5.2 二元一次方程组的解法 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组解法，分层设计基础巩固、方法应用与综合拓展，构建从单一解法到跨情境应用的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|代入/加减消元法直接应用|单选题1-3考查消元步骤，填空题11强化消元方法选择，夯实运算基础| |中档|解法辨析与错解复原|单选题5-8辨析消元正误，填空题12-14结合新运算与参数，提升推理能力| |提升|参数问题与跨情境应用|解答题17-20涉及同解、错解及三角形三边关系，体现模型意识与综合应用|

5.2 二元一次方程组的解法 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（ ） A． B． C． D． 2．用加减消元法解方程组下列解法正确的是（    ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 3．解方程组时，下列消元方法不正确的是（   ） A．由，消去a B．由，消去b C．由，消去b D．由（2）得：（3），把（3）代入（1）中消去b 4．如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足：，那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 6．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 7．若关于x，y的方程组的解与方程组的解相同，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 8．用加减消元法解方程组时，第一步②×5，得10x-5y=15③；第二步：③-①，得x=1；第三步：把x=1代入②，得y=-1，则上述步骤中开始出现错误的是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 9．学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 10．对有序数对定义“f运算”： ，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当时，．若，则的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 11．解方程组用加减法消去x的方法是___________，消去y的方法是___________． 12．对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则______． 13．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 14．关于x、y的方程组，则的值为______． 15．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为 _____． 三、解答题 16．求解二元一次方程组： (1)； (2) 17．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值． (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． (3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 18．关于x，y的方程组的解满足，， (1)求的值． (2)化简 19．下面是小华同学解方组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解得：②得：③．．．．．．．．．．．．．．．．．（1） ①+③得：．．．．．．．．．（2） 将代入②得：．．．．．．．．．．．．．．．．．（3） 所以该方程的解是．．．．．．．．．．．．．．．．．（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题． 20．小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道竞赛题：“已知的三边长分别为a、b、c（），且满足求c的取值范围” (1)小明说：“c的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的长度”你知道小明是如何计算的吗？你帮他写出求解的过程； (2)小红说：“我也看不出如何求c的取值范围，但我能用含c的式子表示b”同学，你能吗？若能，帮小红写出过程； (3)小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边关系，即可求出答案”你知道答案吗？请写出过程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C C C B C C 1．【答案】B 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组的代入消元法，将①式变形后代入②式消去y． 【详解】解：∵由①式得， 代入②式， ∴． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了消元法解方程，熟练掌握加减消元法的原理是解题的关键. 【详解】解：A、得到的式子为：即：，未消去，不符合题意； B、得到的式子为：，即，消去，符合题意； C、得到的式子为：，即，未消去，不符合题意； D、得到的式子为：，即，未消去，不符合题意； 故选：B ． 3．【答案】C 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种. 根据加减消元法计算看是否消元，D根据代入消元法计算看是否消元 【详解】A、由得，消去a B、 由得，消去b C、由得，无法消去b D、由（2）得：（3），把（3）代入（1）中得，消去b 故选：C 4．【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．由得，令，，得，此时，则，即可求解 ． 【详解】解：由得， 令，， 将可变为， ∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足 即， 故选：B ． 5．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 6．【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．方程组两方程相加得出，代入中计算即可求出k的值． 【详解】解： ，得： 则， 代入得：， 解得：． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题，根据题意可得是方程组的解，则，得，即． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， ∴得，即， 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解： ②×5，得， ③-①，得， 把代入②得，， ∴方程组的解为：， 则上述步骤中开始出现错误的是第二步， 故选：B． 【点睛】本题考查了用加减消元法解方程组，解题的关键是掌握加减消元法并正确计算． 9．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】构造二元一次方程组求解、用有序数对表示位置 【分析】由，可得，解得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．解题的关键在于根据题意正确的列二元一次方程组． 11．【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是掌握加减消元法的步骤． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解方程组用加减法消去x的方法是； 消去y的方法是． 故答案为：，． 12．【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 13．【答案】2 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法得到，代入计算即可求解． 【详解】解：， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到m+n与m﹣n的值，然后解关于m、n的方程组即可求解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， ∴解这个关于m、n的方程组得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高． 16．【答案】(1)； (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，核心方法为代入消元法和加减消元法． （1）第一个方程的系数为1，适合用代入消元法：先通过第一个方程用含的式子表示，再代入第二个方程求出的值，最后反代求； （2）两个方程的未知数系数均不为1，适合用加减消元法：通过给方程两边同乘适当的数，使的系数相同，再通过方程相减消去，先求出的值，再代入求． 【详解】（1）解：， 由①得，③ 将③代入②得：，解得， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，解得， 将代入①得，解得， ∴方程组的解为． 17．【答案】(1)；； (2)； (3)． 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数，熟练二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把代入，把代入，分别解方程即可求解； （2）把；代入，求得方程组的解，再将解代入，利用加减消元法求得的值，即可求解； （3）将的值代入，整理得，当时，方程有无数个解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为， ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得方程组为，解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在， 由（2）得关于x的方程为， 整理得， ∵关于x的方程有无数个解， ∴，解得． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将，，代入方程组解答即可， （2）利用（1）求得的k值，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：； （2）把代入得 原式 . 19．【答案】(1)（1）（2） (2) 正确的过程为： 解方程组：， 解：②得：③， ③+①得：， 解得：， 将代入②得：， 所以原方程组的解为． 【知识点】加减消元法 【分析】（1）根据加减消元法的步骤判断即可； （2）利用加减消元法正确求解． 【详解】（1）解：第一次出错在（1）步， 第二次出错在（2）步， 故答案为：（1），（2）； （2）略 【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 20．【答案】(1) 由题意得： ， 则； (2)能，过程如下： 由得： ； (3)．过程如下： 解：由三角形三边关系可得 ， 解之得：， 又因为：，即， ∵， ∴， 故． 【知识点】构造二元一次方程组求解、三角形三边关系的应用 【分析】（1）利用偶次方以及绝对值的性质化简求出即可； （2）利用进而求出即可； （3）利用三角形三边关系分别得出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及偶次方以及绝对值的性质等知识，根据三角形三边关系得出是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $