高中数学单元测试——第四章概率与统计（较易版02）

**基本信息** 高中数学第四章概率与统计单元复习卷（较易版），通过多样题型与真实情境考查核心知识，适配单元基础巩固与素养提升，助力学生形成数据意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、回归直线过样本中心、超几何分布|基础概念辨析，如第2题结合线性回归考查样本中心点| |多选题|3/18|概率性质、独立性检验、分布列|第10题通过列联表分析学科喜爱与性别关联，培养推理能力| |填空题|3/15|二项分布期望、正态分布、独立事件期望|第14题结合3个十字路口红灯概率，考查离散型随机变量期望| |解答题|5/77|独立重复试验、分层抽样、回归方程、条件概率|第18题以树高与胸径关系为情境，通过散点图与相关系数考查回归分析，体现数学建模与数据应用|

高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据两点分布性质计算即可. 【详解】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C 2．（本题5分）已知变量x与y的5组观测值如下表：且y对x呈线性相关关系，则y关于x的回归直线必过的定点为（   ） x 1 2 3 4 5 y 4 8 12 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的数表，求出样本中心点即可. 【详解】由表格知，，， 所以y关于x的回归直线必过的定点. 故选：B 3．（本题5分）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率算式表示的意义判断即可. 【详解】因为表示从20件产品中任意选取4件的选法， 表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品的选法 表示选取的4件产品全是次品的选法. 所以 故选:D. 4．（本题5分）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 【答案】A 【分析】先求出新增数据后的样本中心点，从而得到修正后的回归直线，得到的估计值为即可求出残差. 【详解】因，则，则， 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：， 则的估计值为，则数据的残差为. 故选：A 5．（本题5分）设随机变量，若，则（   ） ［附：若随机变量，则，，］ A．0.15865 B．0.3173 C．0.02275 D．0.0027 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为随机变量 ，又因为 ， 则 ，解得 ， 所以 ， 故选：A. 6．（本题5分）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 7．（本题5分）已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（ ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】C 【分析】由题意把，代入线性回归方程，结合对数函数的性质可得. 【详解】已知，把，代入可得： ，即． 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即有最大值为． 故选：C. 8．（本题5分）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，确定，即可表示出，列不等式组求最大时k的值，即可得答案. 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5， 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的概率公式以及概率的性质结合条件概率公式的变形，分别判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，, 而不一定相等，故不一定成立，故A错误； 对于B，因为概率的取值范围为， 所以任何事件的概率都不可能大于1，故错误，B错误； 对于C，由于，故，C正确； 对于D，, 而不一定等于，故D错误， 故选：ABD 10．（本题6分）为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（    ） 性别 物理学科 喜爱 不喜爱 男 60 40 女 20 80 A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B．女生中喜爱物理学科的频率为 C．依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 参考公式：，其中. 附表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】AC 【分析】根据列联表，结合古典概型的概率公式，即可判断A，B；计算的值，根据独立性检验的基本思想，即可判断C，D. 【详解】对于A，喜爱物理学科的学生共有（名）， 故喜爱物理学科的学生中，男生的频率为，A正确； 对于B，女生共有100名，喜爱物理的女生有20名， 故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误； 对于C，D，， 故依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关， 即在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误， 故选：AC 11．（本题6分）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量，则______. 【答案】10 【分析】利用二项分布的方差公式求出，然后再利用其性质可求出. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以， 故答案为：10 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 【答案】3 【分析】根据态分布的性质分析求解. 【详解】因为，所以． 又因为，则，所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X 的数学期望为 ______________. 【答案】 【分析】先确定随机变量的取值，再计算概率，从而就可以列出分布列，最后运用数学期望的公式求期望. 【详解】随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，则： ， ， ， . 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）利用独立重复试验的概率计算公式即可求解. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率计算公式，列出分布列，由分布列即可求出期望. 【详解】（1）设“乙在前3次投篮中，恰好投进2个球”为事件， 则. 答：乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率为. （2）的所有可能取值为0，1，2，3. 设前3轮投篮中，甲进球个数为，乙进球个数为， 则，的取值均为0，1，2，3， ， ， ， . 所以， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 16．（本题15分）某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1.3 【分析】（1）“至少中奖1次”的对立事件为“没有一次中奖”，根据对立事件的概率关系求解； （2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解. 【详解】（1）设事件为“至少中奖1次”，则事件为“没有一次中奖”. 则. （2）由题可得的取值为， ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 17．（本题15分）某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【答案】(1)0.86 (2) 【分析】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，根据全概率公式求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可． 【详解】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件， 由题可知，， 则． （2）． 18．（本题17分）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图. 经计算得，，，，. (1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度； (2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到），并预测胸径为cm的树高. 附：相关系数，回归方程中，，. 【答案】(1)两个变量线性相关；相关性较强. (2)；m. 【分析】（1）根据树高与胸径的散点图判断它们是否线性相关，再通过相关系数判断它们相关的程度； （2）根据最小二乘法估计计算经验回归方程的系数，得到经验回归方程，再用经验回归方程做出预测. 【详解】（1）根据树高与树的胸径的散点图，可判断两个变量是线性相关. 根据题中所给数据，得，，. 所以. 由于的值接近于1，故相关性较强. 故两个变量线性相关，且相关程度较强. （2）由（1）知，，. 所以，. 所以经验回归方程为. 当时，，即树高的预测值大约为m. 故树高关于胸径的经验回归方程为，预测胸径为cm的树高为m. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)认为使用者的满意度与区域无关 (2) 0 1 2 3 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 概率与统计（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 2．（本题5分）已知变量x与y的5组观测值如下表：且y对x呈线性相关关系，则y关于x的回归直线必过的定点为（   ） x 1 2 3 4 5 y 4 8 12 A． B． C． D． 3．（本题5分）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（     ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 5．（本题5分）设随机变量，若，则（   ） ［附：若随机变量，则，，］ A．0.15865 B．0.3173 C．0.02275 D．0.0027 6．（本题5分）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（ ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 8．（本题5分）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（    ） 性别 物理学科 喜爱 不喜爱 男 60 40 女 20 80 A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B．女生中喜爱物理学科的频率为 C．依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 参考公式：，其中. 附表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 11．（本题6分）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知随机变量，则______. 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 14．（本题5分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X 的数学期望为 ______________. 四、解答题 15．（本题13分）甲､乙二人进行定点投篮比赛，已知甲､乙二人每次投进的概率均为，两人各投1次称为一轮投篮. (1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率； (2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量，求的分布列与期望. 0 1 2 3 16．（本题15分）某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 17．（本题15分）某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 18．（本题17分）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图. 经计算得，，，，. (1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度； (2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到），并预测胸径为cm的树高. 附：相关系数，回归方程中，，. 19．（本题17分）某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； (2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $