4.1.3 独立性与条件概率的关系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册练习手册（人教B版）

4.1.3独立性与 效果评价 1.已知P(A)>0,P(BA)+P(B)=1,则 事件A与事件B() A.互斥 B.对立 C.独立 D.以上均不正确 2.已知事件A与事件B相互独立， P(B)=5,则P(BM)=（） A B.3 4 D 3.若甲、乙、丙三人在10分钟之内独 立复原魔方的概率分别为0.7,0.6,0.5，则 甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内独立 复原魔方的概率为() A.0.26 B.0.29 C.0.32 D.0.35 4.投壶是从先秦延续至清末的中国传统 礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛 行.现有甲、乙两人进行投壶游戏，且甲、 乙每次投壶投中的概率分别为了，了，每 人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次， 乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获 胜的概率为() A子 B.5 7 c D.10 7 5.已知甲、乙、丙三人去参加某公司面 第四章概率与统计。 条件概率的关系 试，他们被该公司录取的概率分别是 6 4,},且三人的录取结果相互之间没有 影响，则他们三人中至少有一人被录取的概 率为() A方 B C.5 ·12 心3 6.如图所示，荷花池中有 一只青蛙在成品字形的三片荷B C 叶上跳来跳去（每次跳跃时， 第6题图 均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且按逆 时针方向跳的概率是按顺时针方向跳的概率 的两倍.假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三 次之后青蛙落在A荷叶上的概率是() A B日 C.4 9 D. 7.在某电路上有M,N两个独立工作的 元件，每次通电后，需要更换M元件的概 率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则 在某次通电后M,N有且只有一个需要更换 的条件下，M需要更换的概率是() A号 B.15 19 C.3 D号 8.(多选题)将甲、乙、丙、丁4名医 生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动， 每个村庄至少派1名医生，记事件A为“医 练(33 高中数学选择性必修第二册人教B版 生甲派往①村庄”，事件B为“医生乙派往 ①村庄”，事件C为“医生乙派往②村庄”， 则() A.事件A与B独立 B.事件A与C不独立 CPM-克 D.P(CU) 9.(多选题)已知A,B分别为随机事 件A,B的对立事件，满足0<P(A)<1,0< P(B)<1,则下列叙述可以说明事件A,B相 互独立的是（) A.P(B)=P(BIA) B.P(BIA)=P(BIA C.P(A)+P(B)=P(AUB) D.P(AB)+P(A B)=P(BIA) 10.设事件A和B相互独立，且A和B 都不发生的概率为)，A发生B不发生的概 率和B发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)= ,在事件B发生 的条件下，事件A发生的概率P(AIB)= 11.口袋中有9个白球，其中6个正品 和3个次品，6个黑球，其中4个正品和2 个次品.现从口袋中随机取出1个球，记事 件A为“取出的球为白球”，事件B为“取 出的球为正品”，则下列说法正确的有 ·(填序号)》 ①PAB)=号；②PBM)=号；8PAIB) =子：④事件A与事件B相互独立。 (34练 N 12.排球比赛的规则是5局3胜制，在 某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的 概率均为子，若前2局结束后乙队以2：0领 先，则最后乙队获胜的概率是 13.某校举行消防知识竞赛.在初赛中， 已知甲同学晋级的概率为号，乙同学晋级的 概率为？，甲、乙两人是否晋级互不影响， (1)求甲、乙两人同时晋级的概率。 (2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的 概率. 14.在OA与B相互独立：②PB)=, P(BM)=号；③P(BA)=,PA)-2P(B) 这三个条件中任选一个，补充在下列问题 中，并求解问题：已知P(AB)=石 ,求P(A). 第四章概率与统计。 提升练习 15.有5张完全相同的卡片，分别写有 字母A,B,C,D,E,从中任取一张，看 后再放回，再任取一张.设M1为“第一次抽 取的卡片的字母为B”,M2为“第二次抽取 的卡片的字母为E”,M3为“两次抽取卡片 的字母相邻”，M4为“两次抽取卡片的字母 不相邻”，则() A.M2与M4相互独立 B.M1与M3相互独立 C.M3与M4相互独立 D.M1与M2相互独立 16.有A,B两个盒子，其中A盒装有 3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和 2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从 A盒、乙从B盒各随机取出1个球，若2个 球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放 入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取 出的2个球全部放人B盒中，按上述方法重 复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率 是 练(35高中数学选择性必修第二册人教B版 B2,B,分别表示取到的产品由甲厂、乙厂、丙厂生产 由已知，得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5, P(AIB)=0.95,P(A1B2)=0.9,P(AIB3)=0.8. (1)由全概率公式，得 P(4)=∑P(B,)P(4IB,)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8= =1 0.86. (2)由贝叶斯公式，得 PBM)=PB)PAIB=02x095≈0.221， P(A) 0.86 P(BM)=PB,)PAIB=0,3x09=0.314, P(A) 0.86 PBM)=PB,)PAB,=0.5x08≈0.465， P(A) 0.86 则P(BA)>P(BA)>P(B,A),故这件产品由丙厂生 产的可能性最大 提升练习 15.弓号【解析】若奖品在3号箱里，则主持人 只能打开2,4号箱，放P代B1,)=号由题得PM,-PA,= P(A)=P(A:)=子.若奖品在1号箱里，则主持人可打开 2,3,4号箱，故PB4,)=了：若奖品在2号箱里，则 主持人打开2号箱的概率为0，故P(B2A2)=0:若奖品 在3号箱里，则主持人只能打开2,4号箱，故P(B,A3) =了：若奖品在4号箱里，则主持人只能打开2,3号 箱，故PBM,=了由全概率公式，可得PB,)=∑PA,) i= P8M,)-=4×兮0++3}F号 16(D2)5【解析】设事件4为“第- 次未摸到白球”，事件B为“第二次未摸到白球”，事件 C为“第三次摸到白球”，则事件“第三次才摸到白球” 为ABC (d)由题知PA)=专，PBM)=专，PCMB)=5 则PHBC)=P心CAB)PBM)PA)=5×专×”号=品 4416 (2)由题知Pa)=专，P(BM)=了，P(CMB)=4, 则P4BC)=CAB)P(BM)PA)=×写×号5 x7x4_7 74 4.1.3独立性与条件概率的关系 效果评价 1.C【解析】P(BM)+P(B)=P(BlA)+1-P(B)=1, PBM)=PB,即PAB-PB,则PAB)=PA)PB), P(A 事件A与事件B相互独立.故选C. 2.A【解析】事件A与事件B相互独立，∴P(AB) =PA)PB),又PB=写，PBM)=A=-PB)=1- P(A） PB)=号故选A 3.D【解析】甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内 独立复原魔方的概率为0.7×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.7)× 0.6×(1-0.5)+(1-0.7)×(1-0.6)×0.5+(1-0.7)×(1-0.6)×(1- 0.5)=0.35.故选D. 4.C【解析】若甲只投中1次，则他获胜的概率为 2x×1-号×1-号了务：若甲投中2次，则他获鞋 的概率为×-+3x×1多故甲最 后获胜的概率为号多号故选C 5.D【解析】甲、乙、丙三人被该公司录取的概 率分别是6，子，号，且三人的录取结果相互之间设 有影响，“他们三人都没有被录取的概率为1-石× 1一-4×1-号)品故他们三人中至少有一人被录取 的概率为1-多3放选D 6.A【解析】由已知，可得青蛙按逆时针方向跳一 次的概率为号，按顺时针方向跳一次的概率为了，则青 蛙按迪时针方向跳三次落在A荷叶上的概率P=号×号× 号-务，青线按顺时针方向跳三次落在A萄叶上的概率 P=号×兮×兮分故青蛙跳三次之后落在A荷叶上的 版率AP务行散法入 7.A【解析】记事件A为“在某次通电后M,N有 且只有一个需要更换”，事件B为“M需要更换”，则 P(A)=0.3×(1-0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38,P(AB)=0.3×(1- 0.2)=0.24,则P(BM)=P4B=024=.故选A P(A)0.3819 8.BD【解析】由已知，得试验的样本空间有CA 36个样本点，事件A含有的样本点个数为A+CA=12, 则PA)最行，同理PB)=PC)=了，事件AB含有 的样本点个数为A-2,则PAB)6S·事件AC含有 的样本点个数为CCC5,则PAC=5对于A,PAB)= 36 PAB)=≠P(A),即事件A与B不独立，故A不正 P(B)6 确：对于B,P4把-音PA.即事件A与 C不強立，故B正确：对于C,严名，故 C不正确：对于D,Pa:智言放D正确故 选BD 9.ABD【解析】对于A,由P(B)=P(BM),得P(B) =,即8)=P4PB,,B相互淮立，故 A正确：对于B,由P(BM)=PBA,P(BA)= P(A) P(BA) 得P(BA)=PBA,又PAB+PAB=P(B, P(A) P(A)P(A) P(BA)-P(E)-P(BA) :P(BA)-P(A)P(BA)=P(A)P(B) P(A) 1-P(A) -P(A)P(BA),即P(BA)=P(A)P(B),B,A相互独立， A,B相互独立，故B正确：对于C,由P(A)+P(B) =P(A UB),P(A UB)=P(A)+P(B)-P(AB).P(AB)= 0,又0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A)P(B)≠0，故P(AB) ≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立，故C错误： 对于D,由P(AB)+P(AB)=P(BIM),得P(B)=P(BA), 又PBA=,PAB-PMPB,A,B相互 独立，故D正确.故选ABD. 10.号号【解析】由PAB)-PMB.得PAP团= P(A)P(B).设P(A)=x(0<x<1),P(B)=y(0<y<1), PiA=P(i)P(B)=), 11-x1-)=g·可得 x(1-y)=(1-x)y, 参考答案。 2 x= 3 ,A与B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A), 2 =3 P4B)-PM)-号 山.③④（解标】由题意，可得P4)=名子，PB) =8号，PAB)=g号，放①错误：PBH= P(A) 2 3=子，故②错误；P(AB)=2二之=号，故正 P(B) 确：P4)-4B)=号，事件A与事件B相互独立， 故④正确.故填③④. 2初【解析】最后乙队我胜，则在剩下的三局比 赛中乙队赢一局即可.若第三局乙队获胜，则其概率P= 1子子：若第三局乙队负，第四局乙队胜，则其概率 P=×。:若第三、第四局乙队负，第五局乙队 胜，则其率P=×子×品 ×上=9.故最后乙队获胜的概 1+3+9-16+12+9_37 率PP+P,+P=4+i6+646464 13.解：(1)设事件A为“甲晋级”，事件B为 “乙晋级”，事件C为“甲、乙两人同时晋级”， 则PC-PMB-aPB-=号x (2)设事件D为“甲、乙两人中至少有一人晋级”. 由题知事件A,B独立，则A,B也独立， PiB-piP西=3×3石，则 P(D)=1-PD)=1-PAB)=-L=5 6-6 14,解：选择①，由P(AB)=品，得P(AB)=1- PAB)=品A与B相互独立，P4)-AB)=高 选择②，P有B)=0PMB)=1-P)=品，则 -品又AA=方PB P(BM=号.P8A)=写，则=号 75 高中数学选择性必修第二册人教B版 P4)2 选择③.PB)=-品PBM-B P(A) (P(A)P()P((= A4高 提升练习 15.D【解析】由题意，可得PM,)=P(M,)=了.有放 回地抽取卡片两次包含的样本，点个数为5×5=25，两次抽 取卡片的字母相邻包含的样本点有(A,B),(B,C), (C,D),(D,E),(B,A),(C,B),(D,C), (E,D),共8个，两次抽取卡片的字母不相邻包含的样 本点有25-8=7个，则PM),PM)名显然M Γ251 与M4为对立事件，C错误；对于A,M2与M4同时发生 包含的样本点有(A,E),(B,E),(C,E),共3 个，则PMM=房≠号×是=PMPM,M与M 不相互独立，A错误；对于B,M,与M同时发生包含 的样本点有(B,C),(B,A),共2个，则P(MM)= 云产号×号-PMP0,M与M不相互独立，B错 误；对于D,M,与M2同时发生包含的样本点有(B, E,夹1个，则PMM5写×写PMP.M 与M2相互独立，D正确.故选D. 16忍【解折】若重复操作两次后，B盒中恰有7 个球，则两次取球均为乙胜.若第一次取球甲取到黑球， 乙取到白球，其概岸为宁×号-兮，第-次取球后八盘 中有2个黑球和3个白球，B盒中有4个黑球和2个白 球，第二次取到异色球的概率为号×名+号×合骨，此 5×5方：若第一次取 时B盒中恰有7个球的概率为1x8=8: 球甲取到白球，乙取到搭球，其板率为×号品第 一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒中有3 个黑球和3个白球，第二次取到异色球的概率为？×名 76 号×名方，此时B盒中拾有7个球的据率为×} B盒中恰有7个球的概率为8+377 7520300 m阶段性练习卷（三） 1.C【解析】设事件A为“下雨”，事件B为 “刮风，由怎意知P4)告PB)=后，P4B)=0 P(BM)=PAB=10=3.故选C P(A)48 15 2.C【解析】设事件A为“第一次取到新球”，事件 B为“第二次取到新球”，则n(A)=CC),n(AB)=CC;. Pra4=8-多故达c 3.B【解析】设事件A:任取的一件是合格品，事 件B:任取的一件是一等品，P(A)=1-P(A)=96%, Pr)=75%,P8=PAB)=4P8=0x流 0.72.故选B. 4.A【解析】以A,A2,A,分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光 片为次品，PA,)P4,上品PA,品PBM,归 0PB:,PB,)0 则由全概率公式，所求概率为 P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)= 5v1+3×1+2×1=0.08.故选A. 10×10+1015+10×20 5.A【解析】以A,表示“一批产品中有i件次品”， 0,1,2,3,4,B表示“通过检验”，则由题意，得 PMo)=0.1,P(BMo)=1,PA1)=0.2,P(BM1)=C= CI 0.9,P(A2)=0.4, P,-器-09，Pa-02.P)是- C100 0.727,P(A4)=0.1, NM,加器-062由全概率公式，得 P(B)=∑PA,)P(BM,)=0.1X1+0.2x0.9+0.4x0.809+ =0 0.2x0.727+0.1×0.652≈0.814.故选A.