第四章 概率与统计 章末复习课-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第四章章 要点精析 川要点1条件概率与全概率公式 1.求条件概率有两种方法：一种是基于 样本空间2，先计算P(A)和P(AB),再利用 PB1)-》求解；另一种是缩小样本空 间，即以A为样本空间计算AB的概率， 2.掌握条件概率与全概率运算，重点提 升逻辑推理和数学运算的核心素养」 例1甲、乙、丙三人同时对飞机进行 射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两 人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中， 飞机必定被击落，求飞机被击落的概率. 第四章概率与统计。 末复习课 反思感悟 条件概率的计算要注意以下几点： (1)明白是在谁的条件下，计算谁的 概率 (2)明确P(A),P(BA)以及P(AB)三 者间的关系，实现三者间的互化 (3)理解全概率公式 P(A)=∑P(B)P(AIB) 中化整为零的计算思想 B变式训练① 抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点 数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20 的概率是() A B C.1 2 D.3 川要点2n次独立重复试验及二项分布t 1.独立重复试验是相互独立事件概率的 延伸，其试验结果出现的次数X~B(n,p), 即P(X=k)=Cp(1-p) 2.学习该部分知识，重点提升数学建模 及数学运算的核心素养. 学(77 高中数学选择性必修第二册人教B版 例2在一次抗洪抢险中，准备用射击 的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油 罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使 汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击 是相互独立的，且命中的概率都是2 (1)求油罐被引爆的概率. (2)如果引爆或子弹打光则停止射击， 设射击次数为专，求专不小于4的概率. 反思感悟 与二项分布有关的问题关键是二项分 布的判定，可从以下几个方面判定： (1)每次试验中，事件发生的概率是 相同的 (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果：事件要 么发生，要么不发生 (4)随机变量是这n次独立重复试验 中某事件发生的次数， (78)学 B变式训练2 家医药研究所从中草药中提取并合成 了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试 验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 },子，现已进入药物监末试用阶段，每 个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中 2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗 病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物 治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数， 那么称该组为“甲类组”. (1)求一个试用组为“甲类组”的 概率。 (2)观察3个试用组，用7表示这3个 试用组中“甲类组”的个数，求？的分布列 和均值。 川要点3离散型随机变量的均值与方差· 1.均值和方差都是随机变量的重要的数 字特征，方差是建立在均值的基础之上，它 表明了随机变量所取的值相对于它的均值的 集中与离散程度，二者的联系密切，在现实 生产生活中的应用比较广泛 2.掌握均值和方差的计算，重点提升逻 辑推理和数据分析的核心素养。 例3某联欢晚会举行抽奖活动，举办 方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中 奖率为号，中奖可以获得2分；方案乙的中 奖率为号，中奖可以获得3分；未中奖则不 得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽 奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑 换奖品 (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择 方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求 X≤3的概率 (2)若小明、小红两人都选择方案甲或 都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种 方案抽奖，累计得分的均值较大？ 反思感悟 求离散型随机变量X的均值与方差的 步骤： (1)理解X的意义，写出X可能的全 部取值， (2)求X取每个值的概率或求出函数 P(X=k) (3)写出X的分布列. (4)由分布列和均值的定义求出E(X): (5)由方差的定义求D(X),若X~B(n, p),则可直接利用公式求，E(X)=p,D(X) =n吧(1-p). 第四章概率与统计。 P变式训练3 一 次同时投掷两枚相同的正方体骰子 (骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2， 3,3,3六个数字)· (1)设随机变量m表示一次掷得的点数 和，求η的分布列. (2)若连续投掷10次，设随机变量表 示一次掷得的点数和大于5的次数，求 E(E),D(E). 川要点4正态分布 1.正态分布是连续型随机变量X的一 种分布，其在概率和统计中占有重要地位， 尤其统计学中的3σ原则在生产生活中有广 泛的应用. 2.熟记正态分布的特征及应用3σ原则 解决实际问题是本章的两个重点，在学习中 提升直观想象、数据分析的素养。 例4在某校举行的数学竞赛中，全体 参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布 N(70,100).已知成绩在90分以上的学生 有12人 (1)试问此次参赛学生的总数约为多 少人 学 19 高中数学选择性必修第二册人教B版 (2)若成绩在80分以上为优，试问此 次竞赛成绩为优的学生约为多少人 反思感悟 正态曲线的应用及求解策略： (1)正态曲线是轴对称图形，常借助 其对称性解题， （2)正态分布的概率问题常借助[u 0,u+o],[u-2o,+2o], [M-3σ，u+ 3σ]三个区间内的概率值求解」 (3)注意正态曲线与频率分布直方图 的结合 B变式训练④ 为提高城市居民生活幸福感，某城市公 交公司大力确保公交车的准点率，减少居民 乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客 的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交 车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增 大等因素影响.在公交车准点率正常、交通 拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候 车时间随机变量X满足正态分布N(u,σ). 在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、 非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车 时间，经过统计得到如图所示的频率分布直 方图。 (80)学 4频率 0.10 组距 0.05 0.025 0 48121620候车时间/min 图Z-4-1 (1)在直方图各组中，以该组区间的中 点值代表该组的各个值，试估计u,σ2的值. (2)在统计学中，发生概率低于千分之 三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常 情况下，一次试验中，小概率事件是不能发 生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某 天，随机调查了该站的10名乘客的候车 时间，发现其中有3名乘客候车时间超过 15min,试判断该天公交车准点率是否正 常，说明理由 参考数据：V19.2≈4.38，V21.4≈4.63， /26.6≈5.16,0.84157≈0.2988,0.84156≈0.3551， 0.15853≈0.0040,0.15854≈0.0006，P(u-0≤ X≤u+o）≈0.683，P(u-2σ≤X≤u+2σ）≈0.954， P(-3σ≤X≤+3w)≈0.997. 川要点5变量的相关性 1.变量的相关关系与样本相关系数是学 习一元线性回归模型的前提和基础，前者可 借助散点图从直观上分析变量间的相关性， 后者从数量上准确刻画了两个变量的相关 程度 2.在学习该部分知识时，体会直观想象 和数学运算的素养， 例5(1)下列两个变量具有相关关 系且不是函数关系的是() A.圆的半径与面积 B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C.庄稼的产量与施肥量 D.人的身高与视力 (2)在一次试验中，测得(x,y)的四 组值分别为(1,2)，(2,0)，(4，-4)， (-1,6),则y与x的相关系数为 反思感悟 变量相关性判断的两种方法： (1)散，点图法：直观形象 (2)公式法：可用公式精确计算，需 注意特殊情形的相关系数.如，点在一条直线 上，rl=1,且当r=1时，正相关；当r=-1 时，负相关 B变式训练⑤ (1)已知变量x和y满足关系=-2x+1,变 量y与z正相关，下列结论中正确的是（) A.x与y正相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y负相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关 第四章概率与统计。 (2)如图所示，给出了样本容量均为7 的A,B两组样本数据的散点图，已知A组 样本数据的相关系数为1，B组样本数据的 相关系数为2，则() A组数 B组数 图Z-4-2 A.T=2 B.r<r2 C.r>2 D.无法判定 川要点6一元线性回归模型及其应用 。 1.该知识点是具有线性相关关系的两变 量的一种拟合应用，目的是借助函数的思想 对实际问题做出预测和分析 2.主要培养数学建模和数据分析的素养。 例6一商场对每天进店人数和商品销 售件数进行了统计对比，得到如下表格 人数：10 15 20 25 303540 件数y4 7 1215 20 2327 其中=1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天进店人数为横坐标，每天商 品销售件数为纵坐标，画出散点图。 25 20 10 5 04 510152025303540x 图Z-4-3 (2)求回归直线方程.（结果保留到小 数点后两位) 学 81 高中数学选择性必修第二册人教B版 (3)预测进店人数为80时商品销售的 件数.（结果保留整数） 参考公式：回归直线方程=bx+a, g 6= ，a=y-6x. 反思感悟 解决回归分析问题的一般步骤： (1)画散点图.根据已知数据画出散 点图 (2)判断变量的相关性并求回归直线 方程.通过观察散点图，直观感知两个变量 是否具有相关关系；在此基础上，利用最 小二乘法求回归系数，然后写出回归直线 方程. (3)实际应用.依据求得的回归直线方 程解决实际问题 (82)学 变式训练6 某地收集到的新房屋的销售价格（单 位：万元)和房屋面积（单位：m)的数据 如下表 房屋面积/m2 115 110 6 135 105 销售价格/万元24.821.618.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图 (2)求回归直线方程 (3)根据(2)的结果，估计当房屋面 积为150m2时的销售价格， 川要点7非线性回归方程 ● 1.在实际问题中，并非所有的变量关系 均满足线性关系，故要选择适当的函数模型 去拟合样本数据，再通过代数变换，把非线 性问题线性化. 2.体现数学建模的优劣，提升数据分析 的素养 例7某公司为确定下一年度投入产品 的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元) 对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位： 千元)的影响，于是对近8年的宣传费x:和 年销售量y:(i=1,2,…,8)的数据进行了 初步处理，得到如图所示的散点图及一些统 计量的值 4年销售量 620 600 580 5604 540 520 500 年宣传费x/千元 48 343638404244464850525456 图Z-4-4 x)2 )2 x)(yiy)w)(y-y) 46.65636.8 289.8 1.6 1469 108.8 8 注：表中=Vx:,W= (1)根据散点图判断，y=a+6x与y=c+ aVx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣 传费x的回归方程模型？（给出判断即可， 不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据， 建立y关于x的回归方程 (3)已知这种产品的年利润z与x,y 之间的关系为z=0.2y-x,根据（2)的结果 回答下列问题 ①当年宣传费x=49时，年销售量及年 利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的估计 值最大？ 第四章概率与统计。 反思感悟 非线性回归方程的求解策略： (1)本例中，y与x不是线性相关关 系，但通过W=Vx,，转换为w与y的线性 相关关系，从而可利用线性回归分析间接 讨论y与x的相关关系. (2)可线性化的回归分析问题，画出 已知数据的散点图，选择跟散点图拟合得 最好的函数模型进行变量代换，作出变换 后样本点的散点图，用线性回归模型拟合 B变式训练⑦ 电容器充电达到某电压值时作为时间t 的计算原点，此后电容器串联一电阻放电， 测定各时间的电压值()所得数据见下表. t/小h 0 12345678 UW100755540302015105 设U与t之间具有近似关系U≈Uem (Uo,a为常数，e≈2.71828…)，求U对t 的回归方程。 学(83 高中数学选择性必修第二册人教B版 川要点8独立性检验 1.主要考查根据样本制作2×2列联表， 由2x2列联表计算X2,查表分析并判断相关 性结论的可信程度， 2.通过计算X值，进而分析相关性结论 的可信程度，提升数学运算、数据分析素养. 例8校运会期间，为调查某高校学生 是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样 方法从该校调查了60人，结果如下， 是否愿意提供志愿者服务 性别 愿意 不愿意 男生 20 10 女生 10 20 (1)用分层随机抽样的方法在愿意提供 志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽 取多少人？ (2)能否有99%的把握认为该校高中生 是否愿意提供志愿者服务与性别有关？ 下面的临界值表供参考： a=PX≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.7063.8416.635 7.87910.828 n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)’ 其中n=a+b+c+d. (84)学 反思感悟 独立性检验问题的求解策略： 通过公式X= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 先计算X,再与临界值表作比较，最后得 出结论 B变式训练8 考察小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病的 关系，经试验观察，得到数据如下表， 种子灭菌 种子未灭菌 总计 黑穗病 26 184 210 无黑穗病 50 200 250 总计 76 384 460 试分析能否有95%的把握认为种子灭菌 与小麦发生黑穗病有关。热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 35 105 140 女 5 55 60 总计 40 160 200 变式训练1解：(1)饮食习惯与年龄的2×2列联表如 下 年龄在六 年龄在六 总计 十岁以上 十岁以下 饮食以蔬菜为主 43 21 64 饮食以肉类为主 27 33 60 总计 70 54 124 (2)由列联表，得年龄在六十岁以上且饮食以肉类 为主的人群的概率为27 124 例2视力【解析】x252x62214x10Y 52x82 16x36x32X20 16x36x32x20' X-52x4x20-16x122 52×1122 16x36×32×20 16×36×32×20 ，X,故视力 与性别有关联的可能性较大 例3解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满 意的频率为0=0,8，因此男顾客对该商场服务满意的概 50 率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的频率为 ,因此女题客对该商场服务满意的概 为0.6. (2)X=100x4020-30x102≈4,762.由于4.762> 50x50×70x30 3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的 评价有差异。 变式训练2解：由公式得X-540x(60x200-260x202 320x220×80x460 ≈9.638.9.638>6.635，.有99%的把握说40岁以上的 人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易 患胃病 参考答案。 ·■第四章章末复习课 例1解：设B=“飞机被击落”，A,=“飞机被i人击 中”，i=1,2,3,则B=AB+AB+AB. 依题意，P(BM1)=0.2,P(BA2)=0.6,P(BLA3)=1.由 全概率公式P(B)=P(A1)P(BM1)+P(A2)P(BM2)+P(A:)· P(BA3),为求P(A),设H,=“飞机被第i人击中”，= 1,2,3,可求得 P(A)=P(H H2Hs+H H2H3+H H2Hs), P(A2)=P(HHHHH+), P(A3)=P(HHH3),将数据代入计算得P(A1)=0.36, P(A2)=0.41,P(A)=0.14,于是P(B)=P(A)P(BA)+ P(A2)P(BA2)+P(A3)P(BA3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1= 0.458,即飞机被击落的概率为0.458. 变式训练1B【解析】记事件A=“红色骰子的点数为4 或6”，事件B=“两颗骰子的点数之积大于20”.P(A)= 1 是号，a8品)nM=亨令故 3 选B 例2解：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆， 没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没 有击中，故该事件的概率为PC×号×号片+号.： 所求的概率为1-1-Cx号×号+兮广门器 (2)当=4时，记事件为A,则P(A)=P(=4)=C× 子×兮×号号，当5时，意陈者前4次射击只击 中一次或一次也未击中，记为事件B,则P(B)=P(5=5)= Cx×号片-兮产)，所求概率为PAU-) 寺g7 变式训练2解：(1)设A:表示事件“一个试用组中， 服用甲种抗病毒药物有效的有i人”，i0,1,2,B,表 示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的 有行人”，=0,1,2，依题意有P(A)-2x3×3 3,PM=×=4,PA=号×号-号，PB)-2x 号×号-号，放一个试用组为“甲类组”的概率为 53 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 P=P(BA)+P(BA2)+P(BA2) 4141,414 =9×2+9×4+g×49 (2)n的可能取值为0,1,2,3，且-B3,号)， 则Pm=0)-c1-号)广8.Pn=l-cx×1-号月 9 100 243 9,故n的分布列如下表 64 0 1 2 3 125 100 80 64 729 243 243 729 7-B3, 4 ,E(n)=3x4=4 9-3 例3解：（①）由已知，得小明中奖的概率为号，小红 中奖的概率为名，两人中奖与否互不影响，记“这2人 5 的累计得分X≤3”的事件为A,则A事件的对立事件为 X=5”.pX=5)号x号告P4)l-PX5) 15 ·这两人的累计得分X≤3的概率为 15 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择 方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X),选择方案乙抽奖 累计得分的均值为E(3X),由已知，XB2,子，X B2,号，X0-x号-号，X-x号-号B2X归 2EX)-s,E3X)=3E0X,)-号.E2X)>E(3X,他们 都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大 变式训练3解：(1)由已知，随机变量η的取值为 2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为%， 则的分布列如下表. 70 1 2 3 P 1 1 6 3 2 (54 P(m=2)=6×石6P(n=3)=2x名×3=g Pm-4)=2x6x+号x分Pm5-2分x分号 Pm-61=×对号 故”的分布列如下表 2 4 5 6 1 P 1 5 11 36 g 18 3 4 (2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6,设某次发生的概率为p,由(I)知p=4 :随机变量810，，g)=明=10x号号 Dg1=p1pI0x好×子-号 例4解：(1)设参赛学生的成绩为X,X-W(70,100), 4=70,o=10,则P(X>90)=P(X<50)=1[1-P(50≤X≤ 90)]=[1-P-2g≤X≤u+2o)]=2×(1-0.954)-0023. 12÷0.023≈522（人），因此，此次参赛学生的总数约为 522人. (2)由P(X>80)=P(X<60)=2[1-P(60≤X≤80)]= 21-Pu-a≤X≤o]-7x1-0683)-01585,52x 0.1585≈83（人）.因此，此次竞赛成绩为优的学生约 为83人 变式训练4解：(1)u=0.1×2+0.2×6+0.4×10+0.2×14+ 0.1×18=10,σ2=s2=2×(82×0.1+43×0.2)+(10-10)2×0.4=19.2. (2)u+0=10+438=14.38,设“3名乘客候车时间超过 15min”的事件为A,P(X>14.38)=1-P-o≤X≤4+o)≈ 2 0.1585,P(4)=Ci×(0.1585)3×(0.8415)7≈0.143>0.003， 准点率正常. 例5(1)C(2)-1【解析】(1)对于A,圆的半 径与面积是确定的关系，是函数关系；对于B,匀速行 驶的车辆的行驶距离与时间是确定的关系，是函数关 系；对于C,庄稼的产量与施肥量在一定范围内有相关 关系，不是函数关系：对于D,人的身高与视力，不具 有相关关系，也不是函数关系.故选C (2)方法一：x=1.5,y=1, ∑x=2, ∑=-20，相关系数=日 -20-4×1.5×1 -=-1. 1V(22-4×1.52)(56-4x12) 方法二：观察四个点，发现其在一条单调递减的直 线上，故y与x的相关系数为-1. 变式训练5(1)C(2)C【解析】根据题意，变量 x和y满足关系y=-2x+1,其比例系数为-2<0，x与y 负相关：又由变量y与z正相关，则x与z负相关.故 选C (2)根据A,B两组样本数据的散点图知，A组样 本数据几乎在一条直线上，且成正相关，.相关系数为 1应最接近1，B组数据分散在一条直线附近，也成正 相关，相关系数为2，且满足r2<,即r>2,故选C. 例6解：(1)由表中数据，画出7个数据点，可得散 点图如图所示 30 20 15 5 0 510152025303540x 例6答图 (2)∑0=3245，=25，y=15.429, -5075 7x2=4375,∴.6= 31网 ≈0.778，a=y-6x≈-4.02... ∑6-72 i= 回归直线方程是=0.78x-4.02. (3)进店人数为80时，商品销售的件数为 y=0.78×80-4.02≈58件 变式训练6解：(1)设x轴表示房屋的面积，y轴表 示销售价格，数据对应的散点图如图. 参考答案。 0 25 20 。· 15 7090110130150x 变式训练6答图 (2)由(1)知y与x具有线性相关关系，可设其回 归直线方程为了=6x+a,依据题中的数据，可得出x= -1570，=1∑y=23.2, i=1 521 2x-)0-)=308,6三 2a-r） 308 oe 1570 0.1962,a=y-6x≈23.2-0.1962×109=1.8142.故所求回 归直线方程为=0.1962x+1.8142. (3)由(2)知当x=150时，销售价格的估计值为 =0.1962×150+1.8142=31.2442万元.故当房屋面积为 150m2时，估计销售价格是31.2442万元. 例7解：(1)由散点图可以判断，=c+dVx适宜作 为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型。 (2)令w=Vx,先建立y关于w的回归直线方程 南于i.2a 8 ￡ew -108,8=68,c=y-a0=563-68× 1.6 6.8=100.6,y关于w的回归直线方程为y=100.6+68w, 因此y关于x的回归方程为y=100.6+68Vx。 (3)①由(2)知当x=49时，年销售量y的估计值 =100.6+68V49=576.6,年利润z的估计值=576.6×0.2 49=66.32. ②根据(2)的结果，知年利润z的估计值=0.2× (100.6+68/x)-x=-x+13.6Vx+20.12,.当1Vx= 13.6=-6.8,即x=46.24时，取得最大值. 2 故当年宣传费为46.24千元时，年利润的估计值 55 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 最大 变式训练7解：对U≈Ue两边取自然对数，得 lnU≈lnUo-at.令x=lnU,a=lnUo,6=-a,则≈a+6t. 将V的各观测数据代入=lnU,求得结果如下表。 0 2 3 6 7 8 z4.6054.3174.0073.6893.4012.9962.7082.3031.609· 6≈-0.3553，a≈4.714，.2=4.714-0.3553t,即 1nU=4.714-0.3553t,.U=e4714-0353 (56 故所求回归方程为U=e4714035 例8解：(1)由题意，男生抽取6x,20。=4人. 20+10 (2)由表格数据，可得X=60x20x20-10x102 30x30x30x30 6.667>6.635,故有99%的把握认为该校高中生是否愿意 提供志愿者服务与性别有关」 变式训练8解：由列联表的数据可求 X=460x26200-184502≈4.804>3.841，有959%的把 76x384x210x250 握认为种子灭菌与小麦发生黑穗病有关系。