)A=24种. (2)先从四个球中选出一个与盒子号码相同有C种 方法，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中有两 (100 种方法，有C×2=8种 (3)先从四个盒子中选出一个空盒子有C4种方法， 再把球分成2,1,1三组放入三个盒子中有CA种， 有C.CC.A=144种 2 17.解：(1)依题意，得C8+C+C:=1+n+n(n-l) 22,即n2+n-42=0,得n=6或n=-7.n∈N,n=6. ·展开式中二项式系数最大的项为第4项，即T= civ (2)展开式的通项公式为T=C2x(-0,1,…, 6),依题3子reZ,且re0,1,2,“,6,解得-0 或=4，.展开式中的有理项为x3和240. 18.解：(1)二项展开式的通项公式T+=C(2x)= C2x,令k=2,则2=C22=60. (2)令x=0,得a=1,再令x=1,得 ao+a1+a2+3+…+a6=729 ∴.41+2+a3+…+a6=729-1=728 (3)令x=l,得a+a++a+…+a。=729,① 再令x=-1,得a0-a+u2-a+…+a6=1.(② 由①+②，得atta+…+,=-365. 2 19.解：(1)选①，只有第4项的二项式系数最 大，则展开式中有7项，n=6. 选②，第2项与第6项的二项式系数相等，C=C, ..n=1+5=6. 选③，所有二项式系数的和为64,2-64，n=6. T41=C6(-2x)r=(-2)Cax,r=3,T=(-2)Cx=-160x3 (2)令x=l,得ao+a+at…+a。=(-1)=1, 令x=-1,得-41+a2-…+a6=36=729, 相减，得2(a+a+s)=-728,∴.a+a+as=-364. ·"第四章章末测试卷 1.A【解析】设事件A为“合格品”，事件B 为“一级品”，则P(A)=90%,P(BA)=20%,P(B)= P(AB)=P(A)P(BA)=90%×20%=18%,故选A. 2.A【解析】由题得最多1人被感染的概率为C号+ C(5(号25656=识.故选A 625625 3.D【解析】随机变量X~W(3,1),则u=3,σ= 1,而P(X<2)=0.1587,即P(X-σ)=0.1587，于是有 P(2≤X≤4)=P(u-o≤X≤u+)=2P(-σ≤x≤)=2[P(X≤ u)-PX-o)1-2}0.1587-0.6826.故选D. 4.D【解析】由题意，可知正态分布的u=0.9372, =0.0139.甲：0.9<，P(X≤0.9)<P(X≤u)=0.5,故 A正确：乙：.u-0.4|<1.5-l,0.4<<1.5,∴.P(X<0.4)> P(X>1.5),故B正确；丙：P(X>0.9789)=P(X+3o), 且Pu-3o<X≤+3a)0.9973,PX09789)=1-0.973 2 0.00135,故C正确：丁：一只口罩过滤率小于等于 u+2g的概率为0.9545+1-0,9545=0.9725，又：PX≥ 2 1)=1-P(X=0)=1-0.977250≈0.6836，故D错误.故选D. 5,B【解析】由条件概率公式，得P(BA)=P4B) P(A) 3 =0=.故选B. 321 6.C【解析】由分布列的概率的和为1，可得缺失 数据为1号石子随机变量X的期望为B(X)=1x 号+2x石+3x3吕故选C 6 2-61 7.B【解折】X-B6,号).故可得DX)-6x号× 号音，故D2x+1-4DX)9故选B 3 8.D【解析】由题意，可得u=90,σ=8，则质量在 (82,98)内的概率P(u-σ<X<+σ)≈0.6827，质量在 (74,106)内的概率P(-2σ<X<+2σ)≈0.9545，∴.质 量在(82,106)内的概率P(u-σ<X+2o)=P(u-2o<X< u+2o)-7[Pu-2g<Xu+2o)-Pu-0<X+o)]≈0.9545- 号×09545-06827)-08186，质量在区间(82,106) 内的产品估计有0.8186×10000=8186件，故选D. 9.ACD【解析】q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,∴.9=0.1，A 符合题意；又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2= 2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2× 0.2+(4-2)2×0.2=1.8,C符合题意；.Y=2X+1,.∴E(Y)= 2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,D符合题意.故选ACD. 10.BD【解析】设取球次数为专，可知随机变量专 参考答案。 的可能取值有1,2,3，则P=1)=,PG-2)=号×子 =司，P=3)=号×40抽取2次后停止取球的概率 为P=2)=品故A错误：停止取球时，取出的白球个 数不少于黑球的概率为PG=1G=2)-号+品 故B正确：取球次数专的期塑为B)=1x号+2x品+3x0 =子，故C错误：取球次数专的方差为D(E)=1-号x 专+2-2品3-2始品故D正确故选BD 11.ABC【解析】由图象可知甲图象关于直线x=0.4 对称，乙图象关于直线x=0.8对称，：=0.4,2=0.8， 山，A符合题意，C符合题意；甲图象比乙图象更 “高瘦”，.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于 平均值左右，B符合题意： 乙图象的最大值为1.99，即，1一=1.9，≠ V2T·w2 1.99,D不符合题意.故选ABC 12.了【解析】：随机变量5-N(4,9),正态曲 线关于x==4对称，又P(5<3a+2)=P(>2a-1),∴.3a+2+ 2a-1-2x4,解得c子 1B.0【解标】PX=1)2,PX2)=g,PX=3) =贸，由离散型随机变量的分布列的性质，知PX=+ PX=24P0X=31,即+g+7-1,解得m=超 3927 14【解析】E传)-0x号+1x+2x1=32. 2 21 )=号0-32+-3122-32 42-(2p-1门≤行，当且仅当p=)时取等号，因此D) 的极大值是) 15.解：(1)由题意，知随机变量X的所有可能取 值为0,1,2,3，PX=0)=方×3×兮8，PX=1)归 101 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 .随机变量X的分布列如下表 X 0 1 3 18 18 9 (2)设甲队得分为Y,则YB3,子， P-2-cxx号4， Pa)-P0X=I0PY-2=×号-89 16.解：(1)①记事件A为“甲答对了某道题” 事件B为“甲确实会做”， 周A)=+分×分号，PMB子= P(A) 2-5 =36 ②随机变量X可取0,1,2,3,4，甲答对某道题 的概率为P4)宁+×兮号 则X-B4,子)，则P(X=k)=C(子产号)(h= 0,1,2,3,4), 则随机变量X的分布列如下表， X 0 1 3 4 P 16 96 216 216 81 625 625 625 625 625 则E00-4号-号 (2)记事件A:为“甲答对了i道题”，事件B:为 “乙答对了i道题”， 其中甲答对某道题的概率为宁+宁P=了(1p),答 错某道题的概率为1-号(1p)归(1-p)。 则a,)c号p)21p)21-p. (102 P4,-[21p)-1p, .甲答对题数比乙多的概率为 P(A BoUA.BUABo)=P(A Bo)+P(A2B)+P(A2Bo)= 分1g+1p号+好1p户-g石3p+ 104+7≥8 解得子≤印<1，即甲的亲友团助力的概率p的最小 值为子 17.解：(1)由题意，得X=0,1,2,3,4,5,6, PK=0)=0x010,PK=I=b×兮x2=5PX=2 12 品r4x对2号x号-3-5=高x号2 A60品n 6 ·X的分布列如下表 0 2 3 5 1 11 100 25 25 50 25 25 100 (2)选择方案一：所需费用为Y1元，则当X≤2时， Y=5000.当X=3时，Y=6000:当X=4时，Y1=7000: 当X=5时，Y=8000;当X=6时，Y=9000. Y的分布列如下表 Y 5000 6000700080009000 17 1 6 9 100 50 BX)500x0+60ns5-70x3+800xg+ 00-6860. 9000x 9 选择方案二：所需费用为Y2元，则X≤4时，Y 6230:当X=5时，Y2=6230+t:当X=6时，Y2=6230+ 2t,则Y2的分布列如下表。 6230 6230+t 6230+2 67 9 100 25 100 B(Y,)=6230x67+(6230+)×6 -+(6230+21)× 100 5 80-6230+ 50 要使选择方案二对客户更合算，则E(Y2)<E(Y), :6230+2出<6860，解得K1500,即t的取值范围 50 为[0,1500). 18.解：(1)由题意，随机抽取了200人的成绩作 为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64， 即u=82,σ=8， .考试成绩优秀者得分专≥90，即≥u+σ 又由P(u-σ<ξ<+σ)≈0.68，得 P5≥4o)=21-063)-016 .·.估计该市此次司法考试成绩优秀者人数可达 20×0.16=3.2万人. (2)设每位抽奖者获赠的手机流量为xG,则x的 值为1,2,5,6,10. 101000,P(X=2)=0.16x 可得P(X=1)=(1-0.16)×9=756 (品产00.PX=5=1-016x00PX 84 6=016x号 12= 080,PX=10-016x0 288 16 10000 随机变量X的分布列如下表 1 5 10 756 1296 84 288 16 1000 10000 1000 10000 10000 E00=k766+2x100+5x78006x7680 288 10x7106w=1624G 因此，估计此次抽奖活动赠予的手机流量总值为 参考答案。 20x1.624=32.48万G. 19.解：(1)补全的列联表如下： 年轻人 非年轻人 合计 单车族 200 40 240 非单车族 120 40 160 合计 320 80 400 X-400x200x40=120x402≈4.167>3.841. 240x160x320x80 即有95%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄 有关 (2)由(1)的列联表，可知既是“单车族”又是 丰年轻人”占样本总数的频率为品×0-10%， 即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻 人”的概率为0.1，随机变量X可取0,1,2,3， P(X=0)=C9(1-0.1)3=0.729,P(X=1)=C0.1'(1-0.1)2= 0.243,P(X=2)=C0.12(1-0.1)=0.027,P(X=3)=C· 0.13=0.001,则X-B(3,0.1) X的分布列如下表. 0 0.729 0.243 0.0270.001 X的数学期望E(X)=3x0.1=0.3. >"综合测试卷（一） 1.B【解析】由分布列的性质，可得4+2q-1+W=l, 解得q=乃放选B. 2.B【解析】随机变量X,Y满足Y=2X+b, ∴E(Y)=2E(X)+b=4+b,E(X)=2.D(Y)=4D(X)=32, D(X)=8.故选B. 3.D【解析】由表中数据，可得x=344+5+6+7=5,了 43+45+6-+75,将点5，+5代人-085x 5 5 (103