高中数学单元测试——第四章概率与统计（较易版01）

**基本信息** 聚焦概率与统计单元核心知识，以智能机器人利润、环保绿化等现实情境为载体，通过基础概念与综合应用的梯度设计，适配单元复习检测，培养数学眼光与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、回归方程、超几何分布|结合奥运会旅客人数等情境，考查基础概念应用| |多选题|3/18|独立性检验、随机变量分布列|养老院疾病数据关联分析，强化逻辑推理| |填空题|3/15|正态分布、条件概率|盒子取球模型，体现数学思维严谨性| |解答题|5/77|分布列与期望、回归分析、独立性检验|环保绿化与PM2.5浓度研究等综合题，突出数学语言表达现实问题能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质可求. 【详解】因为服从两点分布，故， 故选：A. 2．（本题5分）根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】利用经验在归方程经过点,即可求出结果. 【详解】将代入方程，解得. 故选：B. 3．（本题5分）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出，，即可得到等于的概率 【详解】解：由题意可得 ∵，，， ∴， ，. 故选：B. 4．（本题5分）某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（    ） 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 m A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】计算出，根据回归方程，得到，从而得到方程，求出，再计算出当时，，求出残差. 【详解】由题意，，关于的回归直线方程为， 所以，故，解得， 所以当时，，则． 故选：A 5．（本题5分）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性及原则直接求解即可. 【详解】，，， ， ， . 故选：A. 6．（本题5分）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”， 则由贝叶斯公式得， 故选：A 7．（本题5分）已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 【答案】D 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求的值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的概率公式以及概率的性质结合条件概率公式的变形，分别判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，, 而不一定相等，故不一定成立，故A错误； 对于B，因为概率的取值范围为， 所以任何事件的概率都不可能大于1，故错误，B错误； 对于C，由于，故，C正确； 对于D，, 而不一定等于，故D错误， 故选：ABD 10．（本题6分）某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示： 性别 是否患过某流行疾病 合计 患过该疾病 未患过该疾病 男 b 女 c 合计 80 110 下列说法正确的有（    ） 参考公式：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A． B． C．根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联 D．根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联 【答案】ABC 【分析】利用表格中提供数据可判断A正确，代入计算可判断B正确，结合附表参考数据可得C正确，D错误. 【详解】根据列联表中的数据可求得； 对于A，代入计算可得，正确； 对于B，经计算可得，可得B正确； 对于CD，结合附表数值以及独立性检验的实际意义，可认为根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，即C正确，D错误； 故选：ABC 11．（本题6分）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（   ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，结合期望、方差的定义及性质求解. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量满足，若，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式及方差性质计算即得. 【详解】由，得，由，得， 所以. 故答案为：8 13．（本题5分）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则___________． 【答案】1 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】连续型随机变量服从正态分布，其正态曲线关于直线对称， 则有， 所以. 故答案为：1 14．（本题5分）一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则________． 【答案】 【分析】列出的可能取值，根据全概率公式求解对应概率后计算可得. 【详解】设“第1次取出的球为红球”为事件，则，，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）利用独立重复试验的概率计算公式即可求解. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率计算公式，列出分布列，由分布列即可求出期望. 【详解】（1）设“乙在前3次投篮中，恰好投进2个球”为事件， 则. 答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为. （2）的所有可能取值为0，1，2，3. 设前3轮投篮中，甲进球个数为，乙进球个数为， 则，的取值均为0，1，2，3， ， ， ， . 所以， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 16．（本题15分）现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为． (1)求； (2)求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ；期望为 【分析】（1）利用古典概型计算可得结果； （2）写出所有可能的取值，并分别求得对应概率，列出分布列，按照期望公式计算即可. 【详解】（1）根据题意可得，， 所以． （2）由题意知所有可能的取值为． ． 由（1）得，所以的分布列为 0 1 2 3 ． 17．（本题15分）某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【答案】(1)0.86 (2) 【分析】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，根据全概率公式求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可． 【详解】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件， 由题可知，， 则． （2）． 18．（本题17分）某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据公式求出可得答案； （2）根据已知求出线性回归方程，由解不等式可得答案 【详解】（1）因， 故 . 即绿化覆盖率与浓度的样本相关系数约为； （2）因为， 所以，故， 依题意由，可得， 即使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)认为使用者的满意度与区域无关 (2) 0 1 2 3 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．（本题5分）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（    ） 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 m A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 5．（本题5分）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 6．（本题5分）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示： 性别 是否患过某流行疾病 合计 患过该疾病 未患过该疾病 男 b 女 c 合计 80 110 下列说法正确的有（    ） 参考公式：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A． B． C．根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联 D．根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联 11．（本题6分）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（   ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量满足，若，则__________. 13．（本题5分）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则___________． 14．（本题5分）一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则________． 四、解答题 15．（本题13分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 0 1 2 3 16．（本题15分）现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为． (1)求； (2)求的分布列与数学期望． 17．（本题15分）某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 18．（本题17分）某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $