3.3 第2课时 二项式系数的性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

3.3 第2课时 二项式系数的性质 [课时检测] 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024，则n的值为 (　　) A.10 B.9 C.8 D.7 解析:选A　展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024，解得n=10. 2.在(1+x)12展开式中，系数最大的项是 (　　) A.第5，6项 B.第6，7项 C.第6项 D.第7项 解析:选D　因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=xk，k=0，1，2，…，12，所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大. 3.若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则a1+a2+a3+…+a9= (　　) A.1 B.513 C.512 D.511 解析:选D　令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512，所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511，故选D. 4.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是 (　　) 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 a 4 1 1 5 10 10 5 1 A.8 B.6 C.4 D.2 解析:选B　由题图知，除1以外，下一行的数是其肩上两数的和，所以4+a=10，解得a=6. 5.[多选]关于(5-x)6的展开式，下列判断正确的是 (　　) A.展开式共有6项 B.展开式的各二项式系数的和为64 C.展开式的第6项的系数为30 D.展开式中二项式系数最大的项是第4项 解析:选BD　展开式共有7项，故A错误;展开式的各二项式系数的和为26=64，故B正确;展开式的第6项是51(-x)5=-30x5，其系数为-30，故C错误;展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 6.设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b，则m等于 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选B　由二项式系数的性质知， 二项式(x+y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即=a， 二项式(x+y)2m+1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即==b. 因此13=7， 即13·=7·， 所以m=6. 7.[多选]对于任意实数x，有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9，则下列结论成立的是 (　　) A.a1=18 B.a2=-144 C.a1+a2+…+a9=2 D.a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=39 解析:选ABC　(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9=[-1+2(x-1)]9，则[-1+2(x-1)]9的展开式的通项为Tr+1=(-1)9-r2r(x-1)r(0≤r≤9，r∈N)，当r=1时，a1=(-1)821=18，故A正确;当r=2时，a2=(-1)9-222=-144，故B正确;当x=1时，(2-3)9=a0=-1，当x=2时，(4-3)9=a0+a1+a2+…+a9=1，所以a1+a2+…+a9=2，故C正确;当x=0时，(-3)9=a0-a1+a2-a3+…-a9=-39，故D错误. 8.[多选]我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是 (　　) A.1+++= B.第2 022行的第1 011个数最大 C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 解析:选ACD　1+++=1+6++=84，==84，故A正确;由题图可知，第n行有n个数字，如果n是奇数，则第(最中间的)个数字最大;如果n是偶数，则第和第+1个数字最大，并且这两个数字一样大，故B错误;第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1，7，28，其和为36，第9行第8个数字就是36，故C正确;依题意得，第34行第14个数字是=，第34行第15个数字是=，所以==，故D正确.故选ACD. 9.(5分)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则第4项为　　　　　.  解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，即+1=6，所以n=10，所以T4=·=120. 答案:120 10.(5分)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为　　　　.  解析:由题知，展开式通项为Tr+1=xr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r+1项系数最大，则解得即≤r≤.又r∈Z，故r=8.所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5. 答案:5 11 (5分)从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，则的展开式中的常数项为　　　　.(用数字作答)  解析:由已知，得n==6，所以二项式展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=·(-1)r·26-r·x6-2r，令6-2r=0，得r=3，所以二项式的展开式中的常数项为·(-1)3·23=-160. 答案:-160 12.(10分)已知的展开式二项式系数和为64. (1)求n的值;(2分) (2)求展开式中的常数项;(4分) (3)求展开式中二项式系数最大的项.(4分) 解:(1)由题意得2n=64，解得n=6. (2)二项式通项Tk+1=(2x)6-k =26-k，令6-=0，可得k=4. ∴展开式中的常数项为T5=26-4=60. (3)∵n是偶数，展开式共有7项，则第4项最大， ∴展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3·=160. 13.(10分)已知=a0+a1x+a2x2+…+a10x10. (1)求a0+a1+a2+…+a10;(5分) (2)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.(5分) 解:(1)∵=a0+a1x+a2x2+…+a10x10， 令x=1，得a0+a1+a2+…+a10=(12-3+2)5=0. (2)由(1)及平方差公式得 (a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10)=0. 学科网（北京）股份有限公司 $