4.1.3 独立性与条件概率的关系 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.1.3　独立性与条件概率的关系 [课时跟踪检测] 1.若P(A|B)=,P(A)=,P(B)=,则事件A与B的关系是 (　　) A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.既互斥又相互独立 解析:选C　因为P(A|B)=P(A)=,所以事件A与B相互独立. 2.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为 (　　) A.0.64 B.0.32 C.0.56 D.0.48 解析:选B　设事件A为“甲击中目标”,事件B为“乙击中目标”,“两人各射击一次,恰有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(即A ),另一种是甲未击中、乙击中(即 B),根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件A 与B是互斥的, 所以所求概率为P=P(A )+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.32. 3.[多选]已知,分别为随机事件A,B的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则 (　　) A.P(B|A)+P(|A)=1 B.P(B|A)+P(|A)=P(A) C.若A,B相互独立,则P(A|B)=P(A) D.若A,B互斥,则P(A|B)=P(B|A) 解析:选ACD　因为P(B|A)+P(|A)===1,所以A正确,B错误;由相互独立事件的定义,若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),P(A|B)==P(A),所以C正确;若A,B互斥,则P(AB)=0, P(A|B)==0,P(B|A)==0,所以D正确. 4.如图,已知电路中有5个开关,开关S5闭合的概率为,其他开关闭合的概率都是,且各开关是否闭合相互独立,则灯亮的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　法一　灯亮的对立事件为灯不亮,则得到灯不亮的条件是S1,S2至少有一个断开,且S3,S4,S5同时断开,∴灯亮的概率P=1-=. 法二　根据串联、并联,得灯亮有三种情况: ①S5闭合,则灯亮的概率P1=; ②S5断开,S1,S2均闭合,则灯亮的概率P2=××=; ③S5断开,S1,S2至少有一个断开,S3,S4至少有一个闭合,则灯亮的概率P3=××=. 综上,P(灯亮)=P1+P2+P3=++=.故选A. 5.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒,35秒,45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设事件A表示“在A处遇绿灯”,事件B表示“在B处遇绿灯”,事件C表示“在C处遇绿灯”,则有P(A)=,P(B)=,P(C)=,则这三处都不停车的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=. 6.[多选]口袋里装有2红,2白共4个形状相同的小球,对其编号红球1,2,白球3,4,从中不放回地依次取出两个球,事件A=“第一次取出的是红球”,事件B=“第二次取出的是红球”,事件C=“取出的两球同色”,事件D=“取出的两球不同色”,则下列说法正确的是 (　　) A.A与B互斥 B.C与D互为对立事件 C.A与C相互独立 D.P(D|B)= 解析:选BC　样本点有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43,共12个,事件A={12,13,14,21,23,24};事件B={12,21,31,41,32,42};事件C={12,21,34,43};事件D={13,14,23,24,31,41,32,42}.∵A∩B≠∅,∴A与B不是互斥事件,故A错误; C∪D=Ω,C∩D=∅,∴C与D互为对立事件,故B正确; ∵事件AC={12,21},∴P(A)==,P(C)==,P(AC)==,P(AC)=P(A)P(C),∴A与C相互独立,故C正确;∵事件BD={31,41,32,42},P(B)=,P(BD)==,∴P(D|B)==,故D错误. 7.(5分)国庆节放假,甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为,,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么国庆假期内至少有1人去北京旅游的概率为　　　　.  解析:因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,,所以他们不去北京旅游的概率分别为,,,所以至少有1人去北京旅游的概率为P=1-××=. 答案: 8.(5分)已知0<P(A)<1,且P(B|A)=P(B).若P()=0.6,P(B|)=0.3,则P(AB)=　　　　.  解析:因为P(B|A)=P(B),所以事件A与事件B相互独立,则P(B)=P(B|)=0.3.因为P()=0.6,所以P(A)=0.4,则P(AB)=P(A)P(B)=0.12. 答案:0.12 9.(5分)事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB )=,那么P(B)=　　　,P(B)=　　　　.  解析:∵P(AB )=P(AB)P()=P()=,∴P()=,即P(C)=. 又P(C)=P()P(C)=, ∴P()=,P(B)=. 又P(AB)=,∴P(A)=, ∴P(B)=P()P(B)=×=. 答案:　 10.(5分)设不透明的袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,有放回地随机摸球三次,每次摸一球,则第三次才摸到白球的概率为　　　　;若以同样的方式不放回摸球,则第三次才摸到白球的概率为　　　　.  解析:设事件A表示“第一次未摸到白球”,B表示“第二次未摸到白球”,C表示“第三次摸到白球”, 则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC. 有放回时:P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=, 则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=. 不放回时:P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=, 则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=. 答案:　 11(10分)清明节放假期间,甲同学去古镇游玩的概率为,乙同学去古镇游玩的概率为,丙同学去古镇游玩的概率为,且甲、乙、丙三人的行程之间互相没有影响. (1)求甲、乙、丙三人在清明节放假期间同时去古镇游玩的概率;(4分) (2)求甲、乙、丙三人在清明节放假期间仅有一人去古镇游玩的概率.(6分) 解:(1)根据相互独立事件同时发生的概率公式,得三人同时去古镇游玩的概率P1=××=. (2)甲、乙、丙三人仅有一人去古镇游玩的概率 P2=××+××+××=. 12.(15分)甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关,在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为,甲、乙都闯关成功的概率为,甲、丙都闯关成功的概率为,每人闯关成功记2分,三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率;(5分) (2)求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率;(5分) (3)若团体总分不小于4分,则小组可参加下一轮比赛,求该小组参加下一轮比赛的概率.(5分) 解:(1)设乙闯关成功的概率为P1,丙闯关成功的概率为P2,根据独立事件同时发生的概率公式得解得P1=,P2=, 即乙闯关成功的概率为,丙闯关成功的概率为. (2)团体总分为4分,即甲、乙、丙三人中恰有2人过关,而另外一人没过关, 设“团体总分为4分”为事件A, 则P(A)=××+××+××=, 即团体总分为4分的概率为. (3)团体总分不小于4分,即团体总分为4分或6分,设“团体总分不小于4分”为事件B, 由(2)可知团体总分为4分的概率为, 团体总分为6分,即3人闯关都成功的概率为××=, 所以P(B)=+=, 即该小组参加下一轮比赛的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $