5.5 三元一次方程组 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以三元一次方程组为核心，整合定义辨析、解法技巧与实际应用，通过“凑整消元”“整体代换”等方法提炼，构建从概念到建模的完整逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1|三元一次方程组定义判断|从定义本质出发，区分整式与非整式、一次与高次| |解法技巧|单选2-3、填空10、解答14|加减/代入消元策略，先消系数简单未知数|遵循“三元→二元→一元”消元路径，强化运算能力| |实际应用|单选5-7、填空11/13、解答16|建立方程模型解决天平平衡、购物、行程问题|体现模型意识，将实际问题抽象为数学关系| |方法创新|解答15/17/18|凑整消元法、整体思想、整体代换|通过变式训练提升思维灵活性，发展创新意识|

5.5 三元一次方程组 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 3．解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 4．若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 6．童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（    ）元 A．31 B．32 C．34 D．36 7．【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（    ）    A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 8．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 二、填空题 9．方程组的解为________． 10．解方程组若用代入消元法解这个方程组，第一步应把______化为______，代入______中，消去______，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用______，消去______，与①组成二元一次方程组． 11．某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是___________． 12．若三元一次方程，当，时，，则的值为________． 13．如图，要在一面靠墙的空地上用长为米的篱笆围成一个长方形菜地，菜地分成三个面积相等的长方形，若长为米，则的长为_____（结果用含，的代数式表示） 三、解答题 14．解下列方程组： (1) (2) 15．小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 16．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 17．【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，所求的不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则=______，=______； (2)某班级组织活动购买小奖品，买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3本日记本共需48元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 18．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C B C B C 1．【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键． 【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去． 【详解】解：解三元一次方程组， 得： 得： 方程组变形为，刚好消去z， 故选：C． 【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法． 3．【答案】A 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】此题考查解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 第一个方程中不含，而第二个方程和第三个方程通过加减消元法可消去，再联立第一个方程可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的． 【详解】由题知，， 得，， 整理得， ④与①即可组成二元一次方程组， 要使解法较为简单，应先消去， 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 5．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c，根据天平列出等式求解即可． 【详解】解：设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∴一个B砝码和一个C砝码的质量比为． 6．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】此题主要考查了方程组的应用．首先假设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．根据题意列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果． 【详解】解：设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元． 则由题意得：， 由②①得④ 由②①得⑤ 由⑤④③得 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、三元一次方程组的应用 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故选B． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． 8．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据新定义可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得： ②③得：， 将①代入上式得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键． 9．【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先用得出关于x，z的方程组，再消去z求出x，然后代入分别求出答案即可． 【详解】解：， 得： ； 得：， 解得， 将代入得：， 将，代入得：， 则方程组的解为， 故答案为． 10．【答案】 ③ ② 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】先观察方程，利用代入法或加减法确定消去哪个未知数计算简单，再根据消去的未知数选择变形即可． 【详解】解：解方程组若用代入消元法解这个方程组，第一步应把③化为，代入②中，消去，组成二元一次方程组；如果用加减消元法解这个方程组，第一步应用，消去，与①组成二元一次方程组． 故答案为：③；，②，，， 【点睛】本题考查的是利用代入消元法与加减消元法解三元一次方程组，能熟练的选择合适的方法解方程组是解本题的关键． 11．【答案】130 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，根据图示由三者关系建立等式是解决本题的关键． 设出站立的小猫的高度，趴着的小猫的高度和桌子的高度的未知数，由图建立三者的关系列方程求解即可． 【详解】解：设桌子的高度为，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为， 由第一个图可知，， 由第二个图可知，， 即， 两式相加可得，解得， 所以桌子的高度为． 故答案为：130 ． 12．【答案】1 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程，一元一次方程的应用，关键是能得出关于的一元一次方程．把，，代入三元一次方程得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】把，，，代入三元一次方程得： ， 解得：， 故答案为． 13．【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了代数式表示式，设，，根据周长为a，三个长方形的面积相等列式，消去y，用含，的代数式表示出即可． 【详解】解：如图， 菜地分成三个面积相等的长方形，， ， 设，， ，， ①，②， 由②可得：， 将代入①可得：， ， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ．④ ，得 ．⑤ ，得 ， 解得． 把代入④，得 ， 解得． 把代入③，得 ， 解得． 所以原方程组的解为 （2） ，得 ．④ ，得 ， 即．⑤ ④与⑤组成方程组，得 解得 将代入①，得 ， 解得． 所以原方程组的解为 15．【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 16．【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 17．【答案】(1)2，6 (2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元 (3)-12 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的应用 【分析】（1）将两方程相减可求x﹣y的值，将两方程相加可求x+y的值，； （2）设每只铅笔m元，每块橡皮n元，每本日记p元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 由①﹣②可得：x﹣y＝2， 由（①+②）可得：x+y＝6． 故答案为：2，6； （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元． （3）解：依题意得：， 由可得：， 即． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $