3.1.2 排列与排列数-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 4=120种不同的选法，B正确；若要选出不同颜色的2 个球，共有5×6+5×4+6×4=74种不同的选法，故C错误： 若要不放回地选出任意的2个球，共有15×14=210种不 同的选法，故D错误。 第2课时两个计数原理的综合应用 要点精析 例1解：(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字 也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53= 125种排法」 (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字， 首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、第 三位可以排0，因此，共有4x5×5=100种排法， (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4， 因此，可以分两类：一类是末位数字是0，则有4x3=12 种排法；一类是末位数字不是0，则未位有2种排法， 即2或4，再排首位，因0不能在首位，.有3种排法， 十位有3种排法，.有2×3×3=18种排法.因而有12+ 18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数 字的三位数 变式训练1解：(1)完成这件事需要分别确定百位、 十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确 定个位，因此要分步相乘 第一步：确定百位数，有6种方法： 第二步：确定十位数，有5种方法； 第三步：确定个位数，有4种方法. 根据分步乘法计数原理，共有N=6×5×4=120个三位 数.这一列数的个数为120. (2)这一列数中，百位是1,2,3,4的共有4×5× 4=80个，百位是5的三位数中，十位是1或2的有4+ 4=8个，故第88个为526，故从小到大第89项为531. 例2解：由题意，可知在艺术小组9人中，有且仅有 1人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手"”），只会钢 琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号 各1人的方法分为两类： 第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任 选一个，故这类选法共有8种。 第二类：多面手不人选，则会钢琴者只能从6个只 会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人 中选出，故这类选法共有6×2=12种. 30 因此有N=8+12=20种不同的选法 变式训练2240【解析】由于甲、乙不能从事翻译工 作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4 种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4× 5×4×3=240种选派方案。 例3480【解析】方法一：分类， 第一类：A,D涂同色，有6×5×4=120种涂法. 第二类：A,D涂异色，有6×5×4x3=360种涂法. 共有120+360=480种涂法. 方法二：分步，先涂B区，有6种涂法，再涂C 区，有5种涂法，最后涂A,D区，各有4种涂法， 共有6×5×4×4=480种涂法. 变式训练384【解析】第一类：当花坛A,C中种的 花相同时有4x3×1×3=36种.第二类：当花坛A,C中种 的花不同时有4×3×2×2=48种.共有36+48=84种. 3.1.2排列与排列数 第1课时排列与排列数 要点精析 例1解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排 列问题 (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题 (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委 员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存 在顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中，(2)(5)(6)是排列问题， (1)(3)(4)不是排列问题. 变式训练1解：(1)第一问不是排列问题，第二问是 排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关， 故选3个座位安排三位客人是排列问题， (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题 若方程等+示1表示焦点在x轴上的桶圆，则必有 a>b,a,b的大小关系一定. 在双曲线号点-1中，不管6还是6，方程 之~若1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双 曲线，故是排列问题 (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列 问题. 例2解：树形图如下（如图） 例2答图 由树形图，知所有排法有BADC,BCDA,BDAC, CADB,CDAB,CDBA.DABC,DCAB,DCBA. 变式训练2解：(1)由题意画树形图，如图1. 小承小 图1 故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31， 32,34,41,42,43,共有12个. (2)由题意画树形图，如图2. 图2 变式训练2答图 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd, cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个. 例3解：Ai=15×14x13=2730,A=6×5×4×3x2x1=720. 例4解：(1)55-n,56-n,…,69-n中的最大数为 69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个数，∴.(55-n)(56 n)…(69-n)=A5n. (2)由排列数公式，可知n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+ m)=A0 例5证明：A-A=（+l)1-nl=nl (n+l-m)！-(m-m)！=(n-m)！ 4n-(m)!‘4nm'm)!mA n+1-1=,n, ,∴.Am1-A=mAm-1 参考答案。 变式训练3D【解析1由A:<6A,得<6X 0,化简，得-19x+84<0,解得7<<12，① 8! x≤8， 又/ 2≤x≤8，②由①②及x∈N,得x=8. 0≤x-2≤8， 数学文化 例1B【解析】先安排男教师，再安排女教师，各有A 种安排方式，故不同的安排方式共有AA=36种.故选B. 例2D【解析】先把三种不同的画捆在一起，各看成 整体，但水彩画不放在两端，则油画与国画放在两端有 A种不同的排法，然后对4幅油画的排放有A种不同 的排法，对5幅国画的排放有A种不同的排法，，不同 的陈列方式有AAA种不同的排法.故选D. 第2课时排列数的应用 要点精析 例1解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同 学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列， .共有A=7×6×5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要 求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343 种不同的送法。 变式训练1(1)B(2)6【解析】对于两个大站A 和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同， 每张车票对应一个起点站和一个终点站，“每张火车票 对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起 点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5= 30种. (2)共有3×2×1=6种不同的排法. 例2解：(1)（相邻问题捆绑法）男生必须站在一 起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须 站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全 体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，由 分步乘法计数原理，知共有AAA=288种排法. (2)(捆绑法)把所有男生看作1个元素，与4名 女生组成5个元素全排列，故有AA=720种不同的排法. (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法， 把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种 排法，故有AA=1440种不同的排法. 31 高中数学选择性必修第二册人教B版 (4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA 144种不同的排法 例3解：(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数 的一半，故有A3=2520种不同的排法。 A (2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲 乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的太 放有朵=840种不同的排法。 例4解：(1)方法一：把元素作为研究对象 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同 学中选出5名放在5个位置上，有A种排法. 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选 出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没 有甲的位置上，有A种排法.根据分步乘法计数原理， 有4×A种排法 由分类加法计数原理，知共有A+4×A=2160种 排法」 方法二：把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位， 有A种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在 除首位以外的其他4个位置上，有A种方法. 由分步乘法计数原理，知共有AA=2160种排法. 方法三（间接法）：先不考虑限制条件，从7人中 选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲 在首位的情况有A种，.符合要求的排法有A；-A= 2160种. (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置， 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首、末 2个位置上，有A种方法 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个 位置上，有A种方法 根据分步乘法计数原理，共有AA=1800种方法。 (3)把位置作为研究对象。 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在 首、末2个位置，有A?种方法： 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3 个位置上，有A种方法. 32 根据分步乘法计数原理，共有AA=1200种方法」 (4)(间接法)总的可能情况有A种，减去甲在首 位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到 甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，∴还 需补回一次A种排法，.∴.共有A-2A6+A=1860种排 法。 变式训练2解：(1)（捆绑法）3名女生必须排在 一起，∴.可以先把她们看成一个整体，这样同5名男生 合在一起共有6个元素，排成一排有A。种不同的排法， 对于其中的每一种排法，3名女生之间又有A种不同的 排法，因此共有AA=4320种不同的排法， (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5名男 生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共 有4个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有6个 位置，再把3名女生插人这6个位置中，只要保证每个 位置至多插入1名女生，就能保证任意2名女生都不相 邻.由于5名男生排成一排有A种不同排法，对于其中 任意一种排法，从上述6个位置中选出3个让3名女生 插入都有A种排法，因此共有AA=14400种不同的 排法 (3)方法一（位置分析法）：：两端都不能排女生， .两端只能挑选5名男生中的两名，有A种不同的排法， 对于其中的任意一种不同的排法，其余6个位置都有A 种不同的排法，.·.共有AA=14400种不同的排法. 方法二（间接法）：3名女生和5名男生排成一排共 有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A:A?种 排法和女生排在末位的A:A?种排法，但两端都是女生 的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣 除女生排在末位的情况时又被扣去一次，还需加回来 一次，由于两端都是女生有AA种不同的排法，共有 A-2A:A+AA=14400种不同的排法. 方法三（元素分析法）：从中间6个位置挑选3个 让3个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意 一种排法，其余5个位置又都有A种不同的排法，·.共 有AA=14400种不同的排法. (4)方法一（位置分析法）：·只要求两端不都排 女生，如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限 制了，这样可有A;A种不同的排法：如果首位排女生， 有A:种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A:A· A种不同的排法，因此共有A;A7+A:A:A=36000种不 同的排法。 方法二（间接法）：3名女生和5名男生排成一排共 有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法 AA种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有 A-AA=36000种不同的排法. 例5解：(1)各数位上的数字允许重复，故由分步乘 法计数原理，知可组成4×5×5×5×5=2500个五位数. (2)方法一：考虑特殊位置“万位”，从1,2,3,4 中任选一个填入万位，共有4种填法，其余4个数字作 全排列，有A种排法，故共有A4A=96个符合条件的 五位数 方法二：先考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十 百、千位中任选一个位置将0填入，有A种填法，然后 将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A种排 法，故共有AA=96个符合条件的五位数， (3)构成3的倍数的三位数，各数位上数字之和是 3的倍数，将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类， 按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数， 再取2进行排列，先填百位有A:种填法，再填其余位有 A种排法，故有2A:A个符合条件的三位数；不取0， 则必取3，从1和4中任取一数，再取2，然后进行全 排列，故有2A种排法..共有2A:A+2A=8+12=20个 符合条件的三位数. (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3 中选一个填人个位，有A:种填法，然后从剩余3个非0 数中选一个填入万位，有A种填法，最后将包含0在内 的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A, 故共有A;A:A=36个符合条件的五位数. (5)按分类加法计数原理，当万位数字为1,2,3 时均可以，共有AA个数.当万位数字为4，千位数字 为0,1时均满足，共有A;A个数，当万位数字为4， 千位数字为2，百位数字为0,1时均满足，共有 (AA3-1)个数，.比42130小的数有AA+A:A+ AA3-1=87个.万位是1,2的各有A个数，万位是3， 千位是0,1的各有A个数，共有2A+2A=60个数， 故第61个数为32014. (6)运用排除法，先将1,3在奇数位上排列，有 A种排法，再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排 列，有A种排法，而其中1,3在个位和百位上，0在 万位上的排法不合题意，有AA种排法..符合条件的 参考答案⊙ 五位数共有AA-AA=32个. 变式训练3解：(1)个位上的数字必须是0或5.个 位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个； 若含0，但0不作首位，则0的位置有A:种排法，其余 各位有A种排法，故共有A+A+A:A=216个能被5整 除的五位数 (2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整 除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4， 5)两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个. 故能被3整除的五位数有A+AA=216个. (3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字 为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的 一个，有3A个数，240135是第A+3A+1=193个数， 即240135是第193个数. 3.1.3组合与组合数 第1课时组合与组合数、组合数的性质 要点精析 例1解：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场 比赛，没有顺序，是组合问题 (2)冠军、亚军是有顺序的，是排列问题 (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列 问题 (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题 变式训练1解：(1)：一种火车票与起点、终点的顺 序有关，如甲一→乙和乙一甲的车票是不同的，“.它是排 列问题 (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺 序之分，因此它是排列问题。 (3)从7本不同的书中，取出5本给某名学生，在 每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合 问题 例2解：(1)从4位候选人中选举正、副班长各一人 是排列问题，有A=12种选法，所有可能的选举结果： AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB, DB,DC. (2)从4位候选人中选举2人负责班级工作是组合 问题，有C:=6种选法，所有可能的选举结果：AB, AC,AD,BC,BD,CD. (3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都 33高中数学选择性必修第二册人教B版 3.1.2 排列与排列数 第1课时排列与排列数 (6)某班40名学生在假期相互通信， 学习目标 1.理解并掌握排列的概念。 2.能用计数原理推导排列数公式， 3.理解并掌握排列数公式 要点精析 川要点1排列与排列数 1.排列的定义 反思感悟 一般地，从n个不同对象中，任取m 判断一个具体问题是否为排列问题的 (m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列， 思路： 称为从n个不同对象中取出m个对象的一个 变换对象的位置 排列.特别地，m=n时的排列（即取出所有 有 结果 无 对象的排列)称为全排列 有序 有无变化 无序 2.排列数的定义 排列 非排列 从n个不同对象中取出m个对象的所 问题 问题 有排列的个数，称为从n个不同对象中取 出m个对象的排列数，用符号Am表示 变式训练① 思考排列与排列数相同吗？ 例1判断下列问题是否为排列问题 判断下列问题是否为排列问题， (1)北京、上海、天津三个民航站之间 (1)会场有50个座位，要求选出3个 直达航线的飞机票的价格（假设往返的票价 座位有多少种方法？若选出3个座位安排三 相同). 位客人，又有多少种方法？ (2)选2个小组分别去植树和种菜， (2)从集合M={1,2,…,9}中，任取 (3)选2个小组去种菜 两个元素作为，b,可以得到多少个焦点在 (4)选10人组成一个学习小组 :销上的椭闲方程导+茶-1？可以得到多少 (5)选3个人分别担任班长、学习委 员、生活委员 个焦点在x轴上的双曲线方程- a26-1? 6 学 第三章排列、组合与二项式定理 (3)平面上有5个点，其中任意3个点 不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ 变式训练2 可确定多少条射线？ (1)从1,2,3,4四个数字中任取两 个数字组成两位数，共有多少个不同的两 位数？ (2)写出从4个元素a,b,c,d中任 取3个元素的所有排列. 川要点2画树形图写排列 例2将A,B,C,D四名同学按一定 顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在 第一，B不排在第二，C不排在第三，D不 川要点3排列数公式的应用 排在第四，试用树形图列出所有可能的 1.排列数公式的两种形式 排法 (1)A=(n-1)…[n-(m-1)]=n(n-1)(n m个数 2)…(n-m+1),其中m,n∈N,并且m≤n. ()A-(m 2.全排列数：一般地，在A中，当m= n时，排列数公式为A=nx(n-1)×…×2×1, 通常将上式的右边简写为n！(读为“n的 反思感悟 阶乘”)，从而上式可以简写为A=!.全排列 树形图的画法： 数为A=n！(称为n的阶乘).规定：0！=1. (1)确定首位，以哪个元素在首位为 例3计算：A和A. 分类标准进行确定首位 (2)确定第二位，在每一个分支上再 按余下的元素，在前面元素不变的情况下 定第二位并按顺序分类。 (3)重复以上步骤，直到写完一个排 列为止 学 7 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 例4(1)用排列数表示(55-n)(56 变式训练③ n)…(69-n)(n∈N且n<55). (2)化简：n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m). 不等式A<6A2的解集为() A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8} 数学文化 例1为提高学校周围的交通安全，某 学校有3名男教师、3名女教师申请成为志 愿者，若安排这6名志愿者到3个路口协助 交警工作，每个路口男、女教师各1名，则 不同的安排方式种数是() 例5求证：A1-A0=mA-. A.18 B.36 C.48 D.72 例2计划展出10幅不同的画，其中1 幅水彩画、4幅油画、5幅国画排成一行陈 列，要求同一品种的画必须连在一起，并 且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式 有() A.A4A种 B.AAA种 C.CAA种 D.AA4A种 反思感悟 排列数公式的选择： (1)排列数公式的乘积形式适用于计 算排列数 (2)排列数公式的阶乘形式主要用于 与排列数有关的证明、解方程和不等式等 问题，具体应用时要注意阶乘的性质，提 取公因式可以简化计算 8 学 第三章排列、组合与二项式定理 第2课时排列数的应用 学习目标 变式训练① 1.能应用排列知识解决简单的实际 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、 问题. 苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门 2.能解决有限制条件的排列问题 应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之 间)准备不同的火车票的种数为() 要点精析 A.15 B.30 C.12 D.36 川要点1简单的排列问题 (2)3盆不同品种的花排成一排，共有 例1(1)有7本不同的书，从中选3 种不同的排法 本送给3名同学，每人各1本，共有多少种 川要点2排队问题 不同的送法 (2)有7种不同的书，要买3本送给3名 例2现有3名男生、4名女生，这7 同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 个人站成一排.在下列情况下，各有多少种 不同的站法？ (1)男、女生各站在一起 (2)男生必须排在一起. (3)男生不能排在一起， (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻， 反思感悟 对于简单的排列问题，其解题思路可 借助分步乘法计数原理进行，即采用元素 分析法或位置分析法求解。 学 9 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 例37人站成一排 (1)甲必须在乙的前面（不一定相邻）， 则有多少种不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不 变（不一定相邻），则有多少种不同的排列 方法？ 反思感悟 排队问题的解题策略： 排队问题除涉及特殊元素、特殊位置 外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等 问题 (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法” 解决.即将相邻的元素视为一个整体进行 例4从包括甲、乙两名同学在内的 排列 7名同学中选出5名排成一列，求解下列 (2)对于不相邻问题，可采用“插空 问题 法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻 (1)甲不在首位的排法有多少种？ 的元素插入空中】 (2)甲既不在首位也不在末位的排法有 (3)对于定序问题，可采用“除阶乘 多少种？ 法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一 (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排 定元素的全排列数 法有多少种？ (4)对于“在”与“不在”问题，可 (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排 采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先 法有多少种？ 安排”的原则解决 10)学 第三章排列、组合与二项式定理。 (6)可以组成多少个无重复数字且奇数 变式训练2 在奇数位上的五位数？ 3名女生和5名男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起，可有多 少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种 不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少 种不同的排法？ 反思感悟 (4)如果两端不能都排女生，可有多少 数字排列问题是排列问题的重要题型， 种不同的排法？ 解题时要着重注意从附加的限制条件入手分 析，找出解题思路.常见的附加条件有： (1)首位不能为0 (2)有无重复数字 (3)奇偶数. (4)某数的倍数 (5)大于（或小于）某数 变式训练3 用0,1,2,3,4,5这六个数字： (1)可以组成多少个无重复数字且能被 5整除的五位数？ I要点3数字问题 (2)可以组成多少个无重复数字且能被 例5用0,1,2,3,4五个数字： 3整除的五位数？ (1)可组成多少个五位数？ (3)组成六位数，且所有的六位数按 (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ 从小到大的顺序排列，则240135是第几 (3)可组成多少个无重复数字且是3的 个数？ 倍数的三位数？ (4)可组成多少个无重复数字的五位 奇数？ (5)在没有重复数字的五位数中，比 42130小的数有几个？按从小到大排列，则 第61个数是多少？ 学(11