3.1.2 第1课时 排列与排列数及排列数公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数及排列数公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标]　理解并掌握排列及排列数的概念，能用计数原理推导排列数公式，能用排列数公式解决简单的实际问题. 逐点清(一)　排列的概念 [多维理解] (1)一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列. (2)两个排列,如果组成排列的对象是相同的,并且对象的排列顺序也相同,那么就称这两个排列是相同的;否则,就称为是不同的. |微|点|助|解| 　 (1)排列概念的理解 ①定义中给出的n个对象互不相同,抽取的m个对象是从n个对象中不重复地抽取的,因而这m个对象也是互不相同的. ②排列的定义包括两个基本内容:一是“取出对象”,二是“按照一定顺序”排列.因此,排列要完成的“一件事情”是“取出m个对象,再按照顺序排列”. ③定义规定m≤n,当m=n时,称为全排列. (2)排列问题与分步乘法计数原理问题的区别 排列要从“n个不同的对象中取出m个对象”,即在排列问题中,对象不能重复选取,而在分步乘法计数原理中,对象可以重复选取. [微点练明] 1.下列问题是排列问题的是 (　　) A.从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法? B.10个人互相通信一次，共写了多少封信? C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线? D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种? 解析:选B　从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，因而不是排列问题，故A不符合题意；10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，故B符合题意；平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点即可确定1条直线，这2个点不分顺序.因而不是排列问题，故C不符合题意；从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，故D不符合题意. 2.用具体数字表示下列问题. (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数. 解:(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99=9 900(个). (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1=6(个). (3)可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2=120(个)分配方案. 3.四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法?将它们列出来，并计算. 解:先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1=24(种)， 画出树状图. 由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. =4×3×2×1=24. 逐点清(二)　排列数公式 [多维理解] 1.排列数 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号表示. 2.排列数公式 排列数 公式 乘积式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1),其中m,n∈N+ 阶乘式 = 阶乘 =n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=n! 规定 0!=1,=1 性质 +m= |微|点|助|解| 　 (1)排列数公式的特点: ①公式中的m,n应该满足m,n∈N+,并且m≤n,当m>n时不成立. ②排列数公式右边是若干数的连乘积,其特点是:第一个因数是n(下标),后面的每一个因数都比它前面的因数小1,最后一个因数为n-m+1(下标-上标+1),共有m(上标)个连续自然数相乘. (2)“排列”与“排列数”是两个不同的概念,“排列”是指“从n个不同元素中,任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数,所以只表示排列数,而不表示具体的排列. [微点练明] 1.(x-2)(x-3)(x-4)·…·(x-15)(x∈N+，x>15)可表示为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　(x-2)(x-3)(x-4)·…·(x-15)====. 2.若=12，则n= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　由排列数公式可得=n(n-1)=12，解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N+，故n=4. 3.计算=　　　　；化简+2+3+…+n=　　　　.  解析:第一空:====. 第二空:因为k=(k+1)-=-， 所以+2+3+…+n=1+(-)+(-)+…+(-) =1-+=-1. 答案:　-1 4.计算:(1)；(2)；(3)-；(4). 解:(1)=12×11×10×9=11 880. (2)=6×5×4×3×2×1=720. (3)-=9×8×7×6-9×8×7 =9×8×7×5=2 520. (4)===21. 逐点清(三)　排列数公式的应用 [典例]　(1)解不等式<6； (2)证明:-=m. 解:(1)由<6， 得<6×， 化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12.　① 又∴2<x≤8，　② 由①②及x∈N+得x=8.故原不等式的解集为{8}. (2)证明:∵-=-=·=·=m·=m， ∴-=m. |思|维|建|模| 　　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质.提取公因式，可以简化计算. 　　[针对训练] 1.解不等式:3+12≤11. 解:由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11(x+1)x，化简得2x2-7x+3≤0， 即(2x-1)(x-3)≤0，所以≤x≤3.因为x≥2，且x∈N+，所以不等式的解集为{2，3}. 2.解方程:=140. 解:易知所以x≥3，x∈N+. 由=140，得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x(x-1)(x-2)， 化简得4x2-35x+69=0， 解得x1=3，x2=(舍去).所以原方程的解为x=3. 3.证明:=1·3·5·…·(2n-1). 证明:因为左边= = = ==1·3·5·…·(2n-1)=右边，所以原等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $