5.1 认识二元一次方程组 课前预习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以二元一次方程（组）的概念生成、解的性质及应用为逻辑主线，通过定义辨析、解的验证、实际与几何建模，系统培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2、填空10（4题）|定义要素筛选法（整式、未知数个数与次数）|从二元一次方程到方程组的概念生成| |解的应用|单选3-5、填空9、11（5题）|代入验证与参数求解法|解的性质到参数反推的原理推导| |实际与几何应用|单选6-8、填空12-13、解答14-18（8题）|等量关系建模法（文字情境/图形边长关系）|实际问题与图形关系的数学化表达|

5.1 认识二元一次方程组 课前预习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 4．若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 5．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 6．《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”大意是：有很多客人来到李三公店里住宿，如果每间客房住7人，就会多出7人没客房住；如果每间客房住9人，就会空出一间客房没人住．问客房有多少间，客人有多少人？如果设客房一共有x间，客人一共有y人，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 7．一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．二元一次方程的非负整数解有__________个． 10．若是关于的二元一次方程，请写出一个符合条件的的值：______． 11．写出一个解为的二元一次方程组____________． 12．某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为米，小悦的飞机飞行的距离为米，则可列方程组___________． 13．如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是______．（用含的式子表示） 三、解答题 14．某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段． (1)列出关于，的二元一次方程； (2)应该怎么样截这一根钢管更好？ 15．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 16．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 17．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为 ，高度为 ．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 18．阅读下列材料，解答问题： 若一个自然数能被13整除，则称这个自然数为“一生数”．若一个四位自然数，百位数字为1，个位数字为4，则称这个四位数为“一世数”．若一个四位自然数既是“一生数”，又是“一世数”，则称这个数为“一生一世数”． 例如：因为，318为整数，所以4134是“一生数”；因为4134是四位数，且百位数字为1，个位数字为4，所以4134为“一世数”：因为4134既是“一生数”，又是“一世数”，所以4134为“一生一世数”． (1)求证：任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”； (2)若一个四位自然数m是“一生一世数”，记，求的最大值与最小值之差． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A B A C A 1．【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次根据未知数个数、含未知数项的次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，属于二元一次方程； B. 不是整式方程，不属于二元一次方程； C. 含有3个未知数，不属于二元一次方程； D. 中含未知数的项的次数为2，不属于二元一次方程． 2．【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义，需满足：由两个方程组成、含有两个未知数、每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：选项A中第二个方程为二次方程，不符合定义； 选项B中含有三个未知数，不符合定义； 选项C中两个方程均含两个未知数且均为一次方程，符合定义． 选项D中第一个方程为二次方程，不符合定义； 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入是解题关键． 将已知解代入方程求出y，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入得， 解得， ∴， 将代入得，， ∴， 故和分别为5和2． 故选A． 5．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据两种住宿方案中客人总人数不变的等量关系列方程组． 【详解】解：∵每间住7人多7人， ∴，即， ∵每间住9人空出1间房，实际入住房间数为， ∴，即， 联立得． 7．【答案】C 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，设需租座的小船条，则需租座的小船条，利用一元一次方程求出人数，再设租座的小船条，座的小船条，可得二元一次方程，根据解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元一次方程和二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设需租座的小船条，则需租座的小船条， 依题意得，， 解得， ∴人数， 设租座的小船条，座的小船条， 依题意得，， ∴， ∵均为非负整数， ∴当时， 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有种租船方案， 故选：． 8．【答案】A 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 9．【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程化为，根据非负整数条件确定x的取值范围，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵方程的解为非负整数， ∴，，即， 解得． ∵x为非负整数， ∴，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有4组非负整数解． 故答案为：4． 10．【答案】2（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，未知数的系数不能为零，因此的系数． 【详解】解：因为方程是关于的二元一次方程， 所以的系数 ，即， 因此，可以是除以外的任意实数，例如． 故答案为：2（答案不唯一）． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可． 【详解】解：由和，可列出等式和， 因此方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据题意，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米，由此列出二元一次方程组． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小康的飞机飞行距离为 米，小悦的飞机飞行距离为 米．根据题意，得 ． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】列代数式、整式的加减运算、根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组求得图③的长方形的长和宽，再计算①②图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图①可知 解得： 由图②可知： 设图①的阴影部分周长为 ，设图②的阴影部分周长为 故答案为 ： 【点睛】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减，用含的代数式表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 14．【答案】(1) (2)，， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】（1）根据长和长的钢管的总长度等于，即可求解； （2）根据，都是正整数，分别把，2，3，4，5，6，7代入（1）中方程，即可求解． 【详解】（1）解：长段，长段，根据题意得： ； （2）解：∵，都是正整数， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴符合条件的解为：，，． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键． 15．【答案】(1) (2)， 【知识点】二元一次方程的定义、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 16．【答案】(1)， (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 17．【答案】(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 18．【答案】(1) 解：设这个数为：， ∴ ∵x、y为整数 ∴为整数 ∴任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数” (2)540 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解 【分析】（1）设这个数为：，再计算一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和，即可求解； （2）设这个数为：，可得，从而得到或，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设这个数为：， ∴， ∴为13的倍数， ∵，，且为整数，， ∴或， ∴或或或或或， ∴这个数为1144，4134，7124，2184，5174，8164， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，整式加减的应用，理解新定义是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $