3.1.3 第1课时 组合与组合数-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

≥0.分类讨论如下： 当c=0时，a,b可以从1,3,5,7中任取两个，一元二次方程有 A个； 当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7中的一个. 当b取5时，a,c只能取1,3这两个数，一元二次方程有 A3个； 当b取7时，a,c可取1,3或1,5这两组数，一元二次方程有 2A个. 此时共有(A2+2A)个一元二次方程 由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有A号+ A3+2A3=18(个). B组·素养提升 1.AB解法一：确定最高位有A;种不同方法.确定万位、千位、 百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A:种不同的方 法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数 原理知，共有A;·A=300(个). 解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数 字的应各占一半，故有号4·A=30(个) 2.C由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A个，相邻两 个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A:+(A -1)×5=1195秒. 3.C4本不同的书分给三个同学，共有6A=36,书A、B分给同 一人有A=6,所以共有36-6=30种，故选C. 4.B将A,B捆绑在一起，有A2种摆法，再将它们与其他3件产 品全排列，有A种摆法，共有AA种摆法，而A,B,C3件产 品在一起，且A,B相邻，A,C相邻时有2种情况，将这3件产 品与剩下2件产品全排列，有2A种摆法.故A,B相邻，A,C 不相邻的摆法有A2A-2A=36(种) 5.288先选两位家长排在首尾有A:=12种排法；再排队中的 四人有A=24种排法，故有12×24=288种排法. 6.56个数任意填人6个小正方形中有A=720种方法；将6 个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填人一对 面中，共有不同填法A×2×2×2=48种，故所求概率P= 481 720-15 7.(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知， 共有4×5×5×5×5=2500（个）. (2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A4种填法， 其余四个位置四个数字共有A种 故共有A·A=96(个). 解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填人有 A种方法，其余四个数字全排有A种方法， 故共有A4·A4=96(个) (3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数， 按取0和不取0分类： 17 ①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A,其 余任排有A,故有2A,·A种. ②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进 行全排为2A,所以共有2A)A2+2A=8+12=20(个). (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入 个位有A,种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位， 有A:种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列， 排列数为A3,故共有A2·A3·A3=36(个). 8.(1)7名同学的所有排法有A?种，其中甲、乙、丙的排序有A号 -840(种). 种，所以甲、乙、丙排序一定的排法有 (2)方法一：甲不在最左端，按甲的排法分类： 若甲在最右端，则有A。种排法；若甲不在最右端，则甲有A5 种排法，乙有A;种排法，其余同学有A;种排法.综上，不同的 排法共有A+AAA==3720(种). 方法二：在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有A7种站法， 甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，而甲 在最左端且乙在最右端的站法有A种，故不同的排法有 A7-2A6+A=3720(种). (3)先排甲、乙两名同学，有A2种排法，再从余下5名同学中 选3名同字排在甲、乙两名同学中间，有A种排法，这时把已 排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下的2名同学进行 全排列，有A种排法，故不同的排法共有AAA=720(种) (4)先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有A种排 法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A2种排法，最后把排 好的甲、乙看作一个整体与丙分别插入原先排好的4名同学形成 的5个空位中，有A种排法，故不同的排法共有A1A2A=960 (种). (5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A;种排法，然 后在余下的3个位置中排女生，由于要求女生从左到右按从 高到矮的顺序排，故女生的排法只有1种，故不同的排法共有 A7×1=840(种). 练案[4] A组·素养自测 1.CDA错误.当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序 不同时，仍然不是相同排列，所以错误.B错误.因为相同的组 合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说法错 误.C正确.当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个组 合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全相 同.D正确.由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不 能再取了.故选CD. 2D由G知m=012.34,因为C=1,G=4.G-4=6, C=C4=4,C4=1,所以M={1,4,6}.故MnQ={1,4}. 3.A因为C6=Ci6-5, 6 所以x2-=5x-5①， 或(x2-x)+(5x-5)=16②， 解①可得x=1或x=5(舍去)，解②可得x=3或x=-7 (舍)，所以该方程的解集是{1,3}. 4.C因为C71-C7=C8,即C+1=C8+C=C8,所以n+1= 7+8,即n=14. 5.D "C= (n-1)！ r(r-1)！(n-r)川 n！ 升(m-r刀=C 6.13由C+C+C5+…+C2=363, 得1+C3+C+C?+…+C2=364, 即C+C+C+C?+…+C2=364, 又C+Cm-1=C1,则C+C+C+C号+…+C=C+C4+ C+…+C=C5+C+C6+…+C2=C1,所以C元+1=364， 化简可得m+1)nn-1)=364, 3×2×1 又n是正整数，解得n=13 7.220C2+C+…+C=C3+C号+…+C品=C+C+…+ C2=C2=220. 8.25C+5=(n+7)Ct3+3A+3, (n+5)! 5×51xn+5-51(n+7)× (n+3)! (n-1)!(n+3-n+1)1+3×(m+3)(n+2), 5xm+5)m+4)+3m+2)m+山=(n+7)× 5×4×3×2×1 (n+3)(n+2)(n+1)n+3×(n+3)(n+2), 4×3×2×1 :n+5)(n+4)(n+D=n+7)n+1)n+3,neN,解 24 24 得n=2. 9.因为C5=C,所以原不等式可化为C>(C-2+C2-2)+ (C2-2+C4-2), 即C>C-1+C-1,也就是C>C, n！ n！ 所以5n-5月>31(n-3I 即(n-3)(n-4)>20, 解得n>8或n<-1. 又neN",n≥5. 所以n≥9且neN 10.(1)由题意知 rx=2x-4, x=14-(2x-4), 2x-4≤14，或2x-4≤14， Lx≤14 lx≤14， 解得x=4或6 (2)由组合数的定义知0≤r+1≤10， 所以7≤r≤9.又r∈ 0≤17-r≤10. N*,所以r=7,8,9, 17 当r=7时，原式=C。+C18=46; 当r=8时，原式=C10+C1。=20; 当r=9时，原式=C18+C。=46. B组·素养提升 1.C(Cm+C9a0）÷Aio1=(Cm+Cim）÷Ao1=Cio1÷Aio1= A 2.B根据题意，C+1-C=C变形可得，C+1=C+C7; 由组合数的性质可得，C%+C?=C1, 即C1=C+1 则可得到n+1=6+7=n=12. 3.BD由组合数的性质得：C+Cg=C=C18. 4AcC=n动1 A中，6+lC!=+1(n+1)L 'n+1a1n+1(n-k)！(k+1)刀 n！ =(n-k)！k! B中，c=n-Fn-对1 c中n”C1=m-1 n(n-1)！ n！ (n-k)！k! D中a-是 n-1(n-k)！(k-1)！ (n-2)！ =(n-k1松-2)1，故不相等 5.190由C3=C7可知n=20. C=C,=20×19-190. 2 19 6.46依题意得0≤38-n≤3n即 2 ≤n≤38， l0≤3n≤21+n, .21 0≤n≤2， 解得9 ≤n≤分，又neN,所以n=10 故C-“+C21+n=C0+C1=C30+C1=466. 7.3或4因为Ci0=Cg2+Cg1+Cg-3, 所以C。=C1+C好-3， 所以Ci。-Cg1=C-3, 所以C。=C-3, 所以x=2x-3,或x+2x-3=9, 解得x=3,或x=4. 8.原方程可化为20×（n+5)! 5！n! =4(n+4)×0+15(n+3)(n+2), 即n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) 6 -(n+4)(n+3)m+2)n+I)n+15(n+3)(n+2), 6 所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90, 即5(n+4)(n+1)=90, 所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7. 注意到n≥1且neN*,所以n=2. 9.(1)m+lC1=m+1.,(n+1) n! n+1 n+1 n+1(m+1)！(n-m)！m!(n-m)l (n-1)! n! n-m m!(n-1-m)!-m!(n-m)!=C, 故C20 n -m (2)左边 =m![1+m+++2+…+m+m)出 1！m!2！m! n！m！」 =m!(1+Cm1+Ca+2+…+Catn） =m！(Cn1+Cmt1+Cn+2+…+Cn+n） ① =m!(Cm2+C2+2+…+Cmtn)） ② =… =m!Cmtn+1 =右边， 故等式成立， 练案[5] A组·素养自测 1.C分两步：第1步，可在其他8种种子中选取1种放人1号 瓶，有C⑧种选法；第2步，剩下的9种种子中选5种全排列， 有A种.故共有CgA种不同的放法 2.ABC每人有四项工作可以安排，所以5人都安排一项工作 的不同方法数为4，故选项A中说法错误：每项工作至少有1 人参加，则有一项工作安排2人，其他三项工作各1人，所以 共有C4CA种不同方法数，选项B中AC4是每项工作先安 排1人，还剩下1人在四项工作中选择，这样会有重复，比如： “甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，戊安排翻译” 与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，甲安排翻 译”重复计算了，故选项B中说法错误；选项C中是先分组后 分配，CC2代表的是5人分成3人、1人、1人三组，CC代表 的是5人分成2人2人、1人三组，然后三组人分配三项工 作，乘A,然而在分组的过程中都有重复，比如：3人、1人、1 人分组中，先选择了甲、乙、丙三人一组，剩下丁、戊分两组只 有一种分法，而不是C种分法，故选项C中说法错误；选项D 分两类考虑，第一类：司机安排1人，方法数为C,另外4人分 3组，方法数为C(4人选2人为1组，另外2人分2组只有 种分法)，然后3组人安排除司机外的三项工作，方法数为 A,则不同安排方案的种数是CCA,第二类：司机安排2 17 人，方法数为C,剩下3人安排另外三项工作，方法数为A, 则不同安排方案的种数是CA,由分类加法计数原理得，共 有CCA+CA种不同的安排方案，故选项D中说法正确。 故选ABC. 3.AC2=220,故选A. 4.A先选取3个不同的数有C6种方法，然后把其中最大的数 放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排 法，故共有CA号=40个三位数. 5.A解法一：(1)4种颜色全用时，有A4=24种不同涂色方法. (2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种 颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A种涂法， 然后涂D,D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A= 48种，∴.共有不同涂色方法24+48=72种 解法二：涂A有4种方法，涂B有3种方法，涂C有2种方法， 涂D有3种方法，故共有4×3×2×3=72种涂法， 6.60对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则 所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要 求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入 1,2,3即可. ∴.不同排法有A5=60种。 7.72解法一：根据题意，分两种情形讨论： ①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后 三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有 C2CCA=36种选派方案 ②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙 担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C· A?·A2=36种选派方案， 综上可得，共有36+36=72种不同的选派方案， 故选B 解法二：从甲、乙以外的三人中选一人从事A工作，再从剩余 四人中选三人从事其余三项工作共有CA=72种选法. 8.48按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则 第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有 CA2A=12个：②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第 2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个 数字，所以满足条件的五位数有2AA号=24个；③当2出现在 第4位时，即00020，则第5位必为13、5中的一个数字，所以满 足条件的五位数有CAA=12个.综上，共有12+24+12= 48个. 9.(1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法：第二步，从剩 下的6人中选取3人安排在一侧有C6种选法，对于每一种选 法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只 有一种安排方法，·.共有不同安排方案C6=20种. (2)第一步从7人中选取6人，有C9种选法；第二步从6人中 8练案[4] 第三章排列、组合与二项式定理 3.1[3.1.3 第1课时组合与组合数] b组·素养自测 8.已知5C+5=(n+7)C3+3A+3,则n= 一、选择题 三、解答题 1.(多选)下面结论正确的是 1 A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列 9.解不等式C-5>C-2+2C-2+C-2· B.一个组合中取出的元素讲究元素的先后 顺序 C.两个组合相同的充要条件是其中的元素完 全相同 D.排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且 只研究被取出的元素也各不相同的情况也就 是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就 不再取了 2集合M=xlx=C,n≥0且n∈N,集合Q=1, 2,3,4},则下列结论正确的是 () A.MUQ={0,1,2,3,4 B.QCM C.MCO D.M∩Q={1,4 3.方程C6=C65的解集为 ()10.(1)解方程：C:=Ca A.{1,3 B.{3,5} (2)求值C。+C3-. C.(1,3) D.{1,3,5,-7 4.若C1-C=C8,则n等于 A.12 B.13 C.14 D.15 5.组合数C(n>r≥1，n,r∈N)恒等于 A B.(n+1)(r+1)C- C.nrC D.C- 二、填空题 6.若C+C+C+…+C2=363,则正整数n= 7.计算：C+C+…+C,= (用数字 作答) i: 107— 8组·素养提升 9.证明： 一、选择题 (1)C=m+1C n+1 C-1 1.(C0+C0o)÷Aio1的值为 (2)m+(m+1！+m+2)!+…+ A.6 B.101 1！ 2！ 2.若C1-C=C(neN),则n等于( (m+n)!=m!C n! A.11 B.12 C.13 D.14 3.(多选)C9+C9等于 ) A.Coo B.Ci C.C D.C 4.（多选)若1<k<n,那么与C相等的是 ( A.k+c n+1Cn+i B.C cn”ci D.-1 a-IC : 二、填空题 5.若C=C,则C8=」 6.C8-"+C1+n= 7.已知C0=C2+C1+Cg-3,则x= 三、解答题 8.求20C+5=4(n+4)C3+15A2+3中n的值. —108