4.1.1 条件概率-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第二册人教B版 第四章 概率与统计 4.1条件概率与事件的独立性 4.1.1条件概率 例1(1)把一枚质地均匀的硬币投掷 学习目标 两次，事件A=“第一次出现正面”，B=“第二 1.通过对具体情境的分析，了解条件概 次出现正面”，则P(BA)= 率的定义。 (2)集合A={1,2,3,4,5,6},甲、 2.掌握简单的条件概率的计算问题 乙两人各从A中任取一个数，若甲先取（不 3.能利用条件概率公式解决简单的实际 放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下， 问题， 求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 要点精析 川要点1条件概率 名称 定义 符号表示 计算公式 一般地，当事件B 发生的概率大于0 P(AIB)= P(A∩B) 条件（即P(B)>0)时，已 P(AIB) P(B) 概率知事件B发生的条 P(B)>0 件下事件A发生的 概率，称为条件概率 思考P(BA)和P(AIB)的意义相同吗？ 30)学 第四章概率与统计。 B变式训练1 变式训练2 若本例(2)改为：甲先取（放回），乙 某个班级共有学生40人，其中团员有 后取，若事件A:“甲抽到的数大于4”；事 15人.全班分成四个小组，第一小组有学生 件B:“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求 10人，其中团员有4人.如果要在班内任选 P(BIA). 1人当学生代表 (1)求这个代表恰好在第一小组的概率， (2)求这个代表恰好是团员代表的概率， (3)求这个代表恰好是第一小组团员的 概率。 (4)现在要在班内任选1个团员代表， 问这个代表恰好在第一小组的概率， 反思感悟 条件概率的题目原型与求解方法： (1)题目原型：在题目条件中，若出 现“在…发生的条件下…发生的概率” 时，一般可认为是条件概率。 (2)求解方法： ①在原样本空间中，先计算P(A∩B), P(A),再利用公式P(BA)=PA∩B)计算 P(A) 求得P(BA); ②若事件为古典概型，可利用公式 P(BM)=n(4∩B,即在缩小后的样本空间 n(A) 中计算事件B发生的概率」 学(31 高中数学选择性必修第二册人教B版 如图是《易经》后天八卦图（含乾、坤、巽、 川要点2条件概率的实际应用 震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦可以看 例2一批同型号产品由甲、乙两厂生 作由三根线组成（这里把一看作一根阳线， 产，产品结构如下表： --看作一根阴线)，从八卦中任取两卦，记 生产数量 事件A=“两卦的六根线中恰有两根阳线”， 等级 甲厂 B=“有一卦恰有一根阳线”，则 乙厂 合计 P(AIB)=() 合格品 475 644 1119 次品 25 56 巴 南 合计 500 700 1200 从这批产品中随意地取一件，则这件产 品恰好是次品的概率是 ;已知取出 的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次 品的概率是 反思感悟 图4-1-1 条件概率实际应用问题的关注，点： A B. (1)关键：理清条件和结论，建立条 6 件概率模型。 D (2)注意：B∩A事件的含义 (3)公式：P(AIB)=PAnB) 变式训练4 P(B) P(BA)=P(AOB) 某社区活动中心打算周末去照看养老院 P(A) 的老人，现有4个志愿者服务小组甲、乙、 丙、丁，和4个需要帮助的养老院可供选 变式训练③ 择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事 晚会后，甲、乙、丙等五人站成一排合 件A=“4个志愿者小组去的养老院各不相 影留念，已知甲、乙二人相邻，则乙、丙二 同”，事件B=“小组甲独自去一个养老 人相邻的概率是 院”，则P(AB)=() 数学文化 A号 B 例1《易经》是中国重要典籍之一， c D.5 32)学参考答案。 (2)设第(k+1)项系数的绝对值最大，则 =Cn9C+9C+9C++9C8-1 9 22 Ci2≥C82-, k≤ 解得 3 又ke{1,2,3,…,9外， =(1+9)0-1_100-1 1Cn2≥C:2k+1 1k≥19 9 9 变式训练4解：(1)由题意，得2-1024，n=10, :k=7.当k=7时，Ts=-15360x吝，又当k=0时，T 展开式的通项公式为T=C%(Vx)+(-Vx)=(-1)C%· ,当k=10时，m=(-2)%号=1024号，系数的 学与=(-1C5x片-0,1，，10令5-名eZ 绝对值最大的项为T=-15360x. 得k=0,6.∴.有理项为T1=C0x5=x,T=Cox4=210x4 (3)原式=10+9C%+81Ci+…+90-C8 (2)C+C=C,∴.C=C4-C,x2项的系数为 =9Co+9C+9Ci+…+90C0 C+C+…+Co=(Ci-C)+(C-Ci)+…+(C-Ci。)=Ci1-C 164. 第四章 概率与统计 "4.1条件概率与事件的独立性 P)音石 变式训练2解：设A=“在班内任选1名学生，该学生 4.1.1条件概率 属于第一小组”，B=“在班内任选1名学生，该学生是团员”. 要点精析 DrM-8 例1()号【解析】()：事件A所包含的基本事 件有（正，正），（正，反），事件A∩B所包含的基本 (2)) 事件有（正，正），PA)=子，PAnB)= ..P(BA)= 8)PanB-希d 1 P(A∩B)=4-1 (4)方法一：P(AIB)=PA∩B)=10-4 P(A) = 2 2 P(B)315 4 8 (2)解：将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a, 方法二：P(AB)=n(AnB)=4 n(B)-15 b),甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4), 例2刀【解析】从这批产品中随意取一件，则 40020 (3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,6),共15个样本点.在这15个样本点 这作产品合好是次品的摄半是0品。 中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)， 方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产 (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4), 品恰好是次品的概率是点-品 (3,5),(3,6),(5,6),共9个样本点，所求概 方法二：设事件A=“取出的产品是甲厂生产的”， 率八8 事件层取出的产品为次品，则P)归0P1n 变式训练1解：甲抽到的数大于4的情形有(5,1)， (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), B)=0·心这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是 (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), P(BIA)=P(AOB)1 (6,6),共12个样本点，其中甲、乙抽到的两数之和 P(A）-20 等于7的情形有(5,2)，(6,1)，共2个样本点. 变式训练3子【解析】设“甲、乙二人相邻”为事件 39 高中数学选择性必修第二册人教B版 A,“乙、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(BM), 品，事件C为废品，则2=AUB,且A,B互斥 面A)-=瓷-号4nB表示事件甲，乙且乙.丙相 由题意，得PA)8号，P()=贸号 505, 1 A10,于是P(BA)=10=1 邻”，故PAnB)=2A=1, PCM)0P(GB)0由全摄率公式，得P(C)= 2-4 5 PA)PCPC)5 数学文化 aPA3km2n言.RB-000 20x120 例1B【解析】由八卦图，可知八卦中全为阳线和全 为阴线的卦各有一个，两阴一阳和两阳一阴的卦各有三 =号，PCM)0PCB)0由全概率公式，得PrC 个，而事件A所包含的情况可分为两种，即第一种是取 到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴：第二种是 P(A)P(CIA)+P(B)P(CIB)=5x3+4x11 9*509*2018 两卦中均为一阳两阴：而事件A∩B中只包含后者，即 例3解：设事件A表示“射手能通过选拔进人比赛”. P(4nB)=C是=3，事件B的概率P(B)=1-S=9 设事件B表示“射手是第i级射手”(=1,2,3)，显然， c=28 ΓC14 -B+6+B,且PB)高4，PB8号，PB) .P(AIB)=28-1 96,放选B. 20,PAIB)=0.9,P1IB,)-0.7,P(AIB)=05.由全概率 1 变式训练4A【解析】由题意，P代4)=，PAnB) 公式得到P(A)=P(AIB1)P(B1)+P(AIB)P(B)+P(AIB)P(B) A =09x4+07x号+05x7=068 ,P(AIB)=P4nB=4年-2 P(A),P(B)=4X3 变式训练3解：(1)从甲箱中任取2个产品的样本点 P(B) 4x3=9 44 有C-87-28个，这2个产品都是次品的样本点有C 4.1.2乘法公式与全概率公式 要点精析 =3个，·这2个产品都是次品的概率为3 28 例10.4【解析】记“射中第一个目标”为事件A, (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正 “射中第二个目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(B4)=0.5. 品”，事件B为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事 ,∴.P(AB)=P(BA)P(A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手过关的 件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B:为 概率为0.4. “从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件 变式训练1是【解析】设A(山，2)为第i次抽到 B.事件A被比互斥，PB)8-各PB-CC-点 C8281 合格品的事件，则有PA,=P不)Pa)=9×9 P-是-8P4B=号，P4)-音，P4- 品 号，PA)-PE)P(AIB,.+PAP4IB)+PB)PAB 例2解：如果用A1,A2分别表示居民所遇到的一位同 5×2+155,347 14×328928912 学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则2= 例4解：记事件A=“该产品为甲厂生产的”，事件A= AUA2,且A1,A2互斥，BC2,由题意，可知P(A)= “该产品为乙厂生产的”，事件A=“该产品为丙厂生产 令，PA,=令，且PBM,=号，PBA,令由全餐率 的”，事件B=“该产品是次品”，则2=A1UAUA3,且 公式可知 A1,A2,A3两两互斥，由题设，知P(A)=45%,P(A2)= PB)=P(A)PB4A,)+PA)P(BA)=5x3+3×1=1 35%,P(A3)=20%,P(Bl41)=4%,P(B42)=2%,P(B43) =8x58x32 =5%. 变式训练2解：记事件A,B分别为甲、乙两厂的产 40