3.1.1 第2课时 计数原理的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　计数原理的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.会正确应用这两个计数原理计数解决问题. 题型(一)　组数问题 [例1]　用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个满足下列条件的数? (1)三位整数； (2)无重复数字的三位整数； (3)小于500的无重复数字的三位整数； (4)小于100的无重复数字的自然数. 解:(1)百位上有9种选择，十位和个位各有10种选择. 由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是9×10×10=900. (2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择， 由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是9×9×8=648. (3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择， 由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是4×9×8=288. (4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数有10个. 两位自然数:十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的两位数的个数是9×9=81. 由分类加法计数原理知，适合题意的自然数的个数是10+81=91. |思|维|建|模| 常见组数问题及解题原则 (1)明确特殊位置或特殊数字是我们采用分类还是分步的关键.一般按特殊位置(通常是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的方法分步完成.如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解. (2)要特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的(如数字“0”不能排在首位)，要善于挖掘.排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则. 　　[针对训练] 1.由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有 (　　) A.168个 B.174个 C.232个 D.238个 解析:选B　由0，1，2，3这四个数字组成的四位数一共有3×4×4×4=192个，由0，1，2，3这四个数字组成的四位数，没有重复数字的四位数有3×3×2×1=18个，因此由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有192-18=174个. 2.若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如:232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是 (　　) A.166 B.171 C.181 D.188 解析:选B　由题意可得，不超过200的数，两个数字一样同为0时，有100，200，共2个，两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，…， 一直到191，119，共18个，两个数字一样同为2时，有122，共1个，同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个.综上，不超过200的“单重数”共有2+18+8=28个，其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，故第22个“单重数”为171，故选B. 题型(二)　抽取与分配问题 [例2]　高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有 (　　) A.360种 B.420种 C.369种 D.396种 解析:选C　法一:直接法　以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类:第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4=16(种)；第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4=96(种)；第四类，有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4=256(种).综上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369(种). 法二:间接法　先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5-4×4×4×4=369(种)方案. |思|维|建|模| 选(抽)取与分配问题的常见类型及解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法: ①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行. ②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 　　[针对训练] 3.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 (　　) A.208种 B.240种 C.180种 D.96种 解析:选B　由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法，后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3=240(种)选派方案. 4.一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有　　　种.  解析:所有可能的情况有43=64种，其中最大值不是4的情况有33=27种，所以取得小球标号最大值是4的取法有64-27=37种. 答案:37 题型(三)　涂色与种植问题 [例3]　(1)用6种不同的颜色给如图所示的区域上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有 (　　) A.240种 B.360种 C.480种 D.600种 (2)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图所示.社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为 (　　) A.96 B.114 C.168 D.240 解析:(1)将区域标号，如图所示，因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有6×5×4=120种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法.所以共有120×(1+3)=480种不同的涂色方法. (2)先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，再在c中种植，分两类:第一类:若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，第二类:若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，最后在e中种植，有2种不同的种植方法.所以不同种植方法的种数为4×3×(1×3+2×2)×2=168. 答案:(1)C　(2)C |思|维|建|模| 涂色与种植问题的四个解答策略 (1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算. (2)以颜色(或种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算. (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题. (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类. 　　[针对训练] 5.如图，有A，B，C，D四块区域需要植入花卉，现有4种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有 (　　) A.12种 B.24种 C.48种 D.72种 解析:选D　C区域有4种选择，D区域有3种选择，A区域有3种选择，B区域有2种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的植入方法共有4×3×3×2=72种. 6.给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 (　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 解析:选D　当B，E同色时，共有4×3×2×2=48种不同的染色方案，当B，E不同色时，共有4×3×2×1×1=24种不同的染色方案，所以共有72种不同的染色方案. 学科网（北京）股份有限公司 $