5.3 二元一次方程组的应用 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习为北师大版八年级数学上册“二元一次方程组的应用”同步巩固卷，通过基础、能力、综合三层设计，实现从单一问题建模到复杂情境应用的进阶，培养模型观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|方案、行程等单一应用|单选1-5、填空11-12，情境简单，直接建立方程| |能力提升|数字、几何等综合应用|单选6-10、填空13-15，需多步分析等量关系| |综合应用|跨情境复杂问题|解答题16-20，结合图表与生活实际，完整建模求解|

5.3 二元一次方程组的应用 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 2．甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发后，大客车从乙地出发相向而行，又经过两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 4．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 5．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元．已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（   ） A．元、元 B．元、元 C．元、元 D．元、元 6．甘肃省定西市是“中国马铃薯之乡”．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯吨．今年采用新技术，甲基地增产，乙基地增产，两基地总产量达到吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个长方形，若它的长增加，宽减少，则面积保持不变；若它的长减少，宽增加，则面积仍保持不变．这个长方形的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 8．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 9．某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 10．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，根据提供的信息，可得到每支网球拍的单价为________元．    12．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入_________个大铁球和_________个小铁球．（写出一组符合要求的值即可） 13．某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共___________间． 14．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为_____． 15．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，则点A的坐标为______． 三、解答题 16．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 17．我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 18．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 19．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 20．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A C A D B A B 1．【答案】B 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设大客车每小时行，小轿车每小时行，根据小轿车比大客车每小时多行20千米，甲车行驶2小时，两车相向行驶4小时共走了880千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设大客车每小时行，小轿车每小时行， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 3．【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 4．【答案】A 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 5．【答案】C 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，正确列出方程组是解题的关键. 设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元，根据题意列方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元， 根据题意列方程组得：， 解得：， 调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元， 故选：C. 6．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，增长率问题的列式，找到等量关系是解题关键． 根据去年总产量吨列第一方程，再由今年增产比例和总产量吨列第二方程，据此进行判断即可． 【详解】解：∵去年甲产量吨，乙产量吨，总产量吨， ∴， ∵今年甲增产，即产量为吨，乙增产，即产量为吨，总产量吨， ∴， ∴方程组为． 故选：A． 7．【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．可利用面积相等列方程组，求出x，y的值，进而求出长方形的面积． 【详解】解：设这个长方形的长为，宽为，由题意，得， ， 解得 ， ∴， 故选D． 8．【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳尺，竿尺，根据题意列出方程组即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设绳尺，竿尺， 由题意得，， 故选：． 9．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】找出题目中的两个等量关系，一个是工人总人数，另一个是配套关系下镜片和镜架的数量关系，据此列出方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， ∵车间总共有名工人， ∴， ∵两个镜片和一个镜架配套，因此镜片总数量应为镜架总数量的倍，生产镜片总数量为，生产镜架总数量为， ∴， ∴可得方程组． 10．【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 11．【答案】 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每支网球拍的单价为x元，每支乒乓球拍的单价为y元，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设每支网球拍的单价为x元，每支乒乓球拍的单价为y元， 由题意得，， 解得， ∴每支网球拍的单价为元， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 12．【答案】 3（答案不唯一） 2（答案不唯一） 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，， 故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） ． 13．【答案】19 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，根据总人数和总费用列得方程，求解即可． 【详解】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间， 由题意得，， 解得， ∴x+y=19， ∴该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共19间， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据A，B两地路程不变列方程求解即可． 【详解】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： ， 解得：，即， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，设长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出，从而可得，结合点的位置即可得出坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为， ∵点B的坐标为， 则， 解得：， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16．【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 17．【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 18．【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 19．【答案】648 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，根据算盘可知这个三位数的百位数字为6，则这个三位数为，十位数字与个位数字互换后的三位数为，再根据新的三位数比原三位数大36，个位数字是十位数字的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b， 由题意得，， 解得， 答：这个三位数为648． 20．【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 学科网（北京）股份有限公司 $