3.1.3 第2课时 组合数的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　组合数的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　[课时目标]　进一步加深对组合概念的理解.掌握几种有限制条件的排列，能应用组合数公式解决简单的实际问题. 题型(一)　组合数在实际问题中的应用 [例1]　在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法? (1)有3名内科医生和2名外科医生; (2)既有内科医生，又有外科医生. 解:(1)先选内科医生有种选法，再选外科医生有种选法，故有=120(种)选派方法. (2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有+++=246(种)选派方法. 若从反面考虑，则有-=246(种)选派方法. |思|维|建|模| (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路:一是直接分类法，注意分类不重不漏;二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. [针对训练] 1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种. (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种? (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种? (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种? 解:(1)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有=2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种. (2)选取2种假货有种，选取3种假货有种，共有选取方法+=2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种. (3)选取3种商品的种数为，选取3种假货的种数为，因此有选取方法-=6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种. 题型(二)　有限制条件的排列组合问题 [例2]　从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长、学习委员和体育委员. (1)若担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种? (2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种? 解:(1)由题意知担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生， 可从11人中选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务， 故不同的情况有(-)=870种. (2)若担任班长和学习委员的学生性别不同， 则不同的情况有=540种. |思|维|建|模| 有限制条件的排列组合问题的解题策略 (1)元素分析法:首先满足特殊的元素，然后安排其他元素. (2)位置分析法:首先满足特殊的位置，即把元素安排在特殊的位置，然后安排其他元素. 　　[针对训练] 2.从10个人中选5个人分别担任5种不同的工作. (1)甲、乙、丙三人必须当选有多少种选法? (2)甲、乙、丙三人不能当选有多少种选法? 解:(1)依题意，先从剩下的7人中选出2人，有种选法，再将5人安排到5种不同的工作，则有=2 520种选法. (2)依题意，直接从除甲、乙、丙三人外的7人种选出5人安排到5种不同的工作，则有=2 520种选法. 题型(三)　排列组合的综合应用 题点1　相邻与相间问题 [例3]　(1)(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 (　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 (2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是　　　　　.  解析:(1)先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有=24种，故选B. (2)安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“　小品1歌舞1小品2　相声　”，有=36(种)排法;同理，第三种情况也有36种排法;对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“　小品1　相声　小品2　”，有=48(种)排法，故共有36+36+48=120(种)排法. 答案:(1)B　(2)120 |思|维|建|模| 相邻与相间问题的解题策略 (1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. (2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. 题点2　分组与分配问题 [例4]　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法? (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本; (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; (3)平均分成三份，每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本; (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本. 解:(1)无序不均匀分组问题.先选1本有种选法;再从余下的5本中选2本有种选法;最后余下3本全选有种方法，故共有=60种. (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有=360种. (3)无序均匀分组问题.共有=15种. (4)在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有 15=90种. (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以即可，共有=15种. (6)在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有15=90种. |思|维|建|模| 分组与分配问题的解题思路 分组与分配问题的一般解题思路是先分组再分配. (1)分组问题属于“组合”问题. ①对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘; ②对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m!; ③对于不等分组，只需先分组，后排列. (2)分配问题属于“排列”问题. ①相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”; ②不同元素的“分配”问题，利用分步乘法计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是分配; ③有限制条件的分配问题常采用分类法求解. [针对训练] 3.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中华优秀传统文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共有　　　　种.(用数字作答)  解析:首先从“诗”“酒”“花”“茶”中选“两雅”，有种选法;“琴”“棋”相邻用捆绑法看作一个整体，与除“书”与“画”外的“两雅”全排列，有种排法;最后将“书”与“画”插入到所形成的4个空中的2个空，有种插法.按照分步乘法计数原理，可得共有=864(种)排课方法. 答案:864 4.某校抽调志愿者去服务社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有　　　　　种.  解析:有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有×=90种分配方案.若两名学生分在同一社区，则有=18种分配方案.因为两名学生不分在同一社区，所以不同的分配方案有90-18=72(种). 答案:72 学科网（北京）股份有限公司 $