4.1.3 独立性与条件概率的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦独立性与条件概率的关系，从条件概率公式切入，通过问题引导理解相互独立事件的充要条件（P(AB)=P(A)P(B)或P(A|B)=P(A)），构建“条件概率-独立性判断-乘法公式-与互斥事件对比”的知识支架。 资料通过对比表格清晰区分独立与互斥事件，结合例题、对点练及高考真题（如2021新高考Ⅰ卷题），培养学生逻辑推理与数学运算素养。课中助力教师引导学生抽象概念，课后学生可通过练习巩固，查漏补缺，提升知识应用能力。

4．1．3　独立性与条件概率的关系 知识 层面 1.结合条件概率理解相互独立事件的充要条件，会对事件的独立性进行判断．　2.掌握相互独立事件的概率的乘法公式，会求相互独立事件同时发生的概率. 素养 层面 通过对独立事件概念的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养；通过相互独立事件的概率乘法公式的应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 在条件概率P(B|A)＝中， 问题1.条件概率成立的条件是什么？ 提示：P(A)>0. 问题2.事件AB的含义是什么？ 提示：事件A与事件B同时发生． 知识点　独立性与条件概率的关系 1．独立性与条件概率的关系 当P(B)>0且P(AB)＝P(A)P(B)时，由条件概率的计算公式有P(A|B)＝＝＝P(A)，即P(A|B)＝P(A)．也就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等．也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率． 学生用书↓第45页 2．两个事件独立的条件 当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)． 3．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B) 计算 公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B) [微提醒]　1.从必修的内容中我们已经知道，A与B相互独立(简称为独立)的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)，而且A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B是否发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A是否发生的概率； 2．多个事件之间的相互独立也可借助条件概率来理解，“A1，A2，···，An相互独立”也可说成“A1，A2，···，An相互不影响”．需要强调的是，同以前一样，实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若可认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立；已知事件相互独立时，根据每个事件发生的概率可以方便地求出它们同时发生的概率． 1．(多选)下列说法正确有(　　) A．对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则P(∩)＝P()×P() C．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B) D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 答案：ABC 解析：若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以A正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故B正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故C正确；B与相互对立，不是相互独立，故D错误． 2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　) A．互斥事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．不相互独立事件 答案：C 解析：由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C． 3．甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级的概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设A表示甲晋级，B表示乙晋级，C表示两人中恰有一人晋级，则P(A)＝，P(B)＝，所以P(C)＝P(AB (_))＋P(A (_)B)＝P(A)P(B (_))＋P(A (_))P(B)＝×＋×＝. 4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 答案：0.98 解析：设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98. 5．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． 答案：0.18 解析：记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18. 学生用书↓第46页 题型一　相互独立事件的判断 例1　判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”． [思路点拨]　(1)利用独立性概念的直观解释进行判断． (2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断． (3)利用事件的独立性定义式判断． 解：(1)相互之间没有影响，是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)从9个水果中任意取出1个，取出的是苹果与把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨，这两个事件间发生与否有影响，不是相互独立事件． 判断事件是否相互独立的方法 1．定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． 2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． 3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 对点练1.(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁” (2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A． (2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A． 题型二　在事件相互独立的情形下求概率 例2　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为，甲、乙两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为，其中乙被选中的概率大于甲被选中的概率，且各自能否被选中互不影响． 学生用书↓第47页 (1)求3人同时被选中的概率； (2)求恰好有2人被选中的概率； (3)求3人中至少有1人被选中的概率． [思路点拨] 明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式，计算求值 解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝，P(A)P(B)＝，且P(B)＞P(A)， 所以P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)3人同时被选中的概率P1＝P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. (2)恰有2人被选中的概率P2＝P(A∩B∩C (_))＋P(A∩B (_)∩C)＋P(A (_)∩B∩C)＝. (3)3人中至少有1人被选中的概率P3＝1－P(A (_)∩B (_)∩C (_))＝1－××＝. 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生． 对点练2.一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率； (2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率． 解：记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球”的事件为C，“第2次取出的两个球都是白球”的事件为D，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C，D都是相互独立事件． (1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝×＝×＝. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是. (2)P(C∩D)＝P(C)P(D)＝·＝·＝. 故第1次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是. 1．一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率分别为，，，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：所求概率为××＋××＋××＝＋＋＝. 2．某机械加工零件由两道工序组成，第一道的废品率为a，第二道的废品率为b，假设这道工序是否出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为(　　) A．ab－a－b＋1 B．1－a－b C．1－ab D．1－2ab 答案：A 解析：由题意知，两工序出正品的概率分别为1－a，1－b，又这两道工序是否出废品是彼此无关的，故产品的合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1，故选A． 3．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 答案：B 解析：由题意知P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝.P(甲∩丙)＝0≠P(甲)P(丙)，故A项错误；P(甲∩丁)＝×＝＝P(甲)P(丁)，故B项正确；P(乙∩丙)＝×＝≠P(乙)P(丙)，故C项错误；P(丙∩丁)＝0≠P(丙)P(丁)，故D项错误．故选B． 4．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙是否被录取相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________；只有一人被录取的概率是________． 答案：　 解析：甲被录取的概率P1＝×＝， 乙被录取的概率P2＝×＝， 则该次考试甲、乙同时被录取的概率是 P1P2＝×＝， 只有一人被录取的概率是 P1(1－P2)＋P2(1－P1)＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $