河南周口市第三高级中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高二年级开学数学试卷，以概率、立体几何、复数等知识为载体，融入《海岛算经》文化情境与统计实际应用，通过分层设问培养数学抽象、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|概率、解三角形、复数、空间距离|第8题引用《海岛算经》测量问题，渗透数学文化传承| |多选题|3/18|向量运算、正方体截面、三角形性质|第10题探究正方体截面形状，发展空间观念| |填空题|3/15|向量垂直、空间向量基底|第14题以四面体为背景，考查向量分解能力| |解答题|5/77|空间向量化简、概率统计、立体几何证明与夹角|第19题频率分布直方图分析，培养数据意识与应用能力|

2026-2027学年上学期高二年级开学考试 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题5分） 1．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为，“抽到二等品”的概率为，则“抽到不合格品”的概率为（    ） A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.95 2．内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知复数，则“”是“的实部小于0”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（    ） A． B． C． D． 5．设复数（是虚数单位），则在复平面内复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若虚数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ） A． B． C． D． 8．刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何?” 意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（注：3丈=5步，1里=300步） A．4里55步 B．3里125步 C．7里125步 D．6里55步 二、多选题（每题6分） 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（    ） A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 三、填空题（每题5分） 12．已知，，若，则___________. 13．给出下列命题： ①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示  ④向量就是有向线段，正确的有 ______. 14．如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则________． 四、解答题（共77分） 15．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2). 16．已知，，且与的夹角． (1)求的值； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 17．如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． (1)证明：平面平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 19．太原市某报社发起过建党105周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； (3)根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【解析】利用互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件， 所以“抽到一等品或二等品”的概率为， “抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件， 故其概率为. 故选：A． 2．A 【分析】根据已知条件直接利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为在中，， 所以的面积为. 故选：A 3．B 【分析】考查的实部小于0的充要条件，结合集合关系进行判断. 【详解】因为 若其实部小于0，则，即， 显然是的必要不充分条件， 则“”是“的实部小于0”的必要不充分条件， 故选：B. 4．A 【分析】根据空间中点到线的距离公式，列不等式求解. 【详解】因为，， 所以点到直线的距离为， 所以，化简得 解得. 故选：A 5．D 【分析】根据复数的乘法运算法则，求出复数，即可得到其坐标. 【详解】， 复数对应的点为. 故选：D. 6．C 【分析】先利用化简得，复数的运算求出复数. 【详解】因为为虚数，所以， 由得， 所以， 故选：C． 7．D 【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求. 【详解】翻折后如图所示，易知，， 结合已知有，，，， 易知，，设正方形边长为2， 所以，， 所以的值为 故选：D 8．A 【详解】 如图，由题意 步，设 步， ， ，同理 ，由题意， ，即 （步） 里 步，故选A. 9．ABC 【分析】根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：ABC 10．ABD 【分析】根据选项信息，画出截面图形判断. 【详解】解：画出截面图形如图： C，D分别是所在棱的中点，四边形ABCD为等腰梯形，故A有可能； 如图作截面EFGH，E，G分别是所在棱的中点， 由平面与平面平行的性质可得EFGH，FGEH， 四边形EFGH为平行四边形，但不是矩形，故B有可能； 经过正方体的一个顶点去切正方体可得五边形，一定不是正五边形，故C不可能； 六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形，故D有可能. 故选：ABD. 11．AD 【分析】A.直接利用正弦定理求解判断；B.根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断；C.利用正弦定理边化角，然后整理计算；D.利用余弦定理计算求解. 【详解】对于A：若，，，由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，A正确； 对于B：只能推出，为锐角，但不确定角的大小，故不能确定的形状，B错误； 对于C：由及正弦定理得，即， 所以，在中有或，所以为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D：由已知，整理得，即，所以，则，即为等边三角形，D正确. 故选：AD. 12．6 【分析】根据，可得，解方程即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 即，解得. 故答案为：6. 13．① ③ 【分析】结合向量的定义，平行向量的概念，向量的表示，分析即得解 【详解】对于①，由向量的概念知正确； 对于②，平行向量的方向可以相反，故②不正确； 对于③④，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段．故③正确，④不正确． 故综上可得①③正确． 故答案为：① ③ 14． 【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解. 【详解】因为，所以，同理， 所以四边形为平行四边形， 所以 . 故答案为： . 15．(1)； (2) 【分析】根据向量加法法则求解即可； 【详解】（1） （2） 16．(1)4 (2) 【分析】（1）使用数量积的定义，模长公式求解； （2）向量垂直转化为数量积等于0求解. 【详解】（1）因为，，与的夹角， 所以． 又， 所以． （2）因为向量与向量互相垂直，所以， 所以， 由（1）知，又，，所以，， 所以． 17．(1)因为底面，平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (2) 【分析】（1）依题意可得平面平面，根据面面垂直的性质得到平面，即可得证； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）因为底面，， 如图建立空间直角坐标系，显然面的一个法向量为， 又，，，则， 设是平面的一个法向量，则，令，则， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出； （2）利用三角形相似分别求出，即可求得. 【详解】（1）如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面． 如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为. （2）由N为的中点，易得，所以， 因为，所以，得， 所以，，， 所以，． 所以． 19．(1) (2)人 (3) 【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得结果； （2）根据年龄在的人数对应频率和分层抽样原则直接计算即可； （3）利用频率分布直方图估计平均数的方法可直接计算得到. 【详解】（1）因为，所以； （2）应从选出参加座谈会的人数为：人； （3）由题意得：. 学科网（北京）股份有限公司 $