第一章 三角形 单元复盘基础卷 2026～2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级数学上册第一章三角形单元复盘基础卷，以现实情境与递进问题设计，覆盖三角形核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|三边关系、全等判定、角平分线性质|第1题以池塘测距情境考查三角形三边关系，体现数学眼光| |填空题|6|中点性质、动点问题、等腰三角形分类|第13题结合动点运动考查全等判定，培养推理意识| |解答题|8|折叠变换、中线应用、动态几何综合|第18题分感知-探究-拓展层考查折叠性质，第24题通过三角板摆放实践培养应用意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒 甲危光多第 2026`2027学年新学期八年级数学上册苏科版新教材 第一章三角形单元复盘基础卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=7米，OB=5米， A、B间的距离可能是() A.15米 B.13米 C.1米 D.9米 2.如图∠ABC=∠DCB,要使△ABC≌△DCB,下列条件中不能添加的是() D A.∠ACB=∠DBCB.∠A=∠D C.AC=DB D.AB=DC 3,如图.在△ABC中，AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一个点，PE⊥AD于点P,交BC的延长线 于点E.若∠B=35°，∠ACB=85°，则∠E的度数为() B A.20° B.25° C.30° D.65° 4,如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED,点C、E分别在AD、AB上，BC与DE交于点F,连接 AF,若BE=DC,则图中的全等三角形一共有() 试卷第1页（共8页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光多笔 E B A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 5.如图，在边长为5的正方形ABCD中，∠EAF=45°，则△CEF的周长是() D 45° F B E A.12 B.10 C.4v2 D.8 6.如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,2为BC延长线上一点，当PA=C9 时，连PQ交AC边于D,则DE的长为() 3 A.1 B. C.3 D,无法确定 2 7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠D=90°，∠ABC与∠BCD的平分线交AD于点E,若 BC=16,AD=12,则四边形ABCD的周长为() B ◇ E A A.38 B.40 C.44 D.56 8.如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD,BE=CE,设△ADF的面积为S,△CEF的 试卷第2页（共8页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒 里危光多笔 面积为S2,若S△ac=6,则S-S的值为() D B E A.0.5 B.1 c.1.5 D.2 9.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC边的中点，连接CD,DE,DF.己知△ABC 的面积为6，则阴影部分的面积为() A.1 B.2 C.3 D.4 10,己知，如图，C为线段AE上一动点（不与A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角 形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,OC,以下四个结论：① AD=BE;②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC;④OC平分∠AOE,其中正确的结论是() B A.②、③ B.③、④ C.①、②、④ D.①、③、④ 二、填空题 11.如图所示，在△ABC中，已知点D,E,F分别为BC,AD,EC的中点，S△Bc=12cm°，则阴影部 分的面积为 cm-. 12.如图，线段AB=18cm,射线AN⊥AB,垂足为点A,点C是射线上一动点，分别以AC,BC为直 试卷第3页（共8页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光多笔 角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE,连接DE交射线AN于点M,则CM的长为cm. D 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm,BC=6cm,AD⊥AC于点A,P、2分别是线段AC, 射线AD上的动点，点P从点A出发，以3cms的速度向点C匀速运动，点Q在射线AD上随之运动，且 PQ=AB.设点P的运动时间为s,则当t= 时，以点A,P,Q为顶点的三角形和△ABC全等， D P A 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D在边BC上运动(D不与B,C重合)，连接AD,作 ∠ADE=30°，使DE交边AB于点E,在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，∠CDA= D 15,如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内两点，连接BE,ED,延长ED交BC于点M,连接 AD并延长交BC于点N.若AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°，BE=6,DE=2,则BC的长是 NM 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE=DF,D是AB边的中点，∠EDF=90°，DE交AC于 点E,DF交BC于点F,若AB=6,则四边形DECF的面积为 试卷第4页（共8页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 D E B 三、解答题 17.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC的中点，连接AD,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交AD 于点O,交AC于点F,连接OB,OC. E D (1)求证：OA=OC; (2)若∠BAD=20°，求∠COF的度数. 18,将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A处. 【感知】如果点A落在边AB上，这时图①中的∠I变为0°，那么∠A与∠2之间的关系是_； 【探究】如果点A落在四边形BCDE的内部（如图①），那么∠A与I、∠2之间存在怎样的数量关系？并 说明理由 【拓展】如果点A'落在四边形BCDE的外部（如图②），那么请直接写出∠A与∠I、∠2之间存在数量关 系 B B 0 D ① ② 19,如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线. D 试卷第5页（共8页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 (I)在△BED中作边BD上的高； (2)若△ABC的面积为60，BD=5,求点E到边BC的距离. 20.如图，已知等边三角形ABC,∠ACP=x(O°<x<60),点A与点D关于射线CP对称，线段AD、BD 分别交CP于点E、F. (1)求∠DBC的大小（用含x的代数式表示）； (②)连接AF,求∠AFB的度数； (3)探究线段AF,BD,CF之间的数量关系，并证明 21.在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC、∠ADC的平分线分别交直线CD、AB于点E、F. D B B (图1) (图2) (1)如图1，若∠C=90°，求证：EB∥DF; (2)如图2，若线段DF、EB交于点P,∠BPF=20°，求∠C的度数. 22.【阅读】 如图1，在△ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，求AD的取值范围.小明同学的做法是延长AD到 E,使DE=AD,连接BE,证明△BDE≌ACDA,得到BE=AC,在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 即8-6<2AD<8+6,所以1<AD<7; D 它 (图1) 试卷第6页（共8页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 【理解】 如图2.AD是△ABC的中线，在AD上取一点E,连接BE,使得BE=AC,延长BE交AC于点F,求证 AF=EF (图2) 【运用】 如图3.在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，∠EDF=90°，求证：BE2+CF2=EF2. D (图3) 23.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E、F分别是直线CD上两点，且 ∠BEC=∠CFA=∠. B B A E (1) (2) (I)如图(1)，若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，当∠BCA=∠=90°时，线段BE与CF 有怎样的大小关系？并说明理由， (②)如图(2)，若直线CD经过∠BCA的外部，当∠BCA=∠u>90°时，则EF、BE、AF三条线段之间有 怎样的数量关系？并说明理由 24.【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板.如图在△ABC中， ∠ABC=90°，AB=CB;在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提出了相应的问题 试卷第7页（共8页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光多笔 D D B N B B 图1 图2 图3 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作 AM⊥DF,垂足为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N. (1)图1中，AM=2,CN=7,求MN的长.请补充小芳的过程 .'∠ABC=90°， .∴.∠ABM+∠CBN=90°， ,AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∴.∠ABM+∠BAM=90°， .∴.∠BAM=∠CBN, …… (补充小芳的过程) (②)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作 CP⊥DE,垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由， (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若 AE=7,BE=1,连接CE,请直接写出△ACE的面积 试卷第8页（共8页）苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年新学期八年级数学上册苏科版新教材 · 第一章三角形单元复盘基础卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（   ） A．15米 B．13米 C．1米 D．9米 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键；根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：，即， A、B间的距离可能是9米， 故选：． 2．如图，要使，下列条件中不能添加的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定和等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴A．可以根据证明，不符合题意； B．可以根据证明，不符合题意； C．不能判定三角形全等，符合题意； D．可以根据证明，不符合题意； 故选：C． 3．如图．在中，平分，点为线段上的一个点，于点，交的延长线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出度数，进一步求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故选：B 4．如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由三角形内角和定理可得，进而可得，得到，，即得，进而可推出、和，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 综上，图中的全等三角形一共有对， 故选：． 5．如图，在边长为5的正方形中，，则的周长是（    ） A．12 B．10 C． D．8 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．延长到点，使，连接，先证和全等，得到，，再证和全等，得到，最后得到的周长即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， 四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 的周长是 ， 故选：B． 6．如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过作交于， ，是等边三角形， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于． 【详解】解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得： ， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：C． 8．如图，D、E分别是边、上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键知道当高相等时，面积的比等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出面积差即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：B． 9．如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，，．已知的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线分三角形为面积相等的两部分解答即可，熟练掌握三角形中线的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵D为边的中点，的面积为， ∴， ∵E为边的中点，的面积为， ∴， ∵F为边的中点，的面积为， ∴， ∴， 故选：C． 10．已知，如图，为线段上一动点（不与重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是（    ） A．②、③ B．③、④ C．①、②、④ D．①、③、④ 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】先由判定，证得①正确；再由证明，得到，②正确；过作于，于，由证明可得，得到④正确；易得③不正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故结论②正确； 过作于，于， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， 故结论④正确； 当时， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为线段上一动点（不与，重合）， 故结论③不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题 11．如图所示，在中，已知点，，分别为，，的中点，，则阴影部分的面积为___________． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线的性质，解题关键是正确理解三角形中线的性质，熟练利用中线性质得，，则，又因为点是的中点，则，即可作答． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 故答案为：3． 12．如图，线段，射线，垂足为点，点是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点，则的长为_____cm． 【答案】9 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 作于点，则，由与都是等腰直角三角形，，得，，则，，可证明，得，，则，再证明，得，于是得到问题的答案. 【详解】解：作于点， 射线于点， ， 与都是等腰直角三角形，， ，，，， 在和中， ， ，， ． 在和中， ， ， 故答案为：9． 13．如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当_______时，以点为顶点的三角形和全等． 【答案】2或4 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值． 因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出． 【详解】解： 情况一：， 此时， 已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则， 把代入，可得（秒）； 情况二： 此时． 已知，， 把代入，可得（秒）． 综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等． 故答案为：2或4． 14．如图，在中，，．点在边上运动（不与，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时，________． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是等腰三角形的性质． 根据等腰三角形的性质分类讨论，①当时；②当时；③当时；分情况求解即可． 【详解】解：， ． 当为等腰三角形时分三种情况：①当时，，， ． ，点不与点，重合， ∴不合题意； ②当时，， ， ； ③当时，， ， ∴ ． 综上所述，为或． 故答案为：或． 15．如图，在中，，D，E是内两点，连接，，延长交于点M，连接并延长交于点N．若平分，，，则的长是______． 【答案】8 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一的性质得出，再判断是等边三角形，继而得出，再根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半得出，即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 16．如图，在中，是边的中点，交于点交于点，若，则四边形的面积为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，连接，证明即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，，点是边的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是的线段垂直平分线， ∴， ∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴是的线段垂直平分线， ∴， ∴． (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，灵活运用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而说明是的线段垂直平分线，可得，进而得到，即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得，再根据线段垂直平分线的性质以及三角形的内角和可得；再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴， ∵是的线段垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处． 【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ; 【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系?并说明理由. 【拓展】如果点落在四边形的外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 .                    【答案】感知：探究： 拓展： 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】[感知]根据三角形外角性质得出，根据折叠性质得出，即可求出答案； [探究]根据三角形内角和定理得出，，两式相加可得，即，根据平角的定义得出，可得出，根据折叠性质得出，即可得出； [拓展]根据三角形外角性质得出，，推出，即可得出答案． 【详解】解：[感知]：． 理由如下：当点落在边上时，由折叠可得：； ， ， 故答案为：； [探究]：． 理由如下：，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 故答案为：； [拓展]：如图②，   ，， 由折叠可得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解． 19．如图，为的中线，为的中线．    (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求点到边的距离． 【答案】(1) 如图，      则即为所求， (2)． 【知识点】根据三角形中线求长度、作垂线(尺规作图) 【分析】（）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （）利用三角形中线的性质得出，进而借助三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）略 （2）∵为的中线，为三角形中线， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， 点到边的距离为． 【点睛】此题考查了尺规作图、与线段中点有关的计算以及三角形的面积，熟练掌握中点的性质是解题的关键． 20．如图，已知等边三角形，点与点关于射线对称，线段、分别交于点、． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)连接，求的度数； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3) ；证明如下： 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ． 是等边三角形， ． ．     ． 在和中   ， ， 点和点关于射线对称， ． ． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】（1）连接，对称性得到，等边三角形的性质，得到，进而得到，等边对等角进行求解即可； （2）连接，对称性得到，八字型图得到，进而得到； （3）在上截取，连接，易得是等边三角形，证明，得到，对称性得到，再根据线段的和差关系，结合等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， 线段和关于射线对称， ． 是等边三角形， ． ． ． （2）连接，根据对称性可得， ， ； （3）略 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 21．在四边形ABCD中，，、的平分线分别交直线CD、AB于点E、F． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若线段DF、EB交于点P，，求的度数． 【答案】(1) 在四边形ABCD中，， 又∵，， ∴， ∵EB平分、DF平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、多边形内角和问题 【分析】（1）根据四边形内角和、角平分线的性质即可推导出，即可证得结论； （2）根据四边形CDPB的内角和、角平分线的性质即可推导出，再由四边形ABCD的内角和列出关于的方程，即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）在四边形CDPB中，， 又∵， ∴， ∴， ∵EB平分、DF平分， ∴， ∴， ∵在四边形ABCD中，，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了四边形内角和、角平分线的性质、平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 22．【阅读】 如图1，在中，，，是中线，求的取值范围．小明同学的做法是：延长到，使，连接，证明．得到，在中．，即，所以； 【理解】 如图2．是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【运用】 如图3．在中，，为的中点，，求证：． 【答案】 【理解】证明：如图，延长到点，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【运用】如图，延长至，使，连接，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】【理解】由可证，可得，进而可证，利用等角对等边即可得解； 【运用】同上可证，可得，进而可证，最后由勾股定理即可得解． 【详解】【理解】略 【运用】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理并能灵活运用类比的方法是解决此题的关键． 23．是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) ，理由： ， ，， 同角的余角相等 ，， ， ； (2) ，理由： ， ，， ， ，， ， ，， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，余角或补角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据余角的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据三角形的内角和定理，平角定义以及等式的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质以及线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 24．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 试卷第2页（共29页） 试卷第1页（共29页） 学科网（北京）股份有限公司 $