3.1.3 组合与组合数-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 3.1.3组合与组合数 第1课时组合与组合数、组合数的性质 (4)从全班40人中选出3人参加某项 学习目标 活动，有多少种不同的选法？ 1.理解组合的定义，正确认识组合与排 列的区别与联系 2.掌握组合数公式及组合数的性质，并 会运用它们进行计算， 要点精析 川要点1组合概念的理解 1.组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m (m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同 对象中取出m个对象的一个组合. 2.排列与组合的关系 两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n) 相同点 个对象 不同点排列问题中对象有序，组合问题中对象无序 组合数C与排列数A:间存在的关系： 反思感悟 关系 Am=CAm 排列、组合辨析切入点： 例1在下列问题中，哪些是组合问 (1)组合的特点是只选不排，即组合 题？哪些是排列问题？ 只是从n个不同的元素中取出m(m≤n) (1)a,b,c,d四支足球队之间进行单 个不同的元素即可. 循环比赛，共需比赛多少场？ (2)只要两个组合中的元素完全相同， (2)a,b,c,d四支足球队争夺冠军、 不管顺序如何，这两个组合就是相同的 亚军，有多少种不同的结果？ 组合」 (3)从全班40人中选出3人分别担任 (3)判断组合与排列的依据是看是否 班长、副班长、学习委员三个职务，有多少 与顺序有关，与顺序有关的是排列问题， 种不同的选法？ 与顺序无关的是组合问题！ 12 学 第三章排列、组合与二项式定理。 变式训练1 判断下列问题是组合问题还是排列 问题 (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁 路线上共需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5名学生，每 人1本 (3)从7本不同的书中取出5本给某名 学生 反思感悟 组合个数的求解策略： (1)枚举法：书写时常以首字母为切 入点，相同元素不必重复列举 (2)公式法：利用排列数A与组合数 C之间的关系C。=A:求解。 Am B变式训练2 从5个不同元素a,b,c,d,e中取出 2个，共有多少种不同的组合？请写出所有 组合 川要点2组合的个数问题 例2在A,B,C,D四位候选人中 (1)如果选举正、副班长各一人，共有 几种选法？写出所有可能的选举结果。 (2)如果选举两人负责班级工作，共有 几种选法？写出所有可能的选举结果 (3)类比上述两个结果间的等量关系， 你能找出排列数A:与组合数Cm间的等量关 系吗？ 学(13 高中数学选择性必修第二册人教B版 川要点3组合数公式与组合数性质的应用， 例5 (1)(多选题)若C4>C,则n 的可能取值有( 1.组合数与组合数公式 A.6 B.7C.8 D.9 从n个不同对象中取出m个对象 (2)已知1-1-7 组合数定义 的所有组合的个数，称为从n个不 CCg=10Cg,求Cg+C 及表示 同对象中取出m个对象的组合数， 的值 用符号C:表示 乘积 C=A-nn-1)n-2)…(n-m+1) 形式 A m×(m-1)×…×2×1 组合数 阶乘 Cm=- n! 形式 m!(n-m)川 2.组合数的性质 (1)CW=CW". (2)Cm+Cm=Cw1。 例3求值： (1)3C8-2C3; (2）C-"+C1w 反思感悟 (1)组合数公式 Cm=nn-l)(n-2)…(n-m+1) m! 一般用于计算，而组合数公式C”= 1 般用于含字母的式子的化简与 例4证明：mCw=nCw1. m!(n-m)! 证明 (2)要善于挖掘题目中的隐含条件， 简化解题过程，如组合数C”的隐含条件为 m≤n,且m,n∈N (3)计算时应注意利用组合数的两个 性质： ①CW=CWm;②Cw1=Cm+Cm1, (14)学 第三章排列、组合与二项式定理。 例2如图，在以AB为直径的半圆周 B变式训练3 上，有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6, (1)计算：C98+C8 线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2, (2)证明：C”=nC. D3,D4 n-m (1)以除A,B外的10个点中的3个点 为顶点可作多少个三角形？其中含C,点的 有多少个？ (2)以图中的12个点（包括A,B)中 的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ C Cs A D.D:D.D.B 图3-1-4 数学文化 例1五行学说是华夏民族创造的哲学 思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认 为，天下万物皆由金、木、水、火、土5类 元素组成，如图，分别是金、木、水、火、 土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5 类元素中任选2类元素，则2类元素相生的 概率为() 反思感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题， 要注意共点、共线、共面、异面等情形， 水 防止多算.常用直接法，也可采用间接法。 图3-1-3 (2)把一个与几何相关的问题转化为 组合问题，此题目的解决体现了数学抽象 ABC4 D.5 及数学运算的核心素养. 学 (15 高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时组合数的应用 学习目标 变式训练① 1.能应用组合知识解决有关组合的简单 个口袋内装有大小相同的7个白球和 实际问题。 1个黑球 2.能解决有限制条件的组合问题 (1)从口袋内取出3个小球，共有多少 种取法？ 要点精析 (2)从口袋内取出3个球，使其中含有 川要点1简单的组合问题 1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含 例1有10名教师，其中6名男教师， 黑球，有多少种取法？ 4名女教师 (1)现要从中选2名教师去参加会议， 有 种不同的选法 (2)选出2名男教师或2名女教师参加 会议，有 种不同的选法 (3)现要从中选出男、女教师各2名去 参加会议，有 种不同的选法， 反思感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要 判断它是不是组合问题，组合问题与排列 问题的根本区别在于排列问题与取出元素 之间的顺序有关，而组合问题与取出元素 的顺序无关。 (2)把一个实际问题转化为组合问题， 体现了数学抽象的核心素养 (16)学 第三章排列、组合与二项式定理。 川要点2有限制条件的组合问题 B变式训练2 例2课外活动小组共13人，其中男生 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜， 8人，女生5人，并且男生、女生各有一名 7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之 队长，现从中选5人主持某项活动，依下列 一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬 条件各有多少种选法？ 菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬 (1)至少有一名队长当选 菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共 (2)至多有两名女生当选 有() (3)既要有队长，又要有女生当选。 A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 川要点3分组、分配问题 例3(1)6本不同的书，分给甲、 乙、丙3人，每人2本，有多少种方法？ (2)6本不同的书，分为三份，每份2 本，有多少种方法？ 反思感悟 有限制条件的抽（选）取问题，主要 有两类： (1)“含”与“不含”问题，其解法 常用直接分步法，即“含”的先取出， “不含”的可把所指元素去掉再取，分步 计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法 常有两种：一是直接分类法，但要注意分 类要不重不漏；二是间接法，注意找准对 立面，确保不重不漏 学(17 高中数学选择性必修第二册人教B版 例4(1)6本不同的书，分为3份， ③完全非均匀分组，这种分组不考虑 一份1本，一份2本，一份3本，有多少种 重复现象 方法？ (2)分配问题属于“排列”问题，分 (2)6本不同的书，分给甲、乙、丙3 配问题可以按要求逐个分配，也可以分组 人，一人1本，一人2本，一人3本，有多 后再分配 少种不同的方法？ B变式训练3 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4 个编号为1,2,3,4的盒子中 (1)有多少种放法？ (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放1个球，并且恰好有1 个球的编号与盒子的编号相同，有多少种 放法？ 例56本不同的书，分给甲、乙、丙3 (5)把4个不同的小球换成4个相同的 人，每人至少1本，有多少种不同的方法？ 小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (6)把4个不同的小球换成20个相同 的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编 号数，有多少种放法？ 反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法： (1)分组问题属于“组合”问题，常 见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均 相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复， 有n组均匀，最后必须除以n!; 18)学 第三章排列、组合与二项式定理。 例2在我国南宋数学家杨辉所著的 数学文化 《详解九章算法》一书中，用如图1所示的 例1杨辉是中国南宋末年的一位杰出 三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直 的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的 到17世纪，法国数学家布莱士·帕斯卡的著 一大重要研究成果，它的许多性质与组合数 作介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承 的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的 认这项成果属于中国，所以有些书上称这是 规律.如图是一个11阶杨辉三角： “中国三角形”(Chinese triangle),如图l. 第0行 ……第1斜列 17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布 第1行 上1…………第2斜列 第2行 2 ………第3斜列 尼茨三角形”，如图2.在杨辉三角中相邻两 第3行 3 小……………第4斜列 第4行 …第5斜列 第5行 1……第6斜列 行满足关系式：C+C=C,其中n是行 第6行 6182056 1…第7斜列 第7行 上235211…第8斜列 数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角 第8行 上88606881…第9斜列 第9行 93684126 6461…第10斜列 形中相邻两行满足的关系式是 第10行16451202025220204501…第11斜列 第11行1r5166330424623301655511…第12斜列 11阶杨辉三角 11 图3-1-5 121 1331 (1)求第20行中从左到右的第3个数， 14641 15101051 (2)若第n行中从左到右第13与第14 C9C…C…CC 个数的比为品求m的值 图1 (3)写出第12行所有数的和，写出n 阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和. 1 3 6 (4)在第3斜列中，前5个数依次为 1 1 412124 1,3,6,10,15;第4斜列中，第5个数 520,00 1 1 1 1 1 为35，我们发现1+3+6+10+15=35，事实上， 6306060306 一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上 1 CCo CC CI Cn CC 到左下)前k个数之和，一定等于第m+1斜 图2 列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N) 图3-1-6 的数学式子表示上述结论，并证明 学 19同的排法。 方法二（间接法）：3名女生和5名男生排成一排共 有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法 AA种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有 A-AA=36000种不同的排法. 例5解：(1)各数位上的数字允许重复，故由分步乘 法计数原理，知可组成4×5×5×5×5=2500个五位数. (2)方法一：考虑特殊位置“万位”，从1,2,3,4 中任选一个填入万位，共有4种填法，其余4个数字作 全排列，有A种排法，故共有A4A=96个符合条件的 五位数 方法二：先考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十 百、千位中任选一个位置将0填入，有A种填法，然后 将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A种排 法，故共有AA=96个符合条件的五位数， (3)构成3的倍数的三位数，各数位上数字之和是 3的倍数，将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类， 按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数， 再取2进行排列，先填百位有A:种填法，再填其余位有 A种排法，故有2A:A个符合条件的三位数；不取0， 则必取3，从1和4中任取一数，再取2，然后进行全 排列，故有2A种排法..共有2A:A+2A=8+12=20个 符合条件的三位数. (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3 中选一个填人个位，有A:种填法，然后从剩余3个非0 数中选一个填入万位，有A种填法，最后将包含0在内 的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A, 故共有A;A:A=36个符合条件的五位数. (5)按分类加法计数原理，当万位数字为1,2,3 时均可以，共有AA个数.当万位数字为4，千位数字 为0,1时均满足，共有A;A个数，当万位数字为4， 千位数字为2，百位数字为0,1时均满足，共有 (AA3-1)个数，.比42130小的数有AA+A:A+ AA3-1=87个.万位是1,2的各有A个数，万位是3， 千位是0,1的各有A个数，共有2A+2A=60个数， 故第61个数为32014. (6)运用排除法，先将1,3在奇数位上排列，有 A种排法，再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排 列，有A种排法，而其中1,3在个位和百位上，0在 万位上的排法不合题意，有AA种排法..符合条件的 参考答案⊙ 五位数共有AA-AA=32个. 变式训练3解：(1)个位上的数字必须是0或5.个 位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个； 若含0，但0不作首位，则0的位置有A:种排法，其余 各位有A种排法，故共有A+A+A:A=216个能被5整 除的五位数 (2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整 除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4， 5)两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个. 故能被3整除的五位数有A+AA=216个. (3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字 为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的 一个，有3A个数，240135是第A+3A+1=193个数， 即240135是第193个数. 3.1.3组合与组合数 第1课时组合与组合数、组合数的性质 要点精析 例1解：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场 比赛，没有顺序，是组合问题 (2)冠军、亚军是有顺序的，是排列问题 (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列 问题 (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题 变式训练1解：(1)：一种火车票与起点、终点的顺 序有关，如甲一→乙和乙一甲的车票是不同的，“.它是排 列问题 (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺 序之分，因此它是排列问题。 (3)从7本不同的书中，取出5本给某名学生，在 每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合 问题 例2解：(1)从4位候选人中选举正、副班长各一人 是排列问题，有A=12种选法，所有可能的选举结果： AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB, DB,DC. (2)从4位候选人中选举2人负责班级工作是组合 问题，有C:=6种选法，所有可能的选举结果：AB, AC,AD,BC,BD,CD. (3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都 33 高中数学选择性必修第二册人教B版 对应A个排列，即A=CA.类比可知，从n个不同元 素中选出m个元素的排列数A”与组合数Cm间的等量 关系为A"=CmA". 变式训练2解：先将元素按照一定顺序排好，然后按 顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示 AbE AE be deeds de 变式训练2答图 由此可得所有的组合：ab,ac,ad,ae,bc,bd, be,cd,ce,de,共有l0种. 例3解：（)3c-2C=3x3-2x3-148 2×1 0≤38-n≤3n, (2) .9.5≤n≤10.5..n∈N, 0≤3n≤21+n, ∴.n=10, .C8-"+C1n=C8+C0=C0+C31=466. 例4证明：mC=m n! m.(n-m月 n…(n-1)！ (m-1)(n-m)乃 (n-1)！ n·(m-1)(m-m)1 =n.Cm-1 例5(I)ABCD【解析】由C>C,得 4m-4p610m-6g'=n2-9n-10<0,_-1on<10, n! n! → n≥6 ln≥6. n≥6 又n∈N+,.该不等式的解集为{6,7,8,9)· 故选ABCD. cCi0C,m5m业.ml(6-my (2)解：1-1=1 51 6: =7x7-mml，即ml(5-m1-ml(6-m)(5-m是三 10x7! 5！ 6x5! 7xml(7-m6m5-mL,1-6-m=(7-m6-m2,即 10×7×6x51 6 60 m2-23m+42=0,解得m=2或m=21..0≤m≤5，m∈N ∴.m=2,.Cg+Cm=C8+C8=C8=84. 变式训练3(1)解：C器+C增=Cm+Cm=100x99+ 2 200=4950+200=5150. 2）证明：nCnm n! (n-1-m)！m!(n-m)1 =C0 34 数学文化 例1A【解析】(1)金、木、水、火、土彼此之间存 在相生相克的关系.从5类元素中任选2类元素，基本 事件总数n=C=10,2类元素相生包含的基本事件有5 个，则2类元素相生的概率为P品分故透A 例2解：(1)方法一：可作出三角形C6+CC+C6C4 =116个. 方法二：可作三角形C。-C=116个，其中以C,为 顶点的三角形有C+CC4+C=36个. (2)可作出四边形C+CC+CC%=360个. 第2课时组合数的应用 要点精析 例1(1)45(2)2(3)90【解析】(1)从10 名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个 不同元素中取出2个元素的组合数，即C是- =45. (2)可把问题分成两类情况： 第一类，选出的2名是男教师有C:种方法：第二 类，选出的2名是女教师有C种方法.根据分类加法计 数原理，共有c+C=发+是-贸+贺-1546-21种不 同的选法 (3)从6名男教师中选2名的选法有C6种，从4名 女教师中选2名的选法有C:种，根据分步乘法计数原 理，共有不同的选法C×C=朵×会=× 90种. 变式训练1解：(1)从口袋内的8个球中取出3个 球，取法种数是C=8x7x6=56. 3x2x1 (2)从口袋内取出3个球，其中有1个是黑球，于 是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从 7个白球中取出3个球，取达种数是C=8-35 例2解：(1)Ci-Ci=825种. (2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当 选：只有1名女生当选：没有女生当选，.共有CC+ CCg+C=966种选法 (3)分两类：第一类女队长当选，有C=495种 选法：第二类女队长没当选，有C4C+CC+CC,+C= 295种选法...共有495+295=790种选法. 变式训练2A【解析】由分类加法计数原理，知两类 配餐的搭配方法之和即为所求，·.每天不同午餐的搭配 方法共有CC+C4C号=210种.故选A 例3解：(1)先从6本书中选2本给甲，有C种方 法：再从其余的4本中选2本给乙，有C种方法：最后 从余下的2本书中选2本给丙，有C种方法，所以分给 甲、乙、丙3人，每人2本，共有CCC=90种方法. (2)分给甲、乙、丙3人，每人2本，有CCC种 方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份， 每份2本，设有x种方法：第二步，再将这三份分给 甲、乙、丙3名同学，有A种方法.根据分步乘法计数 原理，可得CCC=A,x=CCC=15.因此分为三 A 份，每份2本，一共有15种方法. 例4解：(1)这是“不平均分组”问题，一共有 C.CC=60种方法. (2)在(1)的基础上再进行全排列，.一共有 CCCA=360种方法. 例5解：可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有 C8CC=90种方法；②“1,2,3型”，有CCCA=360 种方法：③“1,1,4型“，有CA=90种方法，.一共 有90+360+90=540种方法。 变式训练3解：(1)每个小球都可能放人4个盒子中 的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4× 4=44=256种放法. (2)这是全排列问题，共有Ad=24种放法 (3)方法一：先将4个小球分为3组，有CCC 种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有 A种投放方法，故共有CCC·A=144种放法。 A 方法二：先取4个球中的2个“捆”在一起，有C 种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放人4个盒 子中的3个盒子，有A种投放方法，.共有CA=144 种放法. (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C!种， 当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知 参考答案。 其余3个球的投入方法有2种，故共有2C=8种放法. (5)先从4个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子 中选出1个盒子放入2个球，余下2个盒子各放1个， 由于球是相同的即没有顺序，·.属于组合问题，故共有 CC=12种放法. (6)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒 子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成 4组，即在0000000○OO○这14个球中 间的13个空中放入三块隔板，共有C=286种放法，如 OO10000O1O○O1OOO0,即编号为1,2,3,4 的盒子分别放入2,6,5,7个球. 数学文化 例1解：(1)）C3=20x19-=190. 2×1 (2)曲器是解得4 (3)22=4096;1+2+22+2+…+2=2-1. (4)Cm+Cm+…+C-2=Cmw-1. 证明如下：左边=Cm+Cm-1+…+Cm,-2=Cm1+Cm +…+Cm-2=…=Cm2+Cm=Cm1=右边。 例2CCc+cCCC【解析】类比观家，得 1 莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数亡，而相邻两 项之和是上一行的两者相拱之数，故类比式子C:+C= 1 Ci,有.C.-C.C+c.C m3.2二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 要点精析 例1解：(1)方法-：3Vx+,=C(3Vx4 c3vyc(3VP川V.c3v 4c广-8110e+54+2+ 方法=：3v+广广-是43 是[1+C-3x+C(3x)24C(3x)P4C(3x)']=2(1+12x+54r+ 108x+81x)=13+12+54+108x+81x2. 35