3.2 二项式定理与杨辉三角-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不 一样，计算结果也不一样，是排列问题.故选AD. 8.AB【解析】：从A地到B地路程最短，我们可 以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出： ①要走的路程最短必须走5步，且不能重复：②向东的 走法定出后，向南的走法随之确定，“·我们只要确定出 向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，故不同走 法的种数有C=C,故选AB. 9.90【解析】根据题意，x1+x2+x+x4+x+x6=2,x∈ {-1,0,1},i=1,2,3,4,5,6,x中有2个1和4 个0，或3个1、1个-1和2个0，或4个1和2个-1， 共有C6+C6C号+C6=90个，∴.满足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的 数组(x1,x2,x3,x4,x5,x6)的个数为90. 10.54【解析】当甲、乙带不同兴趣小组时，有AA =36种，当甲、乙带同一个兴趣小组时，有A:CC=18 种，根据分类加法计数原理，可得共有36+18=54种. 11.36【解析】根据题意，4个不同的小球放入3个 分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒子，则3个 盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放 1个，有两种解法： 方法一： ①先将4个不同的小球分成3组，有C种分组方 法：②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有 A种放法.则没有空盒的放法有CA=36种. 方法二： ①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个， 将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况： ②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒 中，有A种放法..没有空盒的放法有CCA=36种. 12.54【解析】根据题意，知甲、乙都没有得到冠 军，且乙不是最后一名，分两种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或 第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A= 6种名次排列情况，此时有3×6=18种名次排列情况； ②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、第 三、第四名，有A=6种名次排列情况，剩下的三人有 A=6种名次排列情况，此时有6×6=36种名次排列情况. 综上可知，一共有36+18=54种不同的名次排列 情况. 13.解：(1)将取出的4个球分成三类：①取4个 66 n 红球，没有白球，有C种取法：②取3个红球，1个白 球，有CC种取法：③取2个红球，2个白球，有CC 种取法，故共有C4+CC+CC%=115种取法. x+y=5, (2)设取x个红球，y个白球，则2≥7：故 0≤x≤4， 0≤y≤6， x=2, x3,或 x=4, 或 y=3y=2y=1. 因此，符合题意的取法有CC+CC%+C4C6=186种. 14.解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共 有C=816种选法。 (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C=8568 种选法」 (3)分两类：甲、乙中有1人参加：甲、乙都参加. 则共有CC1.+C1s=6936种选法. (4)方法一（直接法）：至少有1名数学教师和1 名物理教师的选法可分4类： 1数学教师4物理教师；2数学教师3物理教师；3 数学教师2物理教师；4数学教师1物理教师. .共有C2C4+C2C8+C2C8+C12C8=14656种选法. 方法二（间接法）：从无限制条件的选法总数中减 去5名都是数学教师和5名都是物理教师的选法种数所 得的结果即为所求，即共有C-(C2+C:)=14656种 选法 >"3.2二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 效果评价 1.B【解析】(x-2y)o的展开式共有11项.故选B 2D【解析】(-Vx)”的展开式的通项公式为 T=C)(-V(-Cc,令多-102.解 得k=8,.展开式中含x2的项的系数为(-1)℃=45.故 选D. 3.A【解析】(1-2x)的展开式的通项公式为T+= C(-2x),展开式中含x2的项的系数为C(-2)2=2n(n-1), .2n(n-1)=40,可得n=5.故选A. 4.B【解析】(a-2b-3c)的展开式中，含abc2的项 为CdC(-2b)C(-3c)2=-216abc2.故选B. 5.B【解析】2)广的展开式中的第4项和第5 项的二项式系数相等，C=C,可得n=7,x-2)了的 展开式的置项公式为.C-2(-2yC心，令 7-2k=1,得k=3,∴.展开式中含x的项的系数为(-2)C =-280.故选B. 6.A【解析】(1+ax)(1+x)5的展开式中含x2的项为 1.Cx2+x·Cx=(10+5a)x2,展开式中含x3的项为1·Cx3+ aC号x2=(10+10a)x3,∴.10+5a+10+10a=-10,解得a=-2. 故选A. 7.D【解析】令t=x+1,得x=t-1,则原式可化为 (t-2)+2(t-1)=ao+at+a2+a+ad+ad.(t-2)4的展开式 的通项公式为T1=C+(-2)=C(-2)+,令4-k=3,得 k=1,则T=C(-2)-8(t-1)5的展开式的通项为T1= C-.(-1)'=C5(-1)-,令5-r=3,得r=2,则T= Cξ(-1)21=103.综上，a=-8+2×10=12.故选D. 8,ABC【解析】当n=6时，2x+1°的展开式中第 3项的系数6，=Cx2=240,故A正确：(2x+1°的展开 式的通项公式为IC(2x)4=C2,令6-2k= 0,得k=3,故其展开式中的常数项为Cx2=160,故B 正确：若b3=2b4,则C2·2-2=2C·2-3，.C=C,可得n= 5,故C正确；若展开式中含常数项，则n的最小值是 2,故D错误.故选ABC gAc得折】+广aeN)的展开式 的通项公式为1C()广-C÷(0s k≤n).对于A,展开式的通项公式为T=Cx答，由 16-5k∈Z,可得k=2或k=8,此时展开式中有两个有 6 理项，故A正确：对于B,展开式的通项公式为T+= C5x号由24k∈Z,可得k=0或H=6或k=12,此 6 时展开式中有三个有理项，故B错误；对于C,展开式 的通项为T=C5x,由26-5k∈Z,可得k=4或k= 6 10,此时展开式中有两个有理项，故C正确；对于D, 参考答案。 展开式的通项公式为T=C%x,由305水eZ,可 6 得k=0或k=6或k=12,此时展开式中有三个有理项，故 D错误.故选AC 060懈折】小+子广的展开式的适项公式为 Ti=C6x5- ,2=C2,当k=2时，T=C23 60,故展开式中的常数项为·60x-60 11.-6【解析】由题意，得(x2-x+m)的展开式中 的常数项与含x的项的系数相等，则m=C(-1)m3,解 得m=-6或m=0(舍去). 29【解】在1++2广中，令1，得 (1+1+a)(1+2)=243,解得a=-1.x+2广的展开式的通 项公式为T1=Cx54(2x1)=C2x5-.当5-2k=3时，k=1, 则T2=Cx2x=10x3;当5-2k=5时，k=0,则T1=Cx5=x5；当 5-2=4时，号，不合要求，合去故1-+子 的展开式中含x4的项的系数是10x1+1×(-1)=9. 提升练习 13.解：(1)(4°的展开式的通项公式为T= C(-C,令12-3k3,得k=3, .展开式中含x的项的系数为C=20. (2)令12-3r=0,得r=4,.展开式中的常数项为C =15. 14解：（)2+∫的是开式的适项公式为 Tk4=C(2x)(x方)=C2x芍.其展开式中第3项的系 数为C2-2,第4项的系数为C2-3.由C2-2=C2-3,可得 n=8. 8-4eZ, 3 (2)由题意，得0≤k≤8， 所以k可取0,3,6， k∈Z, 所以第1项、第4项与第7项为有理项，它们分别为C ×2x8=256x8,C8×2x=1792x4,C×22=112.故展开式中有 理项的系数之和为256+1792+112=2160. 67 高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角 及二项式定理的应用 效果评价 1.D【解析】n=6,其展开式中有7项，.展开 式中二项式系数最大的项为第4项.故选D, 2.C【解析】在(2-x)6=ao+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+ a6(1+x)6中，令x=0,得a+a+a2+a+a+as+a=2-64.故选C. 3A【解折】aV广a为含数)的E开 式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，∴.(a-1) 23解得，N广3V则其 展并式的道项公式为T-CGV)-Cg. -1,令15-5r=0,得r=3,.该展开式中的常数 6 项为Cx3-×(-1)3=-90.故选A. 4.D【解析】：展开式中只有第6项的二项式系数 最大，，n=10,又奇数项的二项式系数之和等于偶数项 的二项式系数之和，·.展开式中的奇数项的二项式系数 之和为2故选D 5.C【解析】令x=1,得(1+2-1)=64，解得n=6, 则原式=(1+2x-x2)6=C8(1+2x)6+C6(1+2x)5(-x2)+…+ C6(-x2),显然只有前两项的展开式中包含x3项.(2x+1)= C8(2x)+C6(2x)5+…+C(2x)°，其中含x3的项的系数为 C8×2=160;(2x+1)=Cg(2x)+C(2x)+…+C(2x)°，其 中含x的项的系数为C×2=10.故(1+2x-x2)”的展开式 中含x3的项的系数为C%×160+C6×10x(-1)=100.故选C. 6.A【解析】(x4)°的展开式的通项公式为T1= C6a≥C6·r, Cc(x是)'-Cdx,由题可知 解得 C4a≥C·a, 号≤a≤弓故选A 7.A【解析】·(1+x)的展开式的通项公式为T= Cx,∴An=Ca=Ca.Bn为(1+x)-的展开式中各二项 式系数的和，∴B=2m-.Aw≥Bn,.C1≥2-，即n(n+1) ≥2.当n=1时，1×2≥2，满足题意；当n=2时，2x3≥ 22,满足题意：当n=3时，3×4≥2，满足题意；当n=4 时，4×5≥24，满足题意：当=5时，5×6<2，不满足题 意.根据指数函数y=2和二次函数y=x2+x的图象，可知 68 当n≥5时，n(n+1)<2,故正整数n的最大值为4. 8.ACD【解析】对于A,由题知C9m+C2+…+C照 =(1+1)2=22m3,故A正确：对于B,当x=1时，有a+ a1++…+a2=-1,当x=-1时，有a0-a+-a+…+am @=32@,则+a+s+…+=-1+32 二，故B错误： 2 对于C,ao+2+a4+…+22= 3-L,故C正确；对于 2 D,(1-2x)23的展开式的通项公式为T1=Cm(-2x)'= (-2)yrC523x,则a=(-2)l.C2,a2=(-2)2.C经23，…，a2ms= (-2)2.C器，∴号+登+2++2器=-C+CmCs+ …+C-C8=(1-1)22-C82=-1,故D正确.故选ACD. 9AcD【解折】左边=1+C+C4C=1+6+8 =-84,有边=Cx8X7-84,故A正确.由图可知，第n 3×2x1 行有n+1个数字，若n是奇数，则第”生个和第"生+1 个数字最大；若n是偶数，则第？+1个数字最大.故第 2022行最大的数是第1012个数，故B错误.第6行、 第7行、第8行的第7个数分别为1,7,28，其和为 36,第9行第8个数就是36，故C正确.第34行第14 个数是C,34! 1说第34行第15个数是C40 341 341 得号放D正确故选ACD 34！ 14!×20! 10.-280【解析】由题得2=128，解得n=7,则 x-是)'的展开式的通项公式为T=C(是)' C(-2x4,令7-3=-2，解得=3，故1的系数为C(-2) -8×35=-280 11.a4o1【解析】由题知n=2023为奇数，且展开式 中的各项的系数的绝对值与各项的二项式系数相等， 展开式中二项式系数最大的项为第+1+1项与第1+1 2 2 项，la1ounl=laol,又a4om>0,a4o1<0,.系数a,a,…, a2m3中最小的是a1o1 12.弓【解析】第11行中从左至右第5个数与第6 11×10x9×8 个数分别为C“,C,而 4×3×2×1 5 C雪1x10x9x8x7=号，第 5×4x3×2x1 1山行中从左至右第5个数与第6个数的比值为号 13.解：(1)选条件①.令x=1,得展开式中的所有 项的系数之和为3”，又展开式中的二项式系数之和为 2,3:2=243:32,解得n=5. 选条件②.由题得C+C+C=16,化简，得n+n-30= 0,∴n=5. ·.展开式中的二项式系数最大的项为第3、第4项， (2+广的展开式的道项公式为-C(2)= C25-x0-3 则T3=C2-2x106=80x4,T4=C25-3x09=40x C25+≥C525-l), (2)由 C2-≥C125--, 得1≤r≤2，又r∈N =或=2，.展开式中系数最大的项为T=C2x0= 80x7,T3=C25-2x06=80x4. 14.解：(1)令x=0,可得ao=(-1)10=1 (2）令x=1,可得ao+a+2+…+a0=1,.ao=1,∴.a+ a2+…+a0=0. (3)令x=-1,可得a-a+-…+a0=(-3)0=310, 又ao+a1+2+…+a0F1, ∴.2(a++a4+a6+as+a0)=3o+l,2(a+a+s+a+a)=1- 310, 又(2x-1)0的展开式的通项公式为T,+1=C0(2x)0 (-1),.当r为奇数时，项的系数为负数， lad+++a1-3 2+2=3 提升练习 15.62【解析】根据题意，设所求的行数为n∈N, 则存在正整数k,使得C1:C:C=3:4:5,即k n-k+1 子，料-号解得=27，a62放第62行会出现满足 条件的三个相邻的数， 16.解：(1)选条件①.，第3项与第7项的二项 式系数相等，.C2=C,n=2+6=8. 令山，则2x广11，展开式中各顶系 数的和为1. 参考答案。 选条件②.：只有第5项的二项式系数最大，2 4,解得n=8. 令x=1,则2x12,1 =18=1,展开式中各项系 数的和为1. 选条件③..·所有项的二项式系数的和为256，.2= 256,解得n=8. 令1，则2x1广=11，展开武中各顶系 数的和为1. (2)二项式2：广的展开式的通项公式为T C(2x2)-(-x寸)r=(-1)y28-Cx6子 依题意，可知当=0,3,6时，二项展开式的项都 是有理项 当=0时，T=256x6；当r=3时，T4=-1792x； 当=6时，T=1122. .展开式中的有理项分别为T=256x6,T4=-1792x, T2=112x2 "阶段性练习卷（二) 1.C【解析】原式=(2+1)=3”.故选C 2.C【解折】1+)(1+x)展开式中含2的项为 C4·C302,故的系数为30故选C 3.B【解析】(Vx+Vx)2的展开式的通项公式为 Tm=C(Vx)-(Vx)y=Cx古(0≤r≤12)，6-6 (0≤r≤12)为正整数，有3项，即r=0,T=6,r=12.故 选B 4C【解析】am士广的展开式的通项公式为T C()广=(-1C当=3时，常数项为 (-1)aC8=-20,解得a=1.故选C. 5.B【解析】由题图知，下一行的数是其肩上两数 的和，.4+a=10,得a=6.故选B. 6.D【解析】由已知得bx+1=b[(x-1)+1]+1=+(x- 1)+…+a(x-1)”,a=C1.b=nb=9,a=C2.b=n(n-l)b= 2 36,∴n-1=8,n=9,b=1.故选D. 69第三章排列、组合与二项式定理 3.2二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 7.已知(x-1)4+2x5=ao+a(x+1)+a2(x+1)2+ 效果评价 a(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a=（) 1.(x-2y)0的展开式共有( A.-2 B.2 A.10项 B.11项 C.4 D.12 C.12项 D.9项 8.(多选题)记2x+士广的展开式中第 2片-V”的展开式中含的项的 、 m项的系数为bm(m,n∈N),则下列结论 系数为() 中正确的是() A.-45 B.-10 A.当n=6时，b=240 C.10 D.45 B.当n=6时，展开式中的常数项是160 3.已知(1-2x)的展开式中含x2的项的 C.若b3=2b4,则n=5 系数为40，则n为() D.若展开式中含常数项，则n的最小 A.5 B.6 值是4 C.7 D.8 9.(多选题) 在Vx+】 (n∈N*) 4.(a-2b-3c)4的展开式中含abc2的项 的系数为( 的展开式中，有理项恰有两项，则n的可能 A.208 B.-216 取值为( C.217 D.-218 A.8 B.12 若2 C.13 D.15 的展开式中的第4项和第 16 的展开式中的常数项 5项的二项式系数相等，则展开式中含x的 0+ V 项的系数为（) 为 A.280 B.-280 11.若m≠0，且(x2-x+m)6=a+ax+a2x2+ C.560 D.-560 a3+…+a2x2,则m的值为 6.若(1+ax)(1+x)的展开式中，含x2 12若1+x+2的展开式中所 的项与含x3的项的系数之和为-10，则a= 有项的系数和为243，则展开式中含x4的项 的系数是 A.-2 B.-1 C.10 D.1 练 19 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 提升练习 14在2+ 的展开式中，第3项 13.在x24°的展开式中. 的系数与第4项的系数相等 (1)求n的值. (1)求含x3的项的系数. (2)求展开式中有理项的系数之和.（用 (2)求常数项. 数字作答) （20)练 第三章排列、组合与二项式定理 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 45 效果评价 3,2 1.在(2+x)6的展开式中二项式系数最 B告，副 大的项是() A.第3项和第4项 c告引 B.第4项和第5项 D， C.第3项 7.设An为(1+x)1的展开式中含x项 D.第4项 的系数，Bn为(1+x)的展开式中各项二项 2.设(2-x)6=ao+a1(1+x)+2(1+x)2+…+ 式系数的和，则能使An≥Bn成立的正整数n a6(1+x)6,则ao+a1+2+a3+a4+a5+a6=(） 的最大值是() A.4 B.-71 A.4 C.64 D.199 B.5 3.已知aVx- 115 (a为常数)的 C.6 展开式中所有项的系数之和与二项式系数之 D.8 和相等，则该展开式中的常数项为( 8.(多选题)已知(1-2x)23=a+at+ A.-90 B.-10 a2x2+…+a222,则下列说法中正确的是 C.10 D.90 () 4.已知(1+x)”的展开式中只有第6项 A.展开式中所有项的二项式系数的和 的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的 为2203 二项式系数之和为() B.展开式中所有奇次项系数的和为 A.22 B.2 320+1 2 C.210 D.29 C.展开式中所有偶次项系数的和为 5.（1+2x-x)"的展开式中各项系数的和 32023-1 为64，则该展开式中含x3的项的系数为 ( D.2+2%+2++2器=-l A.-60 B.-30 23 C.100 D.160 9.(多选题)我国南宋数学家杨辉所著 的《详解九章算法》一书中展示了二项式系 6.已知x+a°(a>0) 的展开式中第5 数表，数字爱好者对杨辉三角做了广泛的 项的系数最大，则a的取值范围是() 研究，如图，则下列结论正确的是() 练 21 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 13.在下列两个条件中任选一个条件， 杨辉三角 第0行 1 补充在下面问题中的横线上，并完成解答. 11 121 ①展开式中的所有项的系数之和与二项 1331 4行 146 41 式系数之和的比为243：32；②展开式中的 第5行 15101051 第6行 1615201561 前三项的二项式系数之和为16. 第7行 172135352171 第8行 18285670562881 第9行 193684126126843691 第10行，1104512021025221012045101 问题：已知二项式24+， 第11行1115516533046246233016555111 (1)求展开式中的二项式系数最大的项. 第9题图 (2)求展开式中的系数最大的项 A.1+C6+Ci+C8=C8 B.第2022行中从左向右数第1011个 数最大 C.第6行、第7行、第8行的第7个数 之和等于第9行的第8个数 D.第34行中从左到右第14个数与第 15个数之比为2：3 10.在x子”的展开式中，所有项的二 项式系数之和为128，则的系数为 11.已知（1-x)223=a0+ax+a2x2+…+ 2x2,则系数ao,,…,m3中最小的 是 12.如图所示，在杨辉三角中，第11行 中从左至右第5个数与第6个数的比值为 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行14641 第5行15101051 第12题图 (22)练 第三章排列、组合与二项式定理。 14.若(2x-1)10=0+ax+2x2+…+a1ox10, 16.在下面三个条件中任选一个，补充 x∈R. 在下面的问题中，并对其求解， (1)求a的值 条件①：第3项与第7项的二项式系数 (2)求a1+2+…+ao的值 相等； (3)求laol+lal+lal+…+laol的值. 条件②：只有第5项的二项式系数最大； 条件③：所有项的二项式系数的和为 256 向题：在2”aN的展形 式中， (1)求n的值与展开式中各项系数的和. (2)这个展开式中是否存在有理项？若 存在，将其一一列出；若不存在，请说明 理由. 提升练习 15.在杨辉三角中，每一个数都是它 “肩上”两个数的和，它的开头几行如图所 示.那么，在杨辉三角中，第 行会 出现三个相邻的数，其比为3：4：5. 第0行 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行15101051 练(23